人教版八年级下册18.2.2 菱形学案及答案

这是一份人教版八年级下册18.2.2 菱形学案及答案，共28页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
18.2.2 菱形（知识讲解）
【学习目标】
1. 理解菱形的概念.
2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．
【要点梳理】
要点一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
特别说明：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
要点二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.
特别说明：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
要点三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
特别说明：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
【典型例题】
类型一、利用菱形的性质求角度
1．如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为（ ）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【分析】由菱形的性质可得∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO，由直角三角形的性质可求解．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝140°，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO，
∵DE⊥BC，
∴OE＝OD＝OB，∠BDE＝20°，
∴∠ODE＝∠OED＝20°，
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据菱形的性质可知,根据垂直平分线的性质可知,即可求得，进而求得，根据对称性可知，即可求得．
解答：四边形是菱形，
，
,
垂直平分，
，
，

菱形是轴对称图形，是它的一条对称轴，关于对称，
．
故选A．
【点拨】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，轴对称的性质，掌握以上性质是解题的关键．
类型二、利用菱形的性质求线段
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB上有P，Q两个动点，且，已知，点，，当周长最小时，点P的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】当CP⊥OB时，CP有最小值，此时△CPQ的周长最小，利用菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质即可求解．
解：当CP⊥OB时，CP有最小值，
在△APQ中，CQCP+PQ=CP+2，
∴当CP最小时，CQ也有最小值，
即△CPQ的周长最小，
连接AC，在菱形OABC中，
AC⊥OB，
∴点P为AC与OB的交点，
∵∠AOC=60°，，
∴∠AOP=∠AOC=30°，OA=2，
过点P作PE⊥OA于点E，

∴AP=OA=，OP=，
∴PE=OP=，OE=PE=，
∴点P的坐标为（，）．
故选：A．
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质、菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
举一反三：
【变式】如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）

A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】过点D作，垂足为点H，连接BD和BG，利用菱形及等边三角形的性质，求出，，在中，求出DH的长，进而求出BG 的长，设，在中，利用勾股定理，列方程，求出的值即可．
解：过点D作，垂足为点H，连接BD和BG，如下图所示：

四边形ABCD是菱形，
，，，
与是等边三角形，
且点G恰好为CD边的中点，
平分AB，，
，，，
，，
在中，，
由勾股定理可知：，
，
由折叠可知：，故有，
设，则，
在中，由勾股定理可知：，
即，解得，
故选：B．
【点睛】本题主要是考查了菱形、等边三角形的性质以及勾股定理列方程求边长，熟练综合利用菱形以及等边三角形的性质，求出对应的边或角，在直角三角形中，找到边之间的关系，设边长，利用勾股定理列方程，这是解决本题的关键．
类型三、利用菱形的性质求面积
3．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则纸条的宽为（ ）

A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm
【答案】B
【分析】由题意作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR=AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据勾股定理求出AB，最后利用菱形ABCD的面积建立关系得出纸条的宽AR的长．
解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．

由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR=AS，
∵AR•BC=AS•CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，
∵OA=3cm，OB=4cm，
∴AB==5cm，
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=5cm，
∴菱形ABCD的面积,即，
解得： cm.
故选：B．
【点拨】本题主要考查菱形的判定以及勾股定理等知识，解题的关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形以及菱形的面积等于对角线相乘的一半．
举一反三：
【变式】如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，BH垂直AD于点H，若AC=4，BD=3，则BH的长为（ ）

A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
【答案】A
【分析】
根据菱形的性质利用勾股定理先求出菱形的边长，然后根据菱形的面积的两种求法列等式求出BH即可.
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴OA=AC=2，OB=BD=，
∴AD=AB=，
∵菱形ABCD的面积，
，
故选：A.
【点拨】本题主要考查了菱形的面积公式、菱形的性质以及勾股定理的运用，求出菱形边长是解题关键．
类型四、利用菱形的性质证明
4．如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1．
（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；
（2）求△BMN面积的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）△BMN面积的最小值为
【分析】
（1）连接BD，证明△AMB≌△DNB，则可得BM=BN，∠MBA＝∠NBD，由菱形的性质易得∠MBN=60゜，从而可证得结论成立；
（2）过点B作BE⊥MN于点E．
（1）证明：如图所示，连接BD，

