初中人教版第十六章 二次根式综合与测试达标测试

这是一份初中人教版第十六章 二次根式综合与测试达标测试，共119页。试卷主要包含了计算，计算；，解下列各题，已知x＝，y＝等内容，欢迎下载使用。
专题三 二次根式计算100题（培优篇）（专项练习）
1．计算：
2．计算：
（1）﹣4；
（2）（2﹣）2×（6＋4）．
3．计算（1）；
（2）．
4．（1）计算：
（2）计算：
5．（1）计算：；
（2）计算：．
6．计算：
7．计算
（1）
（2）
8．计算：
（1）；
（2）
9．解下列各题
计算：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
10．已知x＝，y＝．
（1）求x2+y2+xy的值；
（2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值．
11．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2，善于思考的小明进行了以下探索，若设a+b（其中，a，b，m，n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）若a+b，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝　 　，b＝　 　．
（2）若a+6，当a，m，n均为正整数时，求a的值．
（3）化简：和．
12．观察下列规律：
∵（
∴……
（1）＝　 　；
（2）＝　 　；
（3）利用上面的规律计算：
（）（）．
13．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
14．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
15．计算：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）； （8）．
16．计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
17．计算：
（1）； （2）；
（2）； （4）．
18．计算：（1）； （2）；
（2）； （4）．
19．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）解方程：．
20．计算：
（1）；
（2）；
（3）
21．计算：
（1）；
（2）（＋）（）；
（3）；
（4）；
（5）（）0＋×﹣（1﹣）2
22．计算：
23．已知，，求代数式的值．
24．计算：．
25．计算：
（1）
（2）
26．计算：
（1）﹣+；
（2）（3﹣）（+2）．
27．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简： ， ；
（2）若，且a，m，n为正整数，求a的值．
28．计算下列算式：
（1）（π﹣3）0+||﹣（5﹣）2；
（2）．
29．阅读下面式子：．根据以上解法，试求：
（1）（为正整数）的值；
（2）的值．
30．阅读题
（1）观察、发现：
①试化简：_________﹔
②直接写出：___________：
③直接写出：___________．
（2）已知在中，．
如图（一），求的长．可以运用“等面积法”解答如下：


解．∵
∴
①如图（二），在斜边上有一点D，；若，求的长．
解：设


②如图（三），在内有一点D，，若，求的长．
解：设


31．观察下列各式：；；．
（1）请根据以上规律，写出第4个式子：　 　；
（2）请根据以上规律，写出第n个式子：　 　；
（3）根据以上规律计算：的值．
32．计算
（1）；
（2）．
33．计算：．
34．己知，求的值．
35．（1）
（2）
36．（1）计算：；
（2）计算：．
37．我们将称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉．例如：．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题．

（1）分母有理化的值为________；
（2）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，求的值．
38．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
39．下面是小明同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务：

＝…第一步
＝…第二步
＝…第三步
＝…第四步
＝…第五步
（1）二次根式，，，中，属于最简二次根式的是_____；
（2）以上第一步的化简中由“”化为“”所依据的数学公式是______；
（3）第_____步开始出现错误，写出该式的正确运算过程和结果．
40．计算：+(－)－2＋|1－ |－(π－2)0．
41．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，点A所表示的数为﹣，设点B所表示的数为m．

（1）求m的值；
（2）求|m﹣1|＋（2﹣）（4﹣m）的值．
42．计算：
（1）
（2）
43．计算：
（1）2×﹣；
（2）÷﹣×＋．
44．．
45．计算：
（1）；
（2）．
46．阅读下列解题过程，并解答问题．
①；
②．
（1）直接写出结果＝　 　．
（2）化简：；
（3）比较大小：与．
47．计算：
（1）（1＋）（2﹣）；
（2）（＋）×；
（3）＋3＋；
（4）＋．
48．化简：．
49．计算：
（1）
（2）
50．先化简，再求值：÷（﹣a），其中a＝2＋，b＝2﹣．
51．计算：．
52．计算
（1）
（2）
（3）
（4）
53．计算：
（1）．
（2）．
（3）（）×﹣6．
（4）﹣3+．
54．观察下列等式：
①
②
③
······
回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简： ．
（2） ．（n为正整数）
（3）利用上面所揭示的规律计算：

