第八章 立体几何专题训练（二）—球-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

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第八章 立体几何专题训练（二）—球一．单选题1．已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，且，，若三棱锥体积的最大值为，则该球的表面积为　　A． B． C． D．2．已知，，为球的球面上三个点，球心到平面的距离为，，，则球的体积为　　A． B． C． D．3．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　A． B． C． D．4．已知三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为　　A． B． C． D．5．在三棱锥中，的内心到三边的距离均为1，平面，且的边上的高为2，则该三棱锥的内切球的体积为　　A． B． C． D．6．已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为　　A． B． C． D．7．已知三角形的三个顶点在球的球面上，的外接圆圆心为，外接圆面积为，且，则球的表面积为　　A． B． C． D．8．已知三棱锥的各个顶点都在球的表面上，平面，，，，是线段上一点，且．若球的表面积为，则过点作球的截面，所得截面圆面积的最小值为　　A． B． C． D．9．已知三棱锥外接球的球心在线段上，若与均为面积是的等边三角形，则三棱锥外接球的体积为　　A． B． C． D．10．已知在中，斜边，，若将沿斜边上的中线折起，使平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．二．多选题11．如图，直三棱柱，为等腰直角三角形，，且，，分别是，的中点，，分别是，上的两个动点，则　　A．与一定是异面直线 B．三棱锥的体积为定值 C．直线与所成角为 D．若为的中点，则四棱锥的外接球表面积为12．如图三棱锥，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，，球是三棱锥的外接球，则　　A．球心到平面的距离是 B．球心到平面的距离是 C．球的表面积是 D．球的体积是13．佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫开窍的功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中　　A．与是异面直线 B．与是相交直线 C．存在内切球，其表面积为 D．存在外接球，其体积为14．已知球的直径，、、是球表面上的三个不同的点，，则　　A． B．线段的最长长度为 C．三棱锥的体积最大值为3 D．过作球的截面中，球心到截面距离的最大值为1三．填空题15．已知三棱锥中，，，为其外接球的一条直径，若该三棱锥的体积为，则外接球的表面积为　　．16．如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的表面积为　　．17．已知四面体，点为其内部一点，满足，，当四面体体积最大时，四面体外接球的表面积为　　．18．如图，在直角梯形中，，．已知．将沿直线翻折成△，连接．当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为　　；若此时三棱锥外接球的体积为，则的值为　　．
第八章 立体几何专题训练（二）—球 答案1．解：根据题意，当为正三角形时，底面积最大值，．那么的外接圆半径：，可得，当高通过球心时，最高，三棱锥体积的最大值为，；得，由球心与圆心构造勾股定理，可得；解得；该球的表面积；故选：．2．解：，，为球的球面上三个点，由，圆心在中点上，，，可得和是等边三角形，其边长为球的半径，，根据球心到平面的距离为，那么球的半径，解得，则球的体积．故选：．3．解：根据题意，平面平面，面面，，平面．，是等腰三角形，是直角三角形，可得；那么平面和平面的外接圆半径分别为，；球心到距离相等于，可得；球的表面积．故选：．4．解：由题意，，，，可得是等边三角形，是直角三角形，将沿折起后，点是的外心，其圆的半径；点是的外心，其圆的半径；是二面角的平面角，即，记该几何体的外接球球心为，连接，，连接，由于四点共圆，，，，在中由余弦定理，可得，在中，，，可得，外接球半径，外接球表面积；故选：．