高考数学(理数)一轮复习：课时达标检测13《导数的概念及运算》(教师版)

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对点练(一) 导数的运算
1．设函数f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)，则f′(x)＝( )
A．3x2＋3kx＋k2B．x2＋2kx＋2k2
C．3x2＋6kx＋2k2D．3x2＋6kx＋k2
解析：选C 法一：f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)，
f′(x)＝(x＋k)(x＋2k)＋x[(x＋k)(x＋2k)]′＝(x＋k)·(x＋2k)＋x(x＋2k)＋x(x＋k)
＝3x2＋6kx＋2k2，故选C.
法二：因为f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)＝x3＋3kx2＋2k2x，所以f′(x)＝3x2＋6kx＋2k2，故选C.
2．给出下列结论：
①若y＝lg2x，则y′＝eq \f(1,xln 2)； ②若y＝－eq \f(1,\r(x))，则y′＝eq \f(1,2x\r(x))；
③若f(x)＝eq \f(1,x2)，则f′(3)＝－eq \f(2,27)； ④若y＝ax(a>0)，则y′＝axln a．
其中正确的个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
解析：选D 根据求导公式可知①正确；若y＝－eq \f(1,\r(x))＝－x SKIPIF 1 < 0 ，则y′＝eq \f(1,2)x SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2x\r(x))，
所以②正确；若f(x)＝eq \f(1,x2)，则f′(x)＝－2x－3，所以f′(3)＝－eq \f(2,27)，所以③正确；
若y＝ax(a>0)，则y′＝axln a，所以④正确．因此正确的结论个数是4，故选D.
3．若函数y＝xm的导函数为y′＝6x5，则m＝( )
A．4B．5
C．6D．7
解析：选C 因为y＝xm，所以y′＝mxm－1，与y′＝6x5相比较，可得m＝6.
4．已知函数f(x)＝eq \f(x,ex)(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝( )
A.eq \f(1＋x,ex)B.eq \f(1－x,ex)
C．1＋xD．1－x
解析：选B 函数f(x)＝eq \f(x,ex)，则其导函数f′(x)＝eq \f(ex－xex,e2x)＝eq \f(1－x,ex)，故选B.
5．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)<0的解集为( )
A．(0，＋∞)B．(0,2)
C．(0,2)∪(－∞，－1)D．(2，＋∞)
解析：选B 函数f(x)＝x2－2x－4ln x的定义域为{x|x>0}，
f′(x)＝2x－2－eq \f(4,x)＝eq \f(2x2－2x－4,x)，由f′(x)＝eq \f(2x2－2x－4,x)<0，得0∴f′(x)<0的解集为(0,2)，故选B.
6．已知函数f(x)＝aex＋x，若1A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))B．(0,1)
C．(1,2)D．(2,3)
解析：选B 根据题意，f(x)＝aex＋x，则f′(x)＝(aex)′＋x′＝aex＋1，
则f′(0)＝a＋1，若1所以实数a的取值范围为(0,1)．故选B.
对点练(二) 导数的几何意义
1．函数f(x)＝tan eq \f(x,2)在[eq \f(π,2)，f(eq \f(π,2))]处的切线的倾斜角α为( )
A.eq \f(π,6)B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,3)D.eq \f(π,2)
解析：选B f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin \f(x,2),cs \f(x,2))))′＝eq \f(1,2cs2 \f(x,2))，得切线斜率k＝tan α＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝1，故α＝eq \f(π,4)，选B.
2．若函数f(x)＝x3－x＋3的图象在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为( )
A．(1,3)B．(－1,3)
C．(1,3)或(－1,3)D．(1，－3)
解析：选C f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，即3x2－1＝2⇒x＝1或－1，
又f(1)＝3，f(－1)＝3，所以P(1,3)或(－1,3)，
经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，故点P的坐标为(1,3)或(－1,3)．
3．过点(－1,1)与曲线f(x)＝x3－x2－2x＋1相切的直线有( )
A．0条B．1条
C．2条D．3条
解析：选C 设切点P(a，a3－a2－2a＋1)，由f′(x)＝3x2－2x－2，当a≠－1时，可得切线的斜率k＝3a2－2a－2＝eq \f(a3－a2－2a＋1－1,a－－1)，所以(3a2－2a－2)(a＋1)＝a3－a2－2a，即(3a2－2a－2)(a＋1)＝a(a－2)(a＋1)，所以a＝1，此时k＝－1.又(－1,1)是曲线上的点且f′(－1)＝3≠－1，故切线有2条．
4．已知直线y＝a与函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2－3x＋1的图象相切，则实数a的值为( )
A．－26或eq \f(8,3)B．－1或3
C．8或－eq \f(8,3)D．－8或eq \f(8,3)
解析：选D 令f′(x)＝x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，
∵f(－1)＝eq \f(8,3)，f(3)＝－8，∴a＝eq \f(8,3)或－8.
5．函数f(x)＝x＋eq \f(ln x,x)的图象在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.eq \f(1,2)B.eq \f(1,4)
C.eq \f(3,2)D.eq \f(5,4)
解析：选B 因为f(x)＝x＋eq \f(ln x,x)，f′(x)＝1＋eq \f(1－ln x,x2)，所以f(1)＝1，f′(1)＝2，
故切线方程为y－1＝2(x－1)．令x＝0，可得y＝－1；令y＝0，可得x＝eq \f(1,2).
故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，故选B.
