【备战2022】高考数学选择题专题强化训练：异面直线所成的角

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一、选择题（共28小题；共140分）
1. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为
A. 22B. 32C. 52D. 72

2. 如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，若 ∠BAC=90∘，AB=AC=AA1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成角为
A. 30∘B. 150∘C. 60∘D. 120∘

3. 在正方体 ABCD−AʹBʹCʹDʹ 中，ABʹ 和 BCʹ 所成的角的大小是
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

4. 如图所示，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

5. 在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，P 为 B1C1 的中点，那么直线 CP 与 B1D1 所成角的余弦值是
A. 32B. 1010C. 35D. 45

6. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别为 AA1，AB，BB1，BC1 的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于
A. 45∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘

7. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，下列结论错误的是
A. 直线 BD1 与直线 B1C 所成的角为 π2
B. 直线 B1C 与直线 A1C1 所成的角为 π3
C. 线段 BD1 在平面 AB1C 内的射影是一个点
D. 线段 BD1 恰被平面 AB1C 平分

8. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，E，F，G，H 分别为 AA1，AB，BB1，B1C1 的中点，则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于
A. 45∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘

9. 如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 BB1，B1C1 的中点．若 ∠CMN=90∘，则异面直线 AD1 与 DM 所成的角为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

10. 异面直线 a，b 所成的角为 π6，直线 a⊥c，则异面直线 b 与 c 所成角的范围为
A. π3,π2B. π6,π2C. π3,2π3D. π6,5π6

11. 如图，在底面为正方形的四棱锥 P−ABCD 中，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，PA=AD，则异面直线 PB 与 AC 所成的角为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

12. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=AD=2，AA1=2，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为
A. 23B. 56C. 33D. 66

13. 已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为
A. 16B. 36C. 13D. 33

14. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”．如图，若四棱锥 P−ABCD 为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD，E 为棱 PA 的中点，则异面直线 AB 与 CE 所成角的正弦值为
A. 22B. 53C. 52D. 32

15. 如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为
A. AC⊥BD
B. AC∥截面PQMN
C. AC=BD
D. 异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45∘

16. 将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，并使得平面 ABC 垂直于平面 ACD，直线 AB 与 CD 所成的角为
A. 90∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘

17. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中，AA1=2AB=2，则异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为
A. 15B. 25C. 35D. 45

18. 平面 α 过正方体 ABCD−A1B1C1D1 的顶点 A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则 m，n 所成角的正弦值为
A. 32B. 22C. 33D. 13

19. 如图，四棱锥 S−ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是
A. AC⊥SB
B. AB∥平面SCD
C. SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角
D. AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角

20. 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 P 在线段 AD1 上运动，则下列命题错误的是
A. 异面直线 C1P 和 CB1 所成的角为定值
B. 直线 CD 和平面 BPC1 平行
C. 三棱锥 D−BPC1 的体积为定值
D. 直线 CP 和平面 ABC1D1 所成的角为定值

21. 如图，圆锥的高 SO=3，底面直径 AB=2，C 是圆 O 上一点，且 AC=1，则 SA 与 BC 所成角的余弦值为
A. 34B. 33C. 14D. 13

22. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=3，AD=1，AA1=2，点 O 为长方形 ABCD 对角线的交点，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AD1 与 OE 所成的角为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

23. 若正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 的体积为 3，AB=1，则直线 AB1 与 CD1 所成的角为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

24. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 F 是线段 BC1 上的动点，则下列说法错误的是
A. 当点 F 移动至 BC1 中点时，直线 A1F 与平面 BDC1 所成角最大且为 60∘
B. 无论点 F 在 BC1 上怎么移动，都有 A1F⊥B1D
C. 当点 F 移动至 BC1 的中点时，才有 A1F 与 B1D 相交于一点，记为点 E，且 A1EEF=2
D. 无论点 F 在 BC1 上怎么移动，异面直线 A1F 与 CD 所成角都不可能是 30∘

25. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC−A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为
A. 55B. 53C. 255D. 35

26. 若正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 的体积为 3，AB=1，则直线 AB1 与 CD1 所成的角为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘

27. 如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=BC，E，F 分别是 AB1，BC1 的中点有下列结论：① EF 与 BB1 垂直；② EF⊥平面BCC1B1；③ EF 与 C1D 所成的角为 45∘；④ EF∥平面A1B1C1D1．其中不成立的是
A. ②③B. ①④C. ③D. ①②③