5．解：如图，为的内心，若，则平面，又平面，即有，故，，若为内切球的球心，且，即内切球的半径为，，而，，解得，该三棱锥的内切球的体积为．故选：．6．解：如图，，，，则，圆柱的体积为：．当且仅当，即，时上式等号成立．故选：．7．解：设的外接圆半径为，由的外接圆面积为，可得，解得，又，故为正三角形，则，解得，，如图，设球与外接圆的其中一个交点为，则，即，球的半径为，其表面积为．故选：．8．解：依题意，，，两两互相垂直，取中点，连接，由对称性可知，球心在点正上方，且平面，，，，，则，设球的半径为，则，解得，由，解得，平面，，又，而，在中，由余弦定理有，故，在中，，要使过作圆的截面面积最小，则此时截面与垂直，设此时截面圆半径为，则，．故选：．9．解：如图，依题意，为三棱锥外接球的球心，则，与均为正三角形，且有公共边，，为等腰三角形，，又，为等腰直角三角形，设边长为，则其面积，故，解得，，，，即外接球半径为，体积为．故选：．10．解：如图，设点为外接圆的圆心，则三棱锥外接球的球心一定在过点且与平面垂直的直线上，不妨设点为外接圆的圆心，则平面，且，过点作平面，则点为外接圆的圆心，在中，由余弦定理有，，，，延长交于，连接，，为边长为1的正三角形，为中点，，由于平面平面，故四边形为矩形，则，在中，，即，解得，三棱锥的外接球的表面积为．故选：．11．解：对于，当与重合时，与是相交直线，故错误；对于，由已知可得，又平面平面，平面，在矩形中，的面积，又，，故正确；对于，由平面，得，又，，平面，得直线与所成角为，故正确；对于，由题意可知，四边形为矩形，连接，则矩形的外接圆的圆心为的中点，且，过作，垂足为，连接，，则，，，故，就是四棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，则外接球的表面积为，故正确．故选：．12．解：如图，由，平面平面，且平面平面，平面，取中点，则为三角形的外心，取的中点，连接，则，可得平面，设的外心为，三棱锥的外接球的球心为，连接，，则平面，底面，可得四边形为矩形，则到平面的距离等于，故错误；在中，由余弦定理可得，则，设三角形外接圆的半径为，可得，又，到底面的距离为，故正确；则三棱锥外接球的半径，则球的表面积是，故正确；球的体积为，故错误．故选：．13．解：折叠后与重合，与重合，因为与是相交直线，故选项错误，选项正确；是等边三角形，为的中心，则，连结，则有平面，在中，由勾股定理可得，由对称性可得，，由于，所以不是外接球的球心，除点以外的其它点，无法保证到五个顶点，，，，的距离都相等，故此六面体无外接球，故选项错误；由对称性，到六个面的距离相等，故为六面体内切球的球心，在中，即为内切球的半径，，因为，，所以，所以，故，所以，故选项正确．故选：．14．解：选项：因为，所以，且平面，所以，故正确，选项：设平面，则，所以，所以，则，同理，则当在上时，取得最大值为，故正确，选项：当时，三棱锥的体积最大，因为，则，，则，故错误，选项：作，则可得为球心到截面距离的最大值，且，故正确，故选：．15．解：三棱锥中，，，三角形是等腰直角三角形，如图，为其外接球的一条直径，若该三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为，所以，所以，，所以外接球的半径为：．所以外接球的表面积为：．故答案为：．16．解：设为正方形的中心，的中点为，连接，，，则，，，如图，在截面中，设为球与平面的切点，则在上，且，设球的半径为，则，因为，所以，则，，所以，设球与球相切与点，则，设球的半径为，同理可得，所以，故小球的表面积：．故答案为：．17．解：由知，点位于过的外心且垂直于面的直线上，若要四面体体积最大，则、在平面的同侧且点满足平面，如图所示，设外接球球心为，在平面上的投影为，外接球半径为，设，则，为圆上的三点，，，设，则，易知在处取得最大值，，又，，解得，．故答案为：．18．解：在直角梯形中，，，，，，可得，即，当平面平面时，三棱锥的体积取得最大值，取中点，中点，连接，，则，平面平面，且平面平面，平面，，，，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，，，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为；，的外接圆的半径，外接圆的圆心为点，设三棱锥外接球的球心为，半径为，设，由，得，解得，即为三棱锥外接球的球心，可得，由，解得．即的值为．