55．已知，，求的值．
56．计算或化简：
（1）； （2）．
57．先观察下列等式，再回答问题
①；
②；
③．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想=_____=______;=________=________．
（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）．
58．计算与化简
（1） （2）
（3） （4）
59．（1）； （2）．
60．已知求x2＋3xy＋y2的值．
61．观察与计算：
6；
2；
；
．
象上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；
（应用）（1）化简：① ； ②．
（2）化简：
62．计算或化简下列各题
（1）；
（2）．
63．（阅读材料）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b（m+n）2＝m2+2n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（问题解决）
（1）若a+b（m+n）2，当a、b、m、n均为整数时，则a＝　 　，b＝　 　．（均用含m、n的式子表示）
（2）若x+4（m+n）2，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
（拓展延伸）
（3）化简　 ．
64．已知，求的值
65．计算：（1）÷－×÷；
（2）×＋；
（3）－÷×；
（4）（3＋－4）÷；
（5）.
66．观察下面的变形规律：
， ， ，，…
解答下面的问题：
(1)若n为正整数，请你猜想=　 　；
(2)计算：（+…+）×（）
67．小明在解方程时运用了下面的方法：由，又由可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得＝－1，经检验＝－1是原方程的解.
请你参考小明的方法，解下列方程：
(1)
(2).
68．
69．计算：.
70．计算：

71．已知，求的值．
72．已知，求的值.
73．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
；
；

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简： ； ； ；
（2）化简：；
（3）已知，，求的值.
74．已知，求的值．
75．阅读下列解题过程：
====
===
请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请直接写出结果.= 。
（2）利用上面提供的信息请化简：
+++……+的值.
76．已知且，请化简并求值：
77．已知，求.
78．观察下列各式：
①；
②；
③；
（1）第④个式子为____________________;
（2）第n-1个式子为____________________;
（3）证明你所得的结论.

79．计算：．
80．先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，使得，，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，即：，，
所以。
问题：
① 填空：，；
② 化简：（请写出计算过程）
81．已知：x=，y=，求下列各式的值：
（1）x2-xy+y2；
（2）
82．如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；…
（1）计算下列各式的值：
__________.
__________.
（2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由；
（3）求的值.
83．如图，五边形中，．且．

（1）求的平方根；
（2）请在的延长线上找一点，使得四边形的面积与五边形的面积相等；(说明找到点的方法)
（3）已知点在上，交于,若，则 ．
84．观察下列等式：


回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：；
（2）化简：；
（3）计算：…．
85．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为，，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，，用、代替，得，，即（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知，求的最小值”为例给同学们介绍．

解：由题知，∵，，
∴，当且仅当时取等号，即当时，函数的最小值为．
总结：利用基本不等式求最值，若为定值，则有最小值．
请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应的取值．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求的最小值；
（3）若，求函数的最小值．
86．先阅读，再解答:由 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是 _______；
(2)化去式子分母中的根号： _____．（直接写结果）
(3) （填或）
(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：
87．阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如：①＝＝；②＝＝＝．等运算都是分母有理化，根据上述材料，
（1）化简：；
（2）+++…+．
88．(1) 观察下列各式的特点：
，
，
，
，
…
根据以上规律可知：_____(填“＞”“＜”或“＝”)．
(2)观察下列式子的化简过程：
，
，
，
…
根据观察，请写出式子(n≥2)的化简过程．
(3)根据上面(1)(2)得出的规律计算下面的算式：.
89．计算：
（1） （2） ．
90．先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
①
②
③
④
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简 ①． ②．
91．已知：a=，b=，求的值．
92．计算：
（1）
（2）
93．计算：．
94．（1）若实数m、n满足等式，求2m+3n的平方根；
（2）已知，求的值．
95．计算：





96．先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简中发现：首先把化为﹐由于，，即：， ，所以，
问题：
（1）填空：__________，____________﹔
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b（），使，，即，﹐那么便有： __________．
（3）化简：（请写出化简过程）
97．阅读下列解题过程：