6．若曲线y＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
C．(0，＋∞)D．[0，＋∞)
解析：选D 由题意知，函数y＝ln x＋ax2的定义域为(0，＋∞)，y′＝eq \f(1,x)＋2ax＝eq \f(2ax2＋1,x)≥0恒成立，即2ax2＋1≥0，a≥－eq \f(1,2x2)恒成立，又在定义域内，－eq \f(1,2x2)∈(－∞，0)，
所以实数a的取值范围是[0，＋∞)．
7．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，F(x)＝eq \f(f′x,ex)，若F(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c，则函数f(x)的最小值是( )
A．2B．1
C．0D．－1
解析：选C ∵f′(x)＝2x＋b，∴F(x)＝eq \f(2x＋b,ex)，F′(x)＝eq \f(2－2x－b,ex)，
又F(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝－2x＋c，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F′0＝－2，,F0＝c，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝c，,b＝4，))∴f(x)＝(x＋2)2≥0，f(x)min＝0.
8．已知函数f(x)＝x2－1，g(x)＝ln x，则下列说法中正确的为( )
A．f(x)，g(x)的图象在点(1,0)处有公切线
B．存在f(x)的图象的某条切线与g(x)的图象的某条切线平行
C．f(x)，g(x)的图象有且只有一个交点
D．f(x)，g(x)的图象有且只有三个交点
解析：选B 对于A，f(x)的图象在点(1,0)处的切线为y＝2x－2，函数g(x)的图象在点(1,0)处的切线为y＝x－1，故A错误；对于B，函数g(x)的图象在(1,0)处的切线为y＝x－1，设函数f(x)的图象在点(a，b)处的切线与y＝x－1平行，则f′(a)＝2a＝1，a＝eq \f(1,2)，故b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2－1＝－eq \f(3,4)，即g(x)的图象在(1,0)处的切线与f(x)的图象在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))处的切线平行，B正确；如图作出两函数的图象，可知两函数的图象有两个交点，C，D错误．故选B.
9．已知函数f(x)＝x3＋ax＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析：函数f(x)＝x3＋ax＋1的导数为f′(x)＝3x2＋a，f′(1)＝3＋a，又f(1)＝a＋2，所以切线方程为y－a－2＝(3＋a)(x－1)，因为切线经过点(2,7)，所以7－a－2＝(3＋a)(2－1)，解得a＝1.
答案：1
[大题综合练——迁移贯通]
1．定义在实数集上的函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝eq \f(1,3)x3－2x＋m.
(1)求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)若f(x)≥g(x)对任意的x∈[－4,4]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝x2＋x，∴f(1)＝2.
∵f′(x)＝2x＋1，∴f′(1)＝3.
∴所求切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.
(2)令h(x)＝g(x)－f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2－3x＋m，
则h′(x)＝(x－3)(x＋1)．
∴当－4≤x≤－1时，h′(x)≥0；
当－1＜x≤3时，h′(x)≤0；
当3＜x≤4时，h′(x)＞0.
要使f(x)≥g(x)恒成立，即h(x)max≤0，
由上知h(x)的最大值在x＝－1或x＝4处取得，
而h(－1)＝m＋eq \f(5,3)，h(4)＝m－eq \f(20,3)，
∴h(x)的最大值为m＋eq \f(5,3)，∴m＋eq \f(5,3)≤0，即m≤－eq \f(5,3).
∴实数m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,3))).
2．设函数f(x)＝ax－eq \f(b,x)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝eq \f(7,4)x－3，当x＝2时，y＝eq \f(1,2).
又因为f′(x)＝a＋eq \f(b,x2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a－\f(b,2)＝\f(1,2)，,a＋\f(b,4)＝\f(7,4).))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝3，))所以f(x)＝x－eq \f(3,x).
(2)证明：设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，
由y′＝1＋eq \f(3,x2)知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,x\\al(2,0))))(x－x0)，
即y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,x0)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(3,x\\al(2,0))))(x－x0)．
令x＝0，得y＝－eq \f(6,x0)，所以切线与直线x＝0的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(6,x0))).令y＝x，
得y＝x＝2x0，所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积
S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(6,x0 )))|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，
且此定值为6.
3．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
(3)证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．
解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，
则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
则由题意，及(1)可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≥－1，,－\f(1,k)≥－1，))解得－1≤k＜0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－eq \r(2)]∪(1,3)∪[2＋eq \r(2)，＋∞)．
(3)证明：设存在直线与曲线C同时切于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，
则点A(x1，y1)处的切线方程为y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x\\al(3,1)－2x\\al(2,1)＋3x1))＝(xeq \\al(2,1)－4x1＋3)(x－x1)，
化简得y＝(xeq \\al(2,1)－4x1＋3)x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)x\\al(3,1)＋2x\\al(2,1)))，
而点B(x2，y2)处的切线方程是y＝(xeq \\al(2,2)－4x2＋3)x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)x\\al(3,2)＋2x\\al(2,2))).
由于两切线是同一直线，则有xeq \\al(2,1)－4x1＋3＝xeq \\al(2,2)－4x2＋3，即x1＋x2＝4；
又有－eq \f(2,3)xeq \\al(3,1)＋2xeq \\al(2,1)＝－eq \f(2,3)xeq \\al(3,2)＋2xeq \\al(2,2)，即－eq \f(2,3)(x1－x2)·(xeq \\al(2,1)＋x1x2＋xeq \\al(2,2))＋2(x1－x2)(x1＋x2)＝0，
则－eq \f(1,3)(xeq \\al(2,1)＋x1x2＋xeq \\al(2,2))＋4＝0，则x1(x1＋x2)＋xeq \\al(2,2)－12＝0，
即(4－x2)×4＋xeq \\al(2,2)－12＝0，即xeq \\al(2,2)－4x2＋4＝0，解得x2＝2.
但当x2＝2时，由x1＋x2＝4得x1＝2，这与x1≠x2矛盾．
所以不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．