第八章 立体几何专题训练（五）—二面角-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

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第八章 立体几何专题训练（五）—二面角一．解答题1．如图，已知直四棱柱的底面为平行四边形，，，为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．2．如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，在直角梯形中，，，，，是棱的中点．（1）求证：平面；（2）设点在线段上，若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长．3．已知在四棱锥中，平面，，，，为的中点．（1）求证；平面；（2）若，，，求锐二面角的余弦值．4．如图，四边形是边长为2的菱形，，，分别为，的中点，将和沿着和折起，使得平面和平面均垂直于平面．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．5．如图1，由正方形、直角三角形和直角三角形组成的平面图形，其中，将图形沿、折起使得、重合于，如图2．（1）判断图2中平面和平面的交线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角大小的余弦值．6．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值． 第八章 立体几何专题训练（五）—二面角答案1．解：（1）证明：因为四边形为平行四边形，所以，又，，所以，所以．（2分）在直四棱柱中，易得，又，所以平面，所以．连接，因为，所以△，则，（4分）又，所以，所以，由直四棱柱的特征易知，所以．又，所以平面．（6分）（2）由（1）可知，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，2，，，，所以，，（8分）设平面的法向量为，，，则，令，则，即．（10分）由（1）可知平面的一个法向量为，所以，由图知二面角的平面角为锐角，所以其余弦值为．（12分）2．（1）证明：如图，作交于点，连接，，，又，，，且，即有四边形是平行四边形，得，平面平面，平面平面，，平面，平面，而平面，则平面平面，为等边三角形，为的中点，则，平面，平面平面，平面平面，平面，又，平面；（2）解：如图，设是的中点，在正中，，作，，由平面平面，可得平面，则平面，再以，方向为，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，，，，0，，，0，，，，，．，，，，0，，设平面的法向量为，，，由，取，得，1，；点在线段上，设其坐标为，0，，其中，，0，，，，，设平面的法向量为，，，由，取，得，，．由题意，设平面与平面所成的锐二面角为，则，整理得或，，，0，，．3．（1）证明：取的中点为，分别连接，，又因为为的中点，所以，且又因为，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以又平面，平面，所以平面．（5分）（2）解：由，，三条直线两两相互垂直．以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，因为在四边形中，，，，所以点在线段的垂直平分线上．又因为，所以所以有点，0，，，1，，，2，，，所以设平面的一个法向量，则，令，得，易知平面的一个法向量为，（9分）因为，所以，（11分）所以锐二面角的余弦值为．（12分）4．（Ⅰ）证明：在菱形中，，，且，分别为，的中点，，，由已知平面平面，平面平面，又，平面平面，平面平面，平面，平面，同理平面，则，又，四边形为平行四边形，，而平面，平面，平面；（Ⅱ）解：以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，，，，，，，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得．，由平面法向量坐标可知，与二面角的平面角互补，二面角的余弦值为．5．解：（1）平面和平面的交线平面．理由如下：，平面，平面，平面，平面，平面平面，，而平面，平面，平面；（2）由图1可知，，，则图2中，，，，平面，而平面，平面平面，取中点，中点，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，1，，，1，，，0，，，，，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得．．由图可知，二面角为钝角，二面角的余弦值为．6．解：（1）证明：在中，，，，，是的中点，，在中，，，，，得，，得，在中，，，，满足，，而，平面，平面，平面平面；（2）由（1）知，平面，以为坐标原点，分别以、所在直线为、轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，0，，，0，，，，，求解三角形可得，0，，则，，，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得．．由图可知，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．