请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出______；
（2）利用上面的解法，请化简：
（3）和的值哪个较大，请说明理由．
98．已知，，求的值．
99．阅读下列解题过程：
＝＝-1；
＝＝-；
＝＝-＝2-；
…
解答下列各题：
（1）＝　　；
（2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　．
（3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）．
100．已知求：的值．









参考答案
1．4
【分析】
先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则进行求解即可．
【详解】
解：


．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简和二次根式的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
2．（1）2；（2）4
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据完全平方公式以及平方差公式计算即可．
【详解】
解：（1）原式＝﹣4
＝﹣4
＝6﹣4
＝2；
（2）原式＝（4﹣4+2）×（6+4）
＝（6﹣4）×（6+4）
＝36﹣32
＝4．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式的运用，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
3．（1）；（2）
【分析】
（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式，零指数幂以及二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】
解：（1）

．
（2）
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题的关键．
4．（1）2；（2）
【分析】
（1）先分别化简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案；
（2）先计算乘方，同时化简二次根式，将除法化为乘法，计算乘除法，再化简结果．
【详解】
解：（1）
=10-9+
=2；
（2）
=
=
=．
【点拨】此题考查二次根式的加减法计算法则，及混合运算的计算法则，正确掌握二次根式的加减法法则、混合运算的法则、二次根式的化简方法是解题的关键．
5．（1）；（2）
【分析】
（1）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可；
（2）先根据平方差公式计算，同时分母有理化，进而根据实数的混合运算进行计算即可
【详解】
（1）




（2）

【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
6．
【分析】
根据可得，然后利用平方差公式和有理数的乘方以及二次根式的混合计算法则进行求解即可．
【详解】
解：原式



．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，平方差公式，同底数幂乘法的逆运算，有理数的乘方，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
7．（1）4；（2）0
【分析】
（1）先算括号里面的，再算括号外面的，利用二次根式的性质计算即可；
（2）根据平方差公式、零指数幂和绝对值的性质计算即可；
【详解】
（1）=；
（2）
；
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，结合平方差公式，零指数幂，绝对值的性质，完全平方公式计算是解题的关键．
8．（1）；（2）−7+3
【分析】
（1）先把各二次根式化为最特意二次根式，再合并即可得到答案；
（2）分别根据平方差公式、负整数指数幂的运算法则，绝对值的代数意义，零指数幂的运算法则以及二次根式的性质代简各项后再合并即可得到答案．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=
【点拨】本题主要考查了二次根式的加减以及实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可得到答案；
（2）原式从左向右依次计算即可得到答案；
（3）原式根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式的乘法以及绝对值的意义代简各项后，再外挂；
（4）原式利用平方差分工和完全平方公式进行计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=
=
=；
（3）
=
=；
（4）
=
=
=．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，运算顺序以及灵活运用乘法公式是解答本题的关键．
10．（1）35；（2）．
【分析】
（1）先分母有理化求得x、y、x+y、xy的值，再对x2+y2+xy变形，利用整体代入法求解即可；
（2）求出m、n的值，代入求出即可．
【详解】
解：（1）∵x=，y=，
∴x+y=6，xy=1，
∴x2+y2+xy
=（x+y）2-xy
=62-1
=35；
（2）∵1＜2＜2.25，
1＜＜1.5，则2＜＜3，
∴0＜3-＜1，5＜3+＜6，
∵x的小数部分为m，y的小数部分为n，
∴m=3-，n=3+-5=-2，
∴m+n=3--2=1，m-n=3-+2=5-，
∴
=．
【点拨】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算的应用，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．
11．（1）m2+7n2，2mn；（2）a＝28或12；（3）
【分析】
（1）仿照例题计算即可得；
（2）仿照例题计算即可得；
（3）先计算＝7﹣4， ＝5+2， 再计算即可．
【详解】
解：（1）∵a+b，
∴a+b＝m2+2mn+7n2（a，b，m，n均为整数），
∴a＝m2+7n2，b＝2mn，
故答案为：m2+7n2，2mn；
（2）∵a+6，
∴a+6＝m2+2nm+3n2（a，b，m，n均为整数），
∴a＝m2+3n2，2mn＝6，
∴mn＝3，
①m＝1，n＝3，a＝28，
②m＝3，n＝1，a＝12，
综上所述：a＝28或12；
（3）∵＝4﹣2×2×+3＝7﹣4，
＝2+2+3＝5+2，
∴＝＝2﹣，
＝＝+，
∴．
【点拨】此题考查二次根式的计算，完全平方公式的计算法则，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．
12．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）（2）根据平方差公式和分母有理化的方法可以解答本题；
（3）利用题目中式子的特点，先分母有理化，然后合并同类二次根式，再根据平方差公式计算即可．
【详解】
解：（1）＝，
故答案为：；
（2）＝，
故答案为：；
（3）原式＝
＝
＝
＝
＝．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式等知识点，解答本题的关键是明确二次根式分母有理化的方法，明确平方差公式的结构特点．
13．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】
（1）先利用二次根式的性质化简，然后进行约分即可得到答案；
（2）先利用二次根式的性质化简，然后进行约分即可得到答案；
（3）利用平方差公式求解即可；
（4）先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可得到答案；
（5）先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可得到答案；
（6）先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可得到答案．
【详解】
解：（1）