28. 如图，正四面体 ABCD 的顶点 A，B，C 分别在两两垂直的三条射线 Ox，Oy，Oz 上，则在下列命题中，错误的为
A. O­−ABC 是正三棱锥
B. 直线 OB∥平面ACD
C. 直线 AD 与 OB 所成的角是 45∘
D. 二面角 D−­OB­−A 为 45∘

二、选择题（共2小题；共10分）
29. 如图所示，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，其中正确的结论为
A. 直线 AM 与 C1C 是相交直线
B. 直线 AM 与 BN 是平行直线
C. 直线 BN 与 MB1 是异面直线
D. 直线 MN 与 AC 所成的角为 60∘

30. 将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则下列结论中正确的是
A. AC⊥BD
B. 异面直线 AB，CD 所成角为 π3
C. △ADC 为等边三角形
D. 直线 AB 与平面 BCD 所成角为 π3
答案
第一部分
1. C【解析】取 DD1 中点 F，连 EF，AF，AE，
易知 EF∥DC，
所以 ∠AEF 为两异面直线所成的角．
在 Rt△AEF 中，令正方体棱长为 1，则 EF=1，AF=52，
所以 tan∠AEF=AFEF=52．
故选C．
2. C
3. C
4. C【解析】连接 B1D1，D1C（图略），
则 B1D1∥EF，故 ∠D1B1C 即为所求的角．
又 B1D1=B1C=D1C，
所以 △B1D1C 为等边三角形，
所以 ∠D1B1C=60∘．
5. B
6. C
7. D【解析】因为已知为正方体，由三垂线定理得到直线 BD1 与平面 AB1C 垂直，所以直线 BD1 与直线 B1C 垂直；故A正确；
因为三角形 AB1C 是等边三角形，并且 AC∥A1C1，所以直线 B1C 与直线 A1C1 所成的角为 π3；正确；
因为直线 BD1 与平面 AB1C 垂直，所以线段 BD1 在平面 AB1C 内的射影是一个点；正确；
利用正方体的对称性，线段 BD1 被平面 AB1C 和平面 A1DC1 分成 3 等分，且交点不重合；故D错误．
8. B
9. D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系．
设 D1C1=a，C1B1=b，C1C=c，
则 D10,0,0，A0,b,c，D0,0,c，Ca,0,c，Ma,b,12c，Na,12b,0．
所以 MN=0,−12b,−12c，MC=0−b,12c．
因为 ∠CMN=90∘，
所以 MN⋅MC=0，即 12b2−14c2=0，
所以 b2=12c2．
所以 AD1⋅DM=0,−b,−c⋅a,b,−12c=−b2+12c2=0．
所以异面直线 AD1 与 DM 所成的角为 90∘．
10. A
【解析】作 b 的平行线 b′，交 a 于 O 点，
所有与 a 垂直的直线平移到 O 点组成一个与直线 a 垂直的平面 α，
O 点是直线 a 与平面 α 的交点，
在直线 b′ 上取一点 P，作垂线 PP′⊥平面α，交平面 α 于 P′，∠POP′ 是 b′ 与面 α 的夹角为 π3，在平面 α 中，所有与 OP′ 平行的线与 b′ 的夹角都是 π3，由于 PP′ 垂直于平面 α，所以该线垂直与 PP′，则该线垂直于平面 OPP′，所以该线垂直于 b′，
故在平面 α 所有与 OP′ 垂直的线与 b′ 的夹角为 π2，与 OP′ 夹角大于 0，小于 π2 的线，与 b′ 的夹角为锐角且大于 π3，
故选A．
11. C【解析】因为 平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊂平面PAD，
所以 PA⊥平面ABCD．
分别过点 P，D 作 AD，AP 的平行线交于点 M，连接 CM，AM．
因为 PM∥AD，AD∥BC，PM=AD，AD=BC，
所以四边形 PBCM 是平行四边形，
所以 PB∥CM，
所以 ∠ACM（或其补角）就是异面直线 PB 与 AC 所成的角．
因为四边形 PADM，底面 ABCD 均为正方形，
设 PA=AD=a，在三角形 ACM 中，AM=2a，AC=2a，CM=2a，
所以三角形 ACM 是等边三角形，
所以 ∠ACM 等于 60∘，即异面直线 PB 与 AC 所成的角为 60∘．
故选C．
12. A【解析】画出图形，如图所示．
连 AD1，B1D1，则 AD1∥BC1，
所以 ∠B1AD1 即为 AB1 与 BC1 所成的角或其补角．
在 B1AD1 中，AB1=AD1=6，B1D1=2，
所以由余弦定理得 cs∠B1AD1=6+6−42×6=23，
