数学八年级下册第12章 二次根式综合与测试课后复习题

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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】
专题12.6二次根式的应用大题专练（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一．解答题（共25小题）
1．（2020春•玄武区期中）数学阅读：
古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=12（a+b+c），这个公式称为“海伦公式”．
数学应用：
如图，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；
（2）设AC边上的高为h1，BC边上的高h2，求h1+h2的值．

【分析】（1）根据海伦公式，代入解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【解析】（1）AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p=12(a+b+c)=12，
∴S=p(p−a)(p−b)(p−c)=12(12−7)(12−8)(12−9)=125；
（2）∵S△ABC=12AC⋅ℎ1=12BC⋅ℎ2=125，
∴ℎ1=2458=35，ℎ2=2457，
∴ℎ1+ℎ2=35+2457=4557．
2．（2021春•亭湖区校级月考）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为13+1米，宽为13−1米．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解析】（1）长方形ABCD的周长＝2×（83+98）＝2（83+72）＝163+142（米），
答：长方形ABCD的周长是163+142（米），
（2）通道的面积＝（83+98）﹣（13+1）（13−1）
＝566−（13﹣1）
＝566−12（平方米），
购买地砖需要花费＝6×（566−12）＝3366−72（元）．
答：购买地砖需要花费3366−72元；
3．（2020春•博白县期末）已知长方形的长a=1232，宽b=1318．
（1）求长方形的周长；
（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
【分析】首先化简a=1232=22，b=1318=2．
（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可．
【解析】a=1232=22，b=1318=2．
（1）长方形的周长＝（22+2）×2＝62；
（2）正方形的周长＝422×2=8，
∵62=72.8=64，
∵72＞64
∴62＞8．
4．（2019春•思明区校级期中）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为18dm2和32dm2的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？

【分析】从题意可知，剩余部分的长方形的长边为18bm，短边为32−18=2dm，由估算18，2的大小，做出判断即可．
【解析】剩余部分的长为18dm，宽为32−18=2dm，
∵2＜1.5，
∴剩余的木料的短边只能作为木条的短边，
∵4.2＜18＜4.3，
4.2÷1.5≈2，
因此只能截出2块，
答：最多能截出2块．
5．（2018秋•太仓市期末）若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=12（a+b+c）．
记：Q=p(p−a)(p−b)(p−c)．
（1）当a＝4，b＝5，c＝6时，求Q的值；
（2）当a＝b时，设三角形面积为S，求证：S＝Q．
【分析】（1）先根据△ABC的三边长求出p的值，然后再代入三角形面积公式中计算；
（2）设底边c上的高为h，根据三角形的面积公式得到S=12c•h=12ca2−c24，代入Q=p(p−a)(p−b)(p−c)得到Q=12ca2−c24，于是得到结论．
【解析】（1）∵a＝4，b＝5，c＝6，
∴p=12（a+b+c）=152，
∴Q=p(p−a)(p−b)(p−c)=152(152−4)(152−5)(152−6)=1574；
（2）∵a＝b，
∴设底边c上的高为h，
∴h=a2−c24，
∴S=12c•h=12ca2−c24，
∵a＝b，
∴p=12（a+b+c）＝a+12c，
∴Q=p(p−a)(p−b)(p−c)=(a+12c)(a+12c−a)(a+12c−a)(a+12c−c)=12ca2−c24，
∴S＝Q．
6．（2020秋•普宁市期中）材料：海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：S=p(p−a)(p−b)(p−c)（其中a，b，c为三角形的三边长，p=a+b+c2，S为三角形的面积）．利用上述材料解决问题：当a=5，b＝3，c＝25时．
（1）直接写出p的化简结果为　3+352　．
（2）写出计算S值的过程．
【分析】（1）把a、b、c的长代入求出p即可；
（2）把p的值代入S计算即可得解．
【解析】（1）∵a=5，b＝3，c＝25，
∴p=a+b+c2
=5+3+252
=3+352；
故答案为：3+352；
（2）S=p(p−a)(p−b)(p−c)
=3+352×(3+352−5)(3+352−3)(3+352−25)
=9×(9−5)(5−1)16
=9
＝3．
7．（2020春•瑶海区期中）（1）用“＝”、“＞”、“＜”填空．
12+13　＞　212×13；6+3　＞　26×3；1+15　＞　21×15；7+7　＝　27×7．
（2）由（1）中各式猜想a+b与2ab（a≥0，b≥0）的大小，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？