；
（2）


；
（3）


；
（4）

；
（5）

；
（6）

．
【点拨】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握利用二次根式的性质化简．
14．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
【分析】
（1）根据二次根式的乘法运算法则进行计算；
（2）根据二次根式的乘法运算法则进行计算；
（3）利用完全平方公式进行计算；
（4）利用平方差公式进行计算；
（5）根据二次根式的乘法运算法则进行计算；
（6）根据二次根式的除法运算法则进行计算；
【详解】
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【点拨】本题考查二次根式的乘除法，理解二次根式的性质，掌握二次根式乘除运算法则是解题关键．
15．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．
【分析】
（1）直接利用二次根式的乘法法则计算即可；
（2）直接利用二次根式的乘除法法则计算即可；
（3）直接利用平方差公式计算即可；
（4）直接利用完全平方公式计算即可；
（5）利用乘法分配律计算即可；
（6）直接利用二次根式的混合运算计算即可；
（7）利用二次根式的减法法则计算即可；
（8）利用乘法分配律计算即可；
【详解】
（1）=；
（2）=；
（3）=；
（4）=；
（5）=；
（6）=；
（7）=；
（8）=．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
16．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）根据二次根式化简和二次根式加减运算的性质计算，即可得到答案；
（2）根据二次根式化简和二次根式加减运算的性质计算，即可得到答案；
（3）根据二次根式除法和加减法运算的性质计算，即可得到答案；
（4）根据二次根式化简和二次根式加减运算的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）；
（2）；
（3）





；
（4）


．
【点拨】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、二次根式混合运算的性质，从而完成求解．
17．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）先由二次根式的性质进行化简，然后再计算减法运算即可；
（2）先由二次根式的性质进行化简，然后再计算减法运算即可；
（3）先由二次根式的性质进行化简，然后再计算乘法运算即可；
（4）先由二次根式的性质进行化简，然后再计算加减法运算即可．
【详解】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=；
（3）
=
=
=；
（4）
=
=．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
18．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）先根据二次根式的性质分母有理化，再相减即可；
（2）先根据二次根式的性质化简，再加减；
（3）先根据二次根式的性质化简，再利用乘法分配律展开，再计算乘法即可；
（4）先根据二次根式的性质化简，再相加减即可．
【详解】
（1），
＝，
＝，
＝；
（2），
=，
＝；
（3），
＝，
＝，
＝，
=10；
（4），
=，
=．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化的方法，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
19．（1）3；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）分式方程无解．
【分析】
（1）利用同分母分式的加减法计算即可；
（2）原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
（3）分别对绝对值、立方根、二次根式进行运算即可；
（4）先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果；
（5）利用完全平方公式和二次根式的乘法则计算，再合并即可得到结果；
（6）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：（1）