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
∴∠ADB＝∠NDB＝60°，
故△ADB是等边三角形，
∴AB＝BD，
又AM+CN＝1，DN+CN＝1，
∴AM＝DN，
在△AMB和△DNB中，
，
∴△AMB≌△DNB（SAS），
∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD，
又∠MBA+∠DBM＝60°，
∴∠NBD+∠DBM＝60°，
即∠MBN＝60°，
∴△BMN是等边三角形；
（2）过点B作BE⊥MN于点E．
设BM＝BN＝MN＝x，
则，
故，
∴当BM⊥AD时，x最小，
此时，，
．
∴△BMN面积的最小值为．
【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质等知识，关键是作辅助线证三角形全等．
举一反三：
【变式】已知：如图，在菱形中，E，F分别是和上的点，且．
求证：（1）；
（2） ．

【分析】
（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“ ”即可证明 ;
（2）由（1）可知，所以 ,进而得到．
【详解】
（1）证明四边形是菱形，
, , ,
,
,
在 和 中，
,
;
（2）,
,
．
【点拨】本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质．
类型五、添加一个条件使四边形成菱形
5．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形．

【答案】AB=AD.
【分析】由条件OA=OC，AB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定．
解答：添加AB=AD，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为AB=AD．
【点拨】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
举一反三：
【变式】如图，在ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有_____．（只填写序号）

【答案】①③
【分析】根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵∠BAC=90°，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是矩形，故②错误；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵AB=AC，四边形AEDF是平行四边形，
不能得出AE=AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；
故答案为：①③．
【点拨】此题考查菱形的判定，关键是就平行四边形的判定和菱形的判定解答．
类型六、证明已知四边形是菱形
6．如图，//，AC平分，且交BE于点C．
（1）作的角平分线交AD于点F（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）；
（2）根据（1）中作图，连接CF，求证：四边形ABCF是菱形．

【分析】
（1）根据尺规作角平分线的方法作图即可；
（2）根据角平分线定义和平行线性质证明∠BAC=∠ACB，∠AFB=∠CBF，再根据三角形的等角对等边证得AF=AB=BC，然后根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可．
（1）
解：如图，射线BF即为所求作的角平分线；
（2）
解：∵AC平分∠BAD，BF平分∠ABE，
∴∠BAC=∠FAC，∠ABF=∠CBF，
∵AD∥BE，
∴∠ACB=∠FAC，∠AFB=∠CBF，
∴∠BAC=∠ACB，∠AFB=∠ABF，
∴AB=BC，AB=AF，
∴BC=AF，又AF∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCF是菱形．

【点拨】本题考查尺规作图-作角平分线、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
举一反三：
【变式】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，将等腰三角形ABC绕顶点B按逆时针方向旋转角a到的位置，AB与相交于点D，AC与分别交于点E，F．
（1）求证：BCF；
（2）当C＝a时，判定四边形的形状并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）菱形，见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；
（2）由（1）可知∠=∠=∠A=∠C=a,B=B=AB=BC
通过证明∠FBC=∠可得 BC，利用∠EC=∠C=180°推出∠EC+∠=180°
得到BCE从而证明四边形为平行四边形再利用B=BC可证明四边形为菱形．
（1）证明：∵等腰三角形ABC旋转角a得到
∴∠BD=∠FBC=a
∠=∠=∠A=∠C B=B=AB=BC
∴BCF（ASA）
（2）解：四边形为菱形
理由：∵C=a
由（1）可知∠=∠=∠A=∠C=a B=B=AB=BC
又∵ ∠BD=∠FBC=a
∴∠FBC=∠
∴BC
∴∠EC=∠C=180°
∴∠EC+∠=180°
∴BCE
∴四边形为平行四边形
又∵B=BC
∴ 四边形为菱形
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
类型七、根据菱形的性质和判定求角度
7．如图，菱形ABCD 中，在边AD，BC 上分别截取DM=BN， 连接MN 交AC于点O，连接DO 若 ，则的度数为( )

