高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第二课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第二课时学案，共11页。
第二课时　用空间向量研究夹角问题
新课程标准解读
核心素养
1.能用向量方法解决简单夹角问题
直观想象、数学运算
2.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用
直观想象、数学运算



日常生活中，很多场景中都有直线与平面、平面与平面成一定角度的现象．例如，如图(1)，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度；如图(2)，地球仪的地轴(即旋转轴)与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面成一定角度；如图(3)，在建造大坝时，为了加固大坝，大坝外侧的平面一般与水平面成一定角度；如图(4)，很多屋顶都是二面角的形象．

[问题]　你能找到生活中更多类似的例子吗？怎样刻画直线与平面、平面与平面所成的角呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　利用向量方法求两条异面直线所成的角
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝．

不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来，因为两异面直线所成角的范围是，而两个向量夹角的范围是[0，π]，事实上，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．

若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(　　)
A．－　　　　　 B.
C．－ D.
解析：选B　因为a·b＝－4，|a|＝，|b|＝2，设l1与l2的夹角为θ，所以cos θ＝|cos〈a，b〉|＝＝＝.
知识点二　利用向量方法求直线与平面所成的角
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝＝．

1．直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的投影所成的角，其范围是.
2．若〈u，n〉是一个锐角，则θ＝－〈u，n〉；若〈u，n〉是一个钝角，则θ＝〈u，n〉－.　　　　

若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)
A．120°　　 B．60°　　　
C．150°　　　 D．30°
解析：选D　因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，所以它们所在直线的夹角为60°，则直线l与平面α所成的角等于90°－60°＝30°.
知识点三　利用向量方法求两个平面的夹角
1．平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
2．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.

1．两个平面夹角的范围是，若夹角为，则两个平面垂直．
2．因为两个平面法向量的方向不确定，故〈n1，n2〉∈(0，π)，若〈n1，n2〉为钝角，应取其补角．　　　　

平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量为n2＝，那么平面α与平面β的夹角等于(　　)
A．120° B．30° C．60° D．30°或150°
解析：选B　cos〈n1，n2〉＝＝－，
设α与β的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝，所以θ＝30°.


两异面直线所成的角
[例1]　(链接教科书第36页例7)已知四面体OABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.
[解析]　＝－＝－，＝－，于是||＝，||＝1，且·＝·(－)＝－，于是cos〈，〉＝＝＝－，故异面直线BD与AC所成角的余弦值为.[答案]　C

基向量法求异面直线的夹角的一般步骤
(1)找基底；
(2)用同一个基底表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值；
(4)结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角．　　　　
[跟踪训练]
在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：选A　设线段A1B1，AB的中点分别为O，D，连接OC1，OD，则OC1⊥平面ABB1A1，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．
则A(－1，0，)，B1(1，0，0)，B(1，0，)，C1(0，，0)，所以＝(2，0，－)，＝(－1，，－)，因为·＝(2，0，－)·(－1，，－)＝0，所以⊥，即异面直线AB1和BC1所成的角为直角，则其正弦值为1.

直线与平面所成的角
[例2]　(链接教科书第38页练习2题)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值．
[解]　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，D(0，0，0)，
∴＝(－1，0，1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，－1，0)．
设平面A1BD的一个法向量为n＝(1，x，y)，直线BC1与平面A1BD所成的角为θ.
∵n⊥，n⊥，∴n·＝0，n·＝0，
∴解得
∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．
∴cos〈，n〉＝＝＝－.
∴sin θ＝，∴cos θ＝ ＝.故直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.

求直线与平面所成角的思路与步骤
思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)；
思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤：
①建立空间直角坐标系；
②求直线的方向向量；
③求平面的法向量n；
④计算：设线面角为θ，则sin θ＝.　　　　
[跟踪训练]
如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，AA1＝，则直线AA1与平面AB1C1所成的角为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝，即AB⊥AC，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B1(0，2，)，C1(2，0，)，A1(0，0，)，＝(0，0，)，＝(0，2，)，＝(2，0，)．设平面AB1C1的法向量为n＝(x，y，z)，则由得令x＝1，则y＝1，z＝－，所以n＝.设直线AA1与平面AB1C1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝，所以θ＝.