=3；
（2）




；
（3）

；
（4）


；
（5）


；
（6），
去分母得：x-3+x-2=-1，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
检验：把x=2代入得：x-2=0，
∴x=2是增根，分式方程无解．
【点拨】本题考查分式的混合运算，实数的运算，二次根式的混合运算，分式方程的解法，熟练掌握二次根式的混合运算，分式方程的解法，对方程的根进行检验是解题的关键．
20．（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）本题首先需要将二次根式化简，之后进行计算，去括号注意符号变化；
（2）先对二次根式进行化简，去括号利用完全平方公式进行运算在进行合并；
（3）利用平方差公式对括号进行化简，之后针对绝对值，判断绝对值内符号的正负，再去绝对值，之后进行合并运算．
【详解】
（1）原式；
（2）原式；
（3）原式
．
【点拨】本题重点考察的是二次根式的混合运算，需要用到简便运算，熟练掌握二次根式的化简及运算方法是解此类题型的关键．
21．（1）3；（2）-1；（3）；（4）3﹣1；（5）2
【分析】
（1）利用二次根式的乘法法则运算；
（2）利用平方差公式计算；
（3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（4）根据零指数幂、二次根式的乘法法则和完全平方公式计算．
【详解】
解：（1）原式＝﹣5
＝﹣5
＝8﹣5
＝3；
（2）原式＝5﹣6
＝﹣1；
（3）原式＝2﹣﹣+3
＝；
（4）原式＝3﹣﹣1
＝3﹣1；
（5）原式＝1+﹣（1﹣2+2）
＝1+2﹣3+2
＝2．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
22．-4
【分析】
先利用分母有理化、二次根式乘法以及二次根式的性质化简，然后利用二次根式的加减运算法则计算即可．
【详解】
解：
=
=
=-4．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用分母有理化、二次根式乘法以及二次根式的性质成为解答本题的关键．
23．16
【分析】
方法一：先将原式根据完全平方公式整理为，然后代入求值即可；
方法二：直接将的值代入原式，计算即可．
【详解】
解：当，时，
方法一：，
方法二：

．
【点拨】本题考查了完全平方公式以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．
【分析】
根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则计算．
【详解】
解：原式=
=
=．
【点拨】本题考查了二次根式的加减运算、乘法运算，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．
25．（1）5；（2）1
【分析】
（1）先由二次根式的性质进行化简，然后计算除法，即可得到答案；
（2）利用平方差公式进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：（1）；
（2）
=
=
=1．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
26．（1） ；（2）
【分析】
（1）先把每一个二次根式化为最简，然后再进行二次根式的加减运算即可；
（2）先变形为原式＝ ，然后利用平方差公式计算；
【详解】
解：（1）﹣+，
，
；
（2）（3﹣）（+2），
，
，
．
【点拨】本题考查了平方差公式、二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
27．（1）；（2）的值为46或14
【分析】
（1）根据题意利用完全平方公式和二次根式的性质进行求解即可；
（2）由，可得，，则，再根据，，为正整数，可得，或，，由此求解即可．
【详解】
解：（1）；
．
故答案为：，；
（2）∵，
，，
∴
又∵，，为正整数，
，或，，
∴当，时，；
当，时，．
综上所述，的值为46或14．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式和二次根式的性质化简，解题的关键在于能熟练掌握完全平方公式．
28．（1）；（2）
【分析】
（1）根据零指数幂，绝对值和完全平方公式进行计算求解即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可．
【详解】
解：（1）


；
（2）

．
【点拨】本题主要考查了零指数幂，绝对值，完全平方公式，利用二次根式的性质化简，二次根式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则．
29．（1）；（2）9
【分析】
（1）由题意根据材料所给出的解法进行分析计算求解即可；
（2）根据题意直接依据材料所给出的解法得出规律进行计算即可.
【详解】
解：（1）；
（2）


.
【点拨】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键.
30．（1）①；②；③9：（2）①；②
【分析】
（1）①根据题意利用平方差公式求解即可；
②根据题意利用平方差公式求解即可；
③由即可得到，由此即可求解；
（2）①连接AD，设，由，得到，则，解方程即可得到答案；
②连接AD，BD，CD，设，根据，得到，则，解方程即可得到答案．
【详解】
解：（1）①；
故答案为：；
②，
故答案为：；
③∵，
∴