所以异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 23．
13. B【解析】如图，取 AD 的中点 F，连接 EF，CF．
因为 E 为 AB 的中点，
所以 EF∥DB，
则 ∠CEF 为异面直线 BD 与 CE 所成的角．
在正四面体 ABCD 中，
因为 E，F 分别为 AB，AD 的中点，
所以 CE=CF，
设正四面体的棱长为 2a，
则 EF=a，CE=CF=2a2−a2=3a，
在 △CEF 中，由余弦定理得 cs∠CEF=CE2+EF2−CF22CE⋅EF=a22×3a2=36．
14. B
15. C
【解析】因为截面 PQMN 是正方形，所以 PQ∥MN，QM∥PN，
则 PQ∥平面ACD，QM∥平面BDA，
所以 PQ∥AC，QM∥BD，
由 PQ⊥QM 可得 AC⊥BD，故A正确；
由 PQ∥AC 可得 AC∥截面PQMN，故B正确；
异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 QM 所成的角，故D正确；
综上C是错误的．
16. B【解析】如图，取 AC，BD，AD 的中点，分别为 O，M，N，
则 ON∥CD，MN∥AB，
且 ON=12CD，MN=12AB，
所以 ∠ONM 或其补角即为所求的角．
因为平面 ABC 垂直于平面 ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，BO⊥AC，AC⊂平面ACD，
所以 BO⊥平面ACD，
所以 BO⊥OD．
设正方形边长为 2，OB=OD=2，
所以 BD=2，
则 OM=12BD=1．
所以 ON=MN=OM=1．
所以 △OMN 是等边三角形，∠ONM=60∘．
所以直线 AB 与 CD 所成的角为 60∘．
故选B．
17. D【解析】连接 BC1，
易证 BC1∥AD1，则 ∠A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角．连接 A1C1，
由 AB=1，AA1=2，易得 A1C1=2，A1B=BC1=5，故 cs∠A1BC1=A1B2+BC12−A1C122×A1B×BC1=45，
即异面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 45．
18. A【解析】如图所示，
设 平面CB1D1∩平面ABCD=m1，
因为 α∥平面CB1D1，则 m1∥m，
又因为 平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1，
所以 B1D1∥m1，
所以 B1D1∥m，同理可得 CD1∥n．
故 m，n 所成角的大小与 B1D1，CD1 所成角的大小相等，即 ∠CD1B1 的大小．
又因为 B1C=B1D1=CD1（均为面对角线），
所以 ∠CD1B1=π3，
得 sin∠CD1B1=32．
19. D【解析】A正确，因为 SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以 AC⊥SD．
因为四边形 ABCD 为正方形，
所以 AC⊥BD．
又因为 BD∩SD=D．
所以 AC⊥平面SBD，
所以 AC⊥SB．
B正确，因为 AB∥CD，而 CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，
所以 AB∥平面SCD．
C正确，设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 SO，如图，
则 SA 与平面 SBD 所成的角为 ∠ASO，SC 与平面 SBD 所成的角为 ∠CSO，易知 ∠ASO=∠CSO，故 SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角．
D不正确，AB 与 SC 所成的角是 ∠SCD，DC 与 SA 所成的角是 ∠SAB，
易知 ∠SCD≠∠SAB．故D不正确．
20. D
【解析】选项A，因为在棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 P 在线段 AD1 上运动，所以 CB1⊥平面ABC1D1，因为 C1P⊂平面ABC1D1，所以 CB1⊥C1P，故这两个异面直线所成的角为定值 90∘，故A正确；
选项B，直线 CD 和平面 ABC1D1 平行，所以直线 CD 和平面 BPC1 平行，故B正确；
选项C，三棱锥 D−BPC1 的体积等于三棱锥 P−DBC1 的体积，而 △DBC1 大小一定，因为 P∈AD1，而 AD1∥平面BDC1，所以点 A 到平面 DBC1 的距离即为点 P 到该平面的距离，所以三棱锥 D−BPC1 的体积为定值，故C正确；
