第八章 立体几何专题训练（四）—直线与平面所成的角-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

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第八章 立体几何专题训练（四）—直线与平面所成的角一．单选题1．直三棱柱的棱长都是2，则与平面所成角的正弦值　　A． B． C． D．2．如图，在正三棱柱中，，，点是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为　　A． B． C． D．3．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中错误的是　　A． B．平面平面 C．和与平面所成的角相等 D．异面直线与所成的角和异面直线与所成的角相等4．在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成角的大小为　　A． B． C． D．5．已知正方体的体积为，点在面上，且，到的距离分别为2，，则直线与平面所成角的正弦值为　　A． B． C． D．6．在菱形中，，为的中点，将沿折起，使到达的位置，且，则与平面所成角的正切值为　　A． B． C． D．7．平面四边形中，，，且，现将沿对角线翻折成△，则在△折起至转到平面的过程中，直线与平面所成最大角的正切值为　　A．2 B． C． D．8．已知菱形中，，与相交于点，将沿折起，使顶点至点，在折起的过程中，下列结论正确的是　　①；②存在一个位置，使为等边三角形；③与不可能垂直；④直线与平面所成的角的最大值为．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．多选题9．已知正方体中，为线段上的一个动点可以与端点、重合），则下列结论中正确的是　　A． B．平面 C．与平面所成角的最小值为，则 D．三棱锥的体积为定值10．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，在线段上，则下面说法中正确的有　　A．平面 B．若是上的中点，则 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．直线与直线所成角最小时，线段长为11．如图，在三棱柱中，底面，，，，是的中点，、分别为、△所在平面上的点，且，则下列结论正确的是　　A． B．直线与底面所成的角为 C．异面直线与所成角的最大值为 D．三棱锥的外接球的体积为12．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②．则下列结论正确的是　　A．经过三个顶点，，的球的截面圆的面积为 B．异面直线与所成的角的余弦值为 C．直线与平面所成的角为 D．球离球托底面的最小距离为三．填空题13．在正方体中，为棱的中点，则与底面所成角的正弦值为　　．14．在正三棱锥中，侧棱长为3，底面边长为2，则点到平面的距离为　　；与面所成角的余弦值为　　．15．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为，地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角的大小为　　．16．已知三棱锥的各棱长均相等，点在棱上，且，动点在棱上，设直线与平面所成角为，则的最大值是　　．四．解答题17．已知梯形如图1所示，其中，，，四边形是边长为1的正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图2所示的几何体．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离；（3）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 18．已知在四棱锥中，平面，四边形为矩形，，，为棱上一点，且．（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．如图，在几何体中，四边形是边长为2的菱形，且，，，，平面平面．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求直线与平面成角的正弦值． 20．在直角梯形中，，，，，为线段中点．将沿折起，使平面平面，得到几何体．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
第八章立体几何专题训练（四）—直线与平面所成的角 答案1．解：取的中点，连接，，由题意知，△为等边三角形，，由直三棱柱的性质知，平面平面，又平面平面，平面，为与平面所成角，在△中，，，．故选：．2．解：平面，与平面所成角为，，，，而平面平面，设直线与平面所成角为，则与平面所成角的正弦值为：．故选：．3．解：四棱锥的底面为正方形，底面，对于，由题意得，，，、平面，平面，平面，，故正确；对于，由题意知，，，，平面，平面，平面，平面平面，故正确；对于，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，，则，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，设平面的法向量，，，则，取，得，，，设和与平面所成的角分别为，，则，，和与平面所成的角相等，故正确；对于，由得，1，，，1，，，，，，0，，，，异面直线与所成的角和异面直线与所成的角不相等，故错误．故选：．4．解：取的中点，连接，，正三棱柱中，面，就是与侧面所成的角，，，，．与侧面所成角的大小为．故选：．5．解：设正方体的棱长为，则，故，即，，连接，，，则点在上且为中点，连接与交于，连接，可知平面，则为直线与平面所成角，在直角三角形中，．故选：．6．