【分析】（1）根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论；
（2）直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可；
（3）根据对角线互相垂直的四边形面积＝相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用（2）的结论得出答案即可．
【解析】（1）∵(12−13)2＞0，
∴12−212×13+13＞0，
∴12+13＞212×13，
同理得：6+3＞26×3；1+15＞21×15；7+7＝27×7．
故答案为：＞，＞，＞，＝；
（2）猜想：a+b≥2ab（a≥0，b≥0），
理由是：∵a≥0，b≥0，
∴a+b﹣2ab=（a−b）2≥0，
∴a+b≥2ab；
（3）设AC＝a，BD＝b，
由题意得：12ab=1800，
∴ab＝3600，
∵a+b≥2ab，
∴a+b≥23600，
∴a+b≥120，
∴用来做对角线的竹条至少要120厘米．
8．（2020秋•榆林月考）有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，求剩余木料的面积．

【分析】根据两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，分别求得18和32的算术平方根，则可得两个正方形的边长，然后用小正方形的边长乘以两个正方形的边长之差即可得出答案．
【解析】∵两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为：18=32（dm），32=42（dm），
∴剩余木料的面积为：（42−32）×32=2×32=6（dm2）．
9．（2019秋•玉田县期末）已知长方形的长为a，宽为b，且a=3212，b=1248．
（1）求长方形的周长；
（2）当S长方形＝S正方形时，求正方形的周长．
【分析】（1）直接利用矩形周长求法结合二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用正方形的性质化简得出边长求出答案．
【解析】（1）∵a=3212=33，b=1248=23，
∴长方形的周长是：2（a+b）＝2（33+23）=103；

（2）设正方形的边长为x，则有x2＝ab，
∴x=ab=33×23=18=32，
∴正方形的周长是4x＝122．
10．（2020春•韩城市期末）如图，有一张边长为63cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为3cm．求：
（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；
（2）长方体盒子的体积．

【分析】（1）直接利用总面积减去周围正方形面积进而得出答案；
（2）直接利用长方体的体积公式得出答案．
【解析】（1）制作长方体盒子的纸板的面积为：（63）2﹣4×（3）2
＝108﹣12
＝96（cm2）；

（2）长方体盒子的体积：（63−23）（63−23）×3
＝43×43×3
＝483（cm3）．
11．（2020春•瑶海区期末）著名数学家斐波那契曾研究一列数，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列的一列数称为数列），这个数列的第n个数为15[（1+52）n﹣（1−52）n]（n为正整数），例如这个数列的第8个数可以表示为15[（1+52）8﹣（1−52）8]．根据以上材料，写出并计算：
（1）这个数列的第1个数；
（2）这个数列的第2个数．
【分析】（1）把n＝1代入式子化简求得答案即可．
（2）把n＝2代入式子化简求得答案即可．
【解析】（1）第1个数，当n＝1时，
15（ 1+52−1−52）=15×5=1；

（2）第2个数，当n＝2时，
15[（ 1+52）2﹣（ 1−52）2]
=15（ 1+52+1−52）（ 1+52−1−52）
=15×1×5=1．
12．（2019秋•二道区期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）求剩余木料的面积．
（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出　2　块这样的木条．

【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出32和2范围，根据题意解答．
【解析】（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为32dm和42dm，
∴剩余木料的面积为（42−32）×32=6（dm2）；
（2）4＜32＜4.5，1＜2＜2，
∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，
故答案为：2．
13．（2020秋•石鼓区校级月考）已知a、b、c满足|a﹣22|+b−5+（c﹣32）2＝0
（1）求a、b、c的值．
（2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质来求a、b、c的值；
（2）三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．
【解析】（1）∵|a﹣22|+b−5+（c﹣32）2＝0，
∴a﹣22=0，b−5=0，c﹣32=0，
解得 a＝22，b＝5，c＝32；

