第八章 立体几何专题训练（六）—距离问题-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

这是一份第八章 立体几何专题训练（六）—距离问题-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练，共12页。试卷主要包含了已知三棱锥的侧棱，，如图，在三棱柱中，平面，，，在三棱柱中，，分别为，的中点等内容，欢迎下载使用。
1．已知三棱锥的侧棱，．且．
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离．
2．如图，在三棱柱中，平面，，．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离．
3．在四棱锥中，底面为平行四边形，，底面，，，分别为，的中点，过的平面与平面交于，两点．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离．
4．如图，面是某半圆柱的轴截面（过上、下底面圆心连线的截面），线段是该圆柱的一条母线，点为线段的中点．
（1）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，试说明理由．
（2）若，且点到平面的距离为1，求线段的长．
5．如图，三棱柱中，是边长为2的正三角形，，，、分别为、的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求直线到平面的距离．
6．如图，四面体中，、分别是、的中点，，．
（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）求点到平面的距离．
7．如图，，是等腰梯形的两条高，，点是线段的中点．将该等腰梯形沿着两条高，折叠成如图所示的四棱锥，重合，记为点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求点到平面的距离．
8．在三棱柱中，，分别为，的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，，且在底面上的正投影恰为点，求点到平面的距离．
第八章 立体几何专题训练（六）—距离问题答案
1．证明：（1）由于，，
所以，，，
所以，，
由于和交于点，
所以平面，
平面，
故．
（2）设点到平面的距离为，
由于，
所以，
所以点到平面的距离为，
由于，，两两垂直，
所以平面，
由于，所以，
由于，，
利用，
整理得，
解得．
故点到平面的距离为．
2．解：（1）证明：因为在三棱锥中，平面，所以，
因为，所以，
又，所以平面，而平面，所以，
在中，，，所以，
从而，所以四边形为正方形，可得，
又，所以平面；
（2）因为，
又，，
所以，即，
所以，设点到平面的距离为，
所以，
因为，所以，解得，
即点到平面的距离为．
3．证明：（1）底面为平行四边形，，分别为，的中点，
，．
过的平面与平面交于，两点，，．
（2）解：，，，平面，
由勾股定理可得．
．
底面，都是直角三角形，
故，，
．
设点到平面的距离为，
再根据可得，
即，．
4．解：（1）存在，当点为的中点时，平面，
证明：取的中点，连接，，，
，分别为，的中点，，，
，，，，
四边形为平行四边形，
，面，面，
面，
（2）由题意知，，，，
设，则，
由，，，
△，，
由（1）及，易知面，，
由，，
即，，，
．
5．1）证明：连接，则与交于点，连接，如图所示：
由四边形是矩形，、分别是棱、的中点，
所以是△的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）解：若平面平面，取的中点，连接，
因为是正三角形，所以，
因为平面平面，平面，所以平面，
因为是边长为2的正三角形，且，，所以，
设直线到平面的距离为，即点到平面的距离为，
由，
得，解得，
即直线到平面的距离为．
6．解：（1）证明：，，为的中点，
，，且平面，平面，，
平面，且平面，
；
（2）证明：，为的中点，
，
，，，
，，
又，，
，
，，均在平面内，
平面；
（3）方法一：以为坐标原点，以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
设，，为平面的法向量，则，，
，
取，，
则点到平面的距离为
方法二：设点在上，且，连，
，为的中点，
，
平面，平面，
，
，，平面，
平面，
平面，平面平面，
且交线为
过点作于点，
则平面，
，分别为，的中点，则，
平面，平面，平面，
点到平面的距离即，
，，
故点到平面的距离为．
7．证明：，，，
又，，平面，
平面．
平面，；
由已知得，，
是等边三角形，
又点是的中点，；
，，，，平面，
平面，
平面，；
（2）解：点是线段的中点，要求点到平面的距离，
只要求出到平面的距离，则．
由可得：平面．
．
中，，，
取的中点．连接，则．
，
．
解得，
．
8．解：（Ⅰ）证明：如图，连接，，
因为为的中点，且四边形为平行四边形，
所以为的中点，
又为的中点．
，
平面，且平面，
平面；
（Ⅱ）方法一：如图连接，，，
在中，
在中，，，．
三棱锥的体积为．
平面，，
又因为且为中点，所以，平面，
，
，，
从而．
设到平面的距离为，
，
，解得．
即点到平面的距离为．
方法二：如图连接，，取线段的中点为，连接，，
因为且．
所以四边形为平行四边形，
平面，，
又因为且为中点，所以，平面，
平面，
平面平面，
又因为平面，
所以点到平面的距离为平行直线与的距离．
过作直线的垂线，交直线于，
在中，
在中，，，．
由，得．
即点到平面的距离为．