解：不妨设，连结，，因为，，为的中点，所以，，又，，平面，所以平面，因为，所以且，所以△为等边三角形，设的中点为，连结，，则，因为平面，平面，所以，又，，平面，则平面，所以即为直线与平面所成的角，因为，，所以，则．故选：．7．解：取的中点，连结，，如图所示，由题意可知，，因为，所以，，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因此点在平面内的射影在直线上，即为直线与平面所成的角，因为，，且，所以，，由正弦定理可得，，故的最大值为，所以直线与平面所成最大角的正切值为．故选：．8．解：取的中点，连结．，如图所示，对于，因为，，所以，，又，，平面，所以平面，又平面，所以，故选项正确；对于，由题意可知，，故三棱锥是正四面体时，为等边三角形，故选项正确；对于，三棱锥是正四面体时，与垂直，故选项错误；对于，在平面与底面垂直时，直线与平面所成角的最大值为，故选项正确．故选：．9．解：由正方体的性质可知平面，平面，，故正确；因平面平面，平面，所以平面，故正确：设正方体的校长为，则到平面的距离为，最长为，所以最小值满足，所以错误；因，平面，所以到平面的距离不变，这样三棱锥的体积不变，所以正确．故选：．10．解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，由题意可得，，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，，1，，设，，，故，直三棱柱中，，所以为平面的一个法向量，是平面的一个法向量，对于，，所以，即，又平面，所以，故选项正确；对于，若是上的中点，则，所以，所以与不垂直，故选项错误；对于，因为是平面的一个法向量，，设直线与平面所成的角为，则，故选项正确；对于，设，故，所以，所以，故当，即时，取得最大值，即直线与直线所成的角最小，此时，所以，故选项正确．故选：．11．对于选项，作底面，为垂足，则是的中点，，在中，，，，由勾股定理知，，即选项正确；对于选项，考虑到，设为底面上的一点，且使，则在以为圆心，为半径的圆上运动，当在上，且位于和之间时，由及，可得，，，与底面所成的角为，即选项正确；对于选项，当在上，且位于和之间时，最大，且为，与所成角的最大值为，即选项错误；对于选项，，三棱锥外接球的球心为，半径为，体积，即选项正确．故选：．12．解：设球的半径为，因为球的体积为，所以，解得，对于，经过三个顶点，，的球的截面圆，即是与△全等的三角形的外接圆，其半径为，则其面积为，所以错；对于，作辅助线如图②，，，所以为与成角，，、分别为、边中点，所以，所以，所以对；对于，如图②，平面，所以为在平面内射影，于是即为直线与平面所成的角，大小为，所以对；对于，如图③，，，，所以球离球托底面的最小距离为，所以对．故选：．13．解：如图，取的中点，连接，，可知底面，所以与底面所成角为，设，则，，所以．故答案为：．14．解：在正三棱锥中，设顶点在底面上的射影为，则平面，且为底面的中心，连结并延长，与交于点，则为的中点，因为底面边长为2，所以，故，又侧棱长，所以，故点到平面的距离为；以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面的法向量为，则有，令，则，故，则，所以与面所成角的正弦值为，故与面所成角的余弦值为．故答案为：；．15．解：画出截面图，如下图所示，其中是赤道所在平面的截线．是点处的水平面的截线，由题意可得，是晷针所在直线．是晷面的截线，由题意晷面和赤道面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得，根据线面垂直的定义可得，由于，，所以，由于，所以，也即晷针与处的水平面所成角为，故答案为：．16．解：设棱长为，，由余弦定理得．则正四面体的高，设到平面的距离为，则，，，时，的最大值为．故答案为：．17．（1）证明：平面平面，平面，平面平面，，平面，平面，，四边形是正方形，，、平面，，平面平面，平面平面（3分）（2）解：过点作于点，因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，所以线段的长即为点到平面的距离，在中，，由等积变换，得，即点到平面的距离为．（说明本题也可以用等体积变换求解，也可用向量法求解）（3）解：建系如图，设平面的法向量，，0，，，0，，，1，，，，令，则，则，设，，，，则解得或（舍（10分）故，（12分）18．（1）证明：在矩形中，，，，，即，平面，平面，，又，、平面，平面，平面，平面平面．（2）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，0，，，，，，，，设，，，则，0，，，0，，，，，，，，设平面的法向量为，，，则，即，令，则，，，，，直线与平面所成的角为，，即，化简得，解得，，，，．19．解：（Ⅰ）证明：设点，分别是，的中点，连接，，，则，且，，且，四边形是平行四边形，，，是中点，，平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，平面平面．（Ⅱ）连接，由（Ⅰ）得平面，四边形是边长为2的等边三角形，，，以为坐标原点，向量，的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，0，，，，，，，，，0，，设，0，，，则，，设，，是平面的一个法向量，则，取，得，，设，，是平面的一个法向量，则，取，得，，，，解得，，直线与平面成角的正弦值为．20．解：（Ⅰ）证明：由题设可知，，，，，又平面平面，平面平面，面，，，且，平面．（Ⅱ）取的中点，连接，由题设可知为等腰直角三角形，面，连接，、分别为和的中点，，由（Ⅰ）可知，故以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示．则，，，，0，，，，，，0，，，，，，设平面的一个法向量，，，则，取，得，1，，设直线与平面所成的角为则直线与平面所成角的正弦值为：．