两平面的夹角(二面角)

[例3]　(链接教科书第39页例10)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求平面OC1B1与平面BDD1B1夹角的余弦值．
[解]　(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD.
(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设棱长为2，因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1，
所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，
则＝(，0，2)，＝(0，1，2)．
平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0，1，0)，
设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，
则由m⊥，m⊥，所以
取z＝－，则x＝2，y＝2，
所以m＝(2，2，－)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝.
所以平面OC1B1与平面BDD1B1夹角的余弦值为.
[母题探究]
1．(变设问)本例条件不变，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．
解：建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则A1(0，－1，2)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D.
所以＝，＝(0，2，－2)，＝(－，－1，0)．
设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
取x1＝，则y1＝z1＝3，
故n1＝(，3，3)．
设平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则即
取x2＝，则y2＝z2＝－3，
故n2＝(，－3，－3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝－＝－.
所以平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.
2．(变条件，变设问)本例“若∠CBA＝60°改为∠CBA＝90°”，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F的夹角的余弦值．
解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，
E，D1(0，1，1)，
F，＝，＝(1，0，1)，＝，＝(0，1，1)．
设平面AB1E的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则即
令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，
所以n1＝(－1，2，1)．
设平面AD1F的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
则即
令x2＝2，则y2＝－1，z2＝1.
所以n2＝(2，－1，1)．
所以平面AB1E与平面AD1F的夹角的余弦值为＝＝.

向量法求两平面的夹角(或其某个三角函数值)的三个步骤
(1)建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；
(2)求出两个平面的法向量n1，n2；
(3)设两平面的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
[注意]　若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解．　　　　
[跟踪训练]
已知菱形ABCD中，∠ABC＝60°，沿对角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平面DAC，则平面BCD与平面CDA夹角的余弦值为________．
解析：如图，取AC的中点E，分别以EA，ED，EB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设菱形ABCD的边长为2，则A(1，0，0)，C(－1，0，0)，D(0，，0)，B(0，0，)．
设平面BCD的法向量为n＝(x，y，z)，则
∵＝(－1，0，－)，＝(0，，－)，∴
取z＝，则y＝，x＝－3，即n＝(－3，，)．
平面ACD的法向量为m＝(0，0，1)，设平面BCD与平面CDA夹角为θ，则cos θ＝＝＝.
答案：

立体几何中的翻折问题
(链接教科书第49页习题13题)如图把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后∠EOF的大小．
[问题探究]
此问题涉及到平面图形的翻折问题，求解平面图形翻折成立体图形有以下规律．
认知规律：
确定翻折前后变与不变的关系
画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决
确定翻折后关键点的位置
所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算
[迁移应用]
1．写出上述问题的解答．
解：如图，以OB，OC，OD为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
设原正方形的边长为1，则
E，F，
cos〈，〉＝＝－＝－，
∴∠EOF＝120°.
2．如图①，平面四边形ABCD中，CD＝4，AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，将三角形ABD沿BD翻折到三角形PBD的位置，如图②，平面PBD⊥平面BCD，E为PD中点．
(1)求证：PD⊥CE；
(2)求直线BE与平面PCD所成角的正弦值．

解：(1)证明：由题意△ABD为等边三角形，则BD＝2，
在三角形BCD中，CD＝4，∠BCD＝30°，
由余弦定理可求得BC＝2.
∴CD2＝BD2＋BC2，即BC⊥BD.
又平面PBD⊥平面BCD，
平面PBD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，
∴BC⊥平面PBD⇒BC⊥PD.
等边三角形PBD中，E为PD中点，
则BE⊥PD，且BC∩BE＝B，
∴PD⊥平面BCE，∴PD⊥CE.
(2)以B为坐标原点，BC，BD分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系(图略)，则B(0，0，0)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，1，)，E，＝(－2，2，0)，＝(0，1，－)．
设m＝(x，y，z)是平面PCD的法向量，则
即取m＝(1，，1)，
则cos〈m，〉＝＝＝，
∴直线BE与平面PCD所成角的正弦值为.

1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为(　　)
A．30°　　　　　　　　 B．45°
C．90° D．60°
解析：选D　以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，
∵M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，
∴M(1，2，0)，N(0，2，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，＝(－1，0，1)，＝(－2，2，0)，
设异面直线AC和MN所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝，
又θ是锐角，∴θ＝60°.
∴异面直线AC和MN所成的角为60°，故选D.
2.如图，在四棱锥P­ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3.点E在棱PA上，且PE＝2EA.求平面ABE与平面DBE夹角的余弦值．
解：以B为原点，以直线BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则P(0，0，3)，A(0，3，0)，D(3，3，0)．
设平面EBD的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝＋＝＋＝(0，0，3)＋(0，3，－3)＝(0，2，1)，＝(3，3，0)，由得
取z＝1，所以于是n1＝.
又因为平面ABE的一个法向量为n2＝(1，0，0)，
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
设平面ABE与平面DBE的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝，故所求夹角的余弦值为.