（2）以a、b、c为三边长能构成三角形．理由如下：
由（1）知，a＝22，b＝5，c＝32．
∵5＜22+32=52，即b＜a+c，
∴以a、b、c为三边长能构成三角形．周长＝5+52．
14．（2020秋•金牛区校级月考）设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P=12（a+b+c），则有下列面积公式：
S=P(P−a)(P−b)(P−c)（海伦公式）；
S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]（秦九韶公式）．
（1）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式分别求这个三角形的面积；
（2）一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式分别求这个三角形的面积．
【分析】（1）把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解；
（2）把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解．
【解析】（1）P=12×（5+6+7）＝9，
S=P(P−a)(P−b)(P−c)=9×4×3×2=66；
S=14[a2b2−(a2+b2−c22)2]=14[302−(25+36−492)2]=14×36×24=66；
（2）P﹣a=12（5+6+7）−5=12（6+7−5），
同理P﹣b=12（5−6+7），
P﹣c=12（5+6−7），
所以，S2=12（6+7+5）×12（6+7−5）×12[5−（6−7）][5+（6−7）]
=116×（8+242）（﹣8+242）
=116×（168﹣64），
=132．
S=262．
S=14[30−(5+6−72)2]=14(30−4)=262
15．（2020春•红旗区校级月考）在学习了“二次根式”后，李梅在练习册上遇到了下列这道题，请你帮李梅完成该题．
一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是边长为224cm的正方形，现将塑料容器的一部分水倒入一个高为490cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了40cm（提示：圆柱的体积＝πr2h，其中，r为底面的半径，h为高，π取3）
（1）求从塑料容器中倒出的水的体积；
（2）求圆柱形玻璃容器的底面的半径．
【分析】（1）直接利用长方体体积公式得出答案；
（2）直接利用圆柱体体积公式求出圆柱形玻璃容器的底面的半径．
【解析】（1）由题意可得：
224×224×40=44810（cm3）．
答：从塑料容器中倒出的水的体积为44810cm3；

（2）设圆柱形玻璃容器的底面的半径为r，根据题意可得：
π×r2×490=44810，
解得：r=833．
答：圆柱形玻璃容器的底面的半径为833cm．
16．（2019春•沂水县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=ℎ5（不考虑风速的影响）
（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？

【分析】（1）将h＝50代入t1=ℎ5进行计算即可；将h＝100代入t2=ℎ5进行计算即可；
（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；
（3）将t＝1.5代入公式t=ℎ5进行计算即可．
【解析】（1）当h＝50时，t1=505=10（秒）；
当h＝100时，t2=1005=20=25（秒）；
（2）∵t2t1=2510=2，
∴t2是t1的2倍．
（3）当t＝1.5时，1.5=ℎ5，
解得h＝11.25，
∴下落的高度是11.25米．
17．（2019春•临渭区校级月考）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为243m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为(14+1)m，宽为(14−1)m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？
（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可，
【解析】（1）长方形ABCD的周长＝2（243+128）＝2（93+82）＝183+162（m），
答：长方形ABCD的周长是183+162（m），
（2）购买地砖需要花费＝5[243×128−(14+1)(14−1)]
＝5[726−（14﹣1）]
＝5（726−13）
＝3606−65（元）；
答：购买地砖需要花费（3606−65）元；
18．（2019春•颍泉区校级期中）阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S=p(p−a)(p−b)(p−c)．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦﹣﹣﹣九韶公式”完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．

【分析】（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；
（2）按照三角形的面积等于 12×底×高分别计算出h1和h2的值，再求和即可．
【解析】解．（1）根据题意知p=a+b+c2=9
所以S=p(p−a)(p−b)(p−c)=9(9−7)(9−5)(9−6)=66
∴△ABC的面积为66；
（2）∵S=12ch1=12bh2＝66
∴12×6h1=12×5h2＝66
∴h1＝26，h2=1256
∴h1+h2=2256．
19．（2019春•椒江区校级期中）已知长方形的长a=1248，宽b=1327．
（1）求该长方形的周长；
（2）若另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长．
【分析】（1）利用长方形的周长公式列出代数式并求值；
（2）利用等量关系另一个正方形的面积＝该长方形的面积列出等式并计算．
【解析】∵a=1248=23，b=1327=3，
（1）长方形的周长＝2×（1248+1327）＝2×（23+3）＝63；
（2）长方形的面积＝23×3=6，
根据面积相等，则正方形的边长=6，
所以，正方形的周长＝46．
20．（2019春•磐石市期中）如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：s）与细线的长度l（单位：m）之间满足关系t=2πl10．当细线的长度为0.4m时，小球来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位）

