高中数学人教版新课标A选修2-12.1曲线与方程习题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-12.1曲线与方程习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．方程(2x－y＋2)·eq \r(x2＋y2－1)＝0表示的曲线是( )
A．一个点与一条直线
B．两条射线和一个圆
C．两个点
D．两个点或一条直线或一个圆
[答案] B
[解析] 原方程等价于x2＋y2－1＝0，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋2＝0,x2＋y2－1≥0))，故选B.
2．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条直线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k等于( )
A．±3 B．0
C．±2 D. 一切实数
[答案] A
[解析] 两直线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.
3．在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是( )
[答案] C
[解析] 由|x|·y＝1知y>0，曲线位于x轴上方，故选C.
4．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程
C．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
[答案] C
[解析] 不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、B、D错误．
5．已知A(－2,0)、B(2,0)，△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是( )
A．一个点B．两个点
C．一条直线D．两条直线
[答案] D
[解析] 设顶点C到边AB的距离为d，则eq \f(1,2)×4×d＝10，∴d＝5.∴顶点C到x轴的距离等于5.故顶点C的轨迹是直线y＝－5和y＝5.
6．动点在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(x＋eq \f(3,2))2＋y2＝1
[答案] C
[解析] 设P点为(x，y)，曲线上对应点为(x1，y1)，则有eq \f(x1＋3,2)＝x，eq \f(y1＋0,2)＝y.
∴x1＝2x－3，y1＝2y.
∵(x1，y1)在曲线x2＋y2＝1上，∴xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝1，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1即(2x－3)2＋4y2＝1.
二、填空题
7．方程y＝eq \r(x2－2x＋1)所表示的图形是__________________．
[答案] 两条射线x＋y－1＝0(x≤1)和x－y－1＝0(x≥1)
[解析] 原方程等价于y＝|x－1|⇔x＋y－1＝0(x≤1)和x－y－1＝0(x≥1)．
8．给出下列结论：
①方程eq \f(y,x－2)＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；
②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；
③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．正确的结论的序号是__________________．
[答案] ③
[解析] 方程eq \f(y,x－2)＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线且扣除点(2,0)，故①错；到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，故②错；方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)，故③正确．
三、解答题
9．画出方程(x＋y－1)eq \r(x－y－2)＝0所表示的曲线．
[解析] 方程(x＋y－1)eq \r(x－y－2)＝0可等价变形为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x－y－2≥0.))或x－y－2＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x－y－2≥0.))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x≥\f(3,2).))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x－y－2≥0.))
表示射线x＋y－1＝0(x≥eq \f(3,2))．
∴原方程表示射线x＋y－1＝0(x≥eq \f(3,2))和直线x－y－2＝0，如下图所示．
10.设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
[解析] 设所作弦的中点为P(x，y)，连接CP，则CP⊥OP，|OC|＝1，OC的中点M(eq \f(1,2)，0)，∴动点P的轨迹是以点M为圆心，以OC为直径的圆，∴轨迹方程为(x－eq \f(1,2))2＋y2＝eq \f(1,4).∵点P不能与点O重合，
∴0