选项D，由线面夹角的定义，令 BC1 与 B1C 的交点为 O，可得 ∠CPO 即为直线 CP 和平面 ABC1D1 所成的角，当 P 移动时 ∠CPO 是变化的，故D错误．
21. A
22. C
23. C【解析】因为正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 的体积为 3，AB=1，
所以 AA1=3，
以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A1,0,0，B11,1,3，C0,1,0，D10,0,3，
AB1=0,1,3，CD1=0,−1,3，
设直线 AB1 与 CD1 所成的角为 θ，
则 csθ=AB1⋅CD1AB1⋅CD1=24⋅4=12，又 0∘<θ≤90∘，
所以 θ=60∘，
所以直线 AB1 与 CD1 所成的角为 60∘．
24. A
25. A
【解析】不妨令 CB=1，则 CA=CC1=2．
可得 O0,0,0，B0,0,1，C10,2,0，A2,0,0，B10,2,1，
所以 BC1=0,2,−1，AB1=−2,2,1，
所以 cs⟨BC1,AB1⟩=BC1⋅AB1BC1AB1=55>0．
所以 BC1 与 AB1 的夹角即为直线 BC1 与直线 AB1 的夹角，
所以直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为 55．
26. C【解析】因为正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 的体积为 3，AB=1，
所以 AA1=3，
以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD1 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A1,0,0，B11,1,3，C0,1,0，D10,0,3，
AB1=0,1,3，CD1=0,−1,3，
设直线 AB1 与 CD1 所成的角为 θ，
则 csθ=∣AB1⋅CD1∣∣AB1∣⋅∣CD1∣=24⋅4=12，
又 0∘<θ≤90∘，
所以 θ＝60∘，
所以直线 AB1 与 CD1 所成的角为 60∘．故选C．
27. A【解析】分别取 A1B1，B1C1 的中点 G，H，连接 A1C1，A1D，EG，GH，HF（图略），
易知四边形 EGHF 是矩形，
所以 EF∥GH，又由 BB1⊥平面A1C1 得 BB1⊥GH，
所以 EF 与 BB1 垂直，①正确；
易得 GH 与平面 BCC1B1 不垂直，所以②错误；
EF 与 C1D 所成的角即为 ∠A1C1D，
因为 AB=BC，
所以 △DA1C1 是以 A1C1 为底边的等腰三角形，且 A1D 与 C1D 不垂直，
所以 EF 与 C1D 所成的角不为 45∘，③错误；
EF∥GH，GH⊂平面A1B1C1D1，EF⊄平面A1B1C1D1，
所以 EF∥平面A1B1C1D1，所以④正确．
故不成立的是②③．
28. B【解析】依题意，将正四面体 ABCD 补成一个正方体，如图，
且点 O 恰好是该正方体的一个顶点，由此不难得知棱锥 O­−ABC 是正三棱锥，直线 OB 与平面 ACD 相交（注意观察与直线 OB 平行的直线 AE 与平面 ACD 是相交的 ），直线 AD 与 OB 所成的角等于直线 AD 与直线 AE 所成的角，直线 AD 与直线 AE 所成的角为 45∘，所以直线 AD 与 OB 所成的角是 45∘，二面角 D−­OB­−A 的平面角等于二面角 M−OB−A 的平面角，即为 ∠AOM，易得 ∠AOM=45∘，所以二面角 D−­OB­−A 的平面角为 45∘．
第二部分
29. C， D
30. A， B， C
【解析】设 BD 中点为 O，连接 AO，CO，
易知 CO⊥BD，AO⊥BD，
又 CO∩AO=O，
所以 BD⊥平面AOC，
又 AC⊂平面AOC，
所以 BD⊥AC，
故A正确；
以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方形 ABCD 的边长为 a，
则 A22a,0,0，B0,22a,0，C0,0,22a，D0,−22a,0，
故 AB=−22a,22a,0，CD=0,−22a,−22a，
所以 cs⟨CD,AB⟩=−12，
故异面直线 AB，CD 所成角的大小为 π3，
故B正确；
在直角三角形 AOC 中，
由 AO=CO=22a，AO⊥CO，
得 AC=2AO=a，
故 △ADC 为等边三角形，
故C 正确；
易知 ∠ABO 即为直线 AB 与平面 BCD 所成的角，
易得 ∠ABO=π4，
故D错误．