【分析】直接把l的值代入化简二次根式，即可得出答案．
【解析】由题意可得：t＝2π0.410≈2×3.14×0.2
≈1.3，
答：小球来回摆动一次所用的时间是1.3秒．
21．（2019春•武昌区校级月考）已知一个三角形的三边长分别为239x、6x4、2x1x．
（1）求它的周长（要求结果化简）；
（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
（2）该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可．
【解析】（1）周长=239x+6x4+2x1x=2x+3x+2x=7x．
（2）当x＝4时，周长＝7×4=14．（答案不唯一）．
22．（2020秋•太原期中）海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式v=gd计算，其中v表示海啸的速度（m/s），d为海水的深度（m），g表示重力加速度9.8m/s2．若在海洋深度980m处发生海啸，求其行进速度．
【分析】直接根据已知数据代入，化简得出答案．
【解析】由题意可得：g＝9.8m/s2，d＝980m，
则v=gd=9.8×980=98（m/s），
答：海啸的行进速度为98m/s．
23．（2021春•汉阳区期中）我国宋代的数学家秦九韶发现：若一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积为s=p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=12（a+b+c）．
如图1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．
（1）求△ABC的面积；
（2）如图2，AD，BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为点I，求I到边BC的距离．

【分析】（1）根据题干公式将p计算出来，再代入面积计算公式即可；
（2）过点I依次作出三角形三边的高，利用角平分线的性质定理可知三边的高相等，再表示出三角形的面积结合（1）问即可求出I到BC的距离．
【解析】（1）由题意得：p=12(AB+AC+BC)=12(9+8+7)=12，
∴S△ABC=p(p−a)(p−b)(p−c)=12×(12−9)×(12−8)×(12−7)=125；
（2）连接IC，过点I分别作AB、BC、AC边的垂线交AB、BC、AC于点M、Q、N，

由角平分线的性质定理可知：IM＝IQ＝IN，
观察图形易知：S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI=12×AB×IM+12×BC×IQ+12×AC×IN=12IQ(AB+BC+AC)=125，
∴12IQ(9+8+7)=125，
解得：IQ=5，
故I到边BC的距离为：5．
24．（2021春•巴南区期中）某区组织环卫工作人员开展草坪种植，若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为343m、宽为224m．
（1）求该长方形土地的周长；
（2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米160元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：结果保留整数，2≈1.41）．
【分析】（1）根据长方形周长公式进行计算，并化简即可．
（2）根据长方形的面积公式先算出面积，而后乘以每平方米的价钱即可．
【解析】（1）2（343+224）＝2（77+414）＝（147+814）m．
（2）343×224=77×414=1962≈276.36m2，
160×276.36＝44217.6元．
25．（2021春•无为市月考）据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=ℎ5（不考虑风速的影响）．
（1）求从40米高空抛物到落地时间；
（2）小明说从80m高空抛物到落地时间是（1）中所求时间的2倍，他说法正确吗？如果不正确，请说明理由；
（3）已知高空坠落物体动能＝10×物体质量×高度（单位：焦耳），某质量为0.05kg的鸡蛋经过6秒后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要65焦耳的动能）
【分析】（1）把40米代入公式即可，
（2）把80米代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论．
（3）求出h，代入动能计算公式即可求出．
【解析】（1）由题意知h＝40米，
t=ℎ5=405=8=22（s），
（2）不正确，
理由如下：当h2＝80m时，t2=805=16=4（s），
∵4≠2×22，
∴不正确，
（3）当t＝6s时，6=ℎ5，h＝180m，
鸡蛋产生的动能＝10×0.05×180＝90（焦耳），
启示：严禁高空抛物．
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日期：2021/5/28 12:37:16；用户：账号1；邮箱：yzsysx1@xyh.com；学号：25670025