A．40度 B．50度 C．60度 D．70度
【答案】D
【分析】首先由在菱形ABCD中，AM=CN，证得△AOM≌△CON（AAS），即可得O是对角线AC与BD的交点，继而求得答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD=BC
∵DM=BN，
∴AM=CN
∴∠OAM=∠OCN，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴OA=OC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD⊥AC
∴∠DOC=90°
∴点O为BD与AC的交点，
∵∠ACD=∠BAC=20°，
∴∠ODC=90°-∠ACD=70°．
故选：D．
【点拨】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得点O是BD与AC的交点是解此题的关键．
举一反三：
【变式】如图在菱形中，边的垂直平分线与对角线相交于点E，，那么__________度．

【答案】40
【分析】由菱形性质解得，进而证明，再由全等三角形对应角相等的性质，解得，结合线段垂直平分线的性质解题即可．
解：连接BE，

四边形ABCD是菱形，

在和中



在菱形中ABCD中，


边AB的垂直平分线与对角线AC相交于点E，





故答案为：40．
【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质、菱形的性质，其中涉及菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
类型八、根据菱形的性质和判定求线段
8．如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E；以点A为圆心，的长为半径画弧交于点F．若，则的长为（ ）

A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】A
【分析】连接，设交于点，根据平行四边形的性质和作图可知,，进而证明四边形是菱形，根据勾股定理求得的长，即可求得的长．
解：如图，连接，设交于点，

平分

四边形是平行四边形

，


又


四边形是平行四边形

四边形是菱形
，
在中，，


故选A
【点拨】本题考查了作角平分线，等角对等边，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，证明是菱形是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为___．

【答案】4
【分析】由菱形的性质得出OA=OC=6，OB=OD，AC⊥BD，则AC=12，由直角三角形斜边上的中线性质得出OH=BD，再由菱形的面积求出BD=8，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=6，OB=OD，AC⊥BD，
∴AC=12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD=90°，
∴OH= BD，
∵菱形ABCD的面积=AC•BD=×12•BD=48，
∴BD=8，
∴OH=BD=4，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得OH=BD．
类型九、根据菱形的性质和判定求面积
9．如图，某小区要在一块矩形的空地上建造一个如图所示的四边形花园，点，，，分别为边，，，的中点，若m，m，则四边形的面积为______m2．

【答案】100
【分析】先证BFHA是平行四边形，推出，AB=HF，同理得到BC=EG，，再证得四边形EFGH是菱形，根据菱形的面积公式求出即可．
解：连接HF、EG，

∵四边形ABCD是矩形，
∴，BC=AD，
∵H、E、F分别为边AD、AB、BC的中点，
∴AH=BF，AE=BE，
∴四边形BFHA是平行四边形，
∴AB=HF，，
同理BC=EG，，
∵AB⊥BC，
∴HF⊥EG，
∵AH=BF，，AE=BE
∴，
∴同理，
∵AH=HD，，AE=DG
∴，
∴同理，
∴
∴四边形EFGH是菱形
∴四边形EFGH的面积是×EG×HF=×10×20=100（m²）．
故填：100．
【点拨】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形、菱形的性质和判定、菱形的面积等知识点的理解和掌握，能求出四边形EFGH是菱形是解此题的关键．
举一反三：
【变式】如图，在四边形中，．以A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交于M，N；分别以M，N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点G；作射线交于E；作交于F．若，则四边形的面积等于________．

【答案】24
【分析】连接BF与AE交于O，由作图方法可知，AE是∠BAD的角平分线，则∠BAE=∠DAE，然后证明四边形ABEF是菱形，得到AE⊥BF，，BF=2OB，再利用菱形的面积公式和勾股定理求解即可．
解：如图所示，连接BF与AE交于O，


由作图方法可知，AE是∠BAD的角平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AD∥BC，EF∥AB
∴四边形ABEF是平行四边形，∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，，BF=2OB，
∴，
∴BF=8，
∴四边形ABEF的面积，
故答案为：24．
【点拨】本题主要考查了尺规作图——作角平分线，等腰三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．