；
（2）如图所示，连接AD，
设，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴；


②如图所示，连接AD，BD，CD，
设，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．

【点拨】本题主要考查了分母有理化，面积法求线段长，解题的关键在于准确理解题意，仿照题意进行求解．
31．（1）；（2）（n≥1且为整数）；（3）﹣1
【分析】
（1）（2）利用题中等式的规律求解；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【详解】
（1）第4个式子为：；
故答案为；
（2）第n个式子为： （n≥1且为整数）；
故答案为（n≥1且为整数）；
（3）原式＝﹣1+﹣﹣+•••+﹣
＝﹣1．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，找出规律是关键．
32．（1）2-2；（2）
【分析】
（1）分别计算零指数幂，去绝对值，化简二次根式，再合并即可；
（2）先化简二次根式，将括号展开计算，再合并即可．
【详解】
解：（1），
=，
=；
（2），
=，
=，
=．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
33．
【分析】
先分母有理化，同步进行二次根式的乘法运算，再合并同类二次根式即可.
【详解】
解：



【点拨】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的运算顺序与运算法则是解题的关键.
34．．
【分析】
先对a、b分母有理化，然后，，将因式分解，最后将，整体代入计算即可．
【详解】
解：∵，
，
∴，，
∴．
【点拨】本题主要考查了分母有理化以及因式分解的应用，代数式求值，正确的对a、b分母有理化是解答本题的关键．
35．（1）；（2）
【分析】
（1）先计算二次根式的除法和乘法，再进行二次根式的加减运算；
（2）先化简最简二次根式，然后进行二次根式的乘法，最后合并同类二次根式即可．
【详解】
（1）原式

；
（2）原式

．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则并能正确进行运算是关键．
36．（1）15；（2）6
【分析】
（1）先化简为最简二次根式，先计算括号里的，再计算二次根式乘法即可，
（2）先利用平方差公式简算，和立方根，然后再算加减法即可．
【详解】
解：（1），
，
，
；
（2），
=，
，
=．
【点拨】本题考查二次根式混合运算，最简二次根式，平方差公式，同类二次根式，掌握二次根式混合运算法则，最简二次根式，平方差公式巧用，同类二次根式及合并法则是解题关键．
37．（1）；（2）4
【分析】
（1）根据题意，分子分母都乘以进而即可分母有理化；
（2）根据题意得，再代入分式求解即可
【详解】
解：（1）
故答案为：
（2）依题意可知：

∵点B和点C关于点A的对称
∴
∴
∴
∴
∴



【点拨】本题考查了分母有理化，数轴与实数，理解题意掌握分母有理化的方法是解题的关键．
38．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）根据负整数幂、零指数幂、立方根和绝对值的性质求解即可；
（2）先化成最简二次根式，再合并即可；
（3）先化成最简二次根式，再计算乘法即可；
（4）根据完全平方公式展开，再合并即可．
【详解】
解：（1）

；
（2）



；
（3）



；
（4）

．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，解题的关键是明确各自的计算方法，仔细认真化简，会合并同类项．
39．（1）；（2）=（a≥0，b>0)；（3）二；＋；过程见解析．
【分析】
（1）根据最简二次根式的定义进行判定即可；
（2）根据=（a≥0，b>0)进行求解即可得到答案；
（3）由于除法没有分配律即可得到是从第二步开始出错的，然后利用二次根式的混合计算法则进行求解即可．
【详解】
解：（1）是最简二次根式；，不是最简二次根式；不是最简二次根式；，不是最简二次根式；
故答案为：；
（2）∵=（a≥0，b>0)；
∴，
故答案为：=（a≥0，b>0)；
（3）∵除法没有分配律，
∴解题过程是从第二步开始错的，
+÷（－）
=+÷（－）
=+÷
=＋×
=＋．
故答案为：二．
【点拨】本题主要考查了最简二次根式，二次根式的化简，二次根式的混合计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
40．
【分析】
根据实数的性质化简即可计算．
【详解】
原式

【点拨】本题考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握二次根式的运算，负整数指数幂和零指数幂的运算．
41．（1）；（2）
【分析】
（1）根据一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B，可得，再由点A表示的数为，点B表示的数为m，即可得到，由此求解即可；
（2）根据（1）求出的结果，代入m的值，根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：，
∵点A表示的数为，点B表示的数为m，
∴，
∴；
（2）∵
∴



．
【点拨】本题主要考查了实数与数轴，实数的混合运算，平方差公式，解题的关键在于能够根据题意求出．
42．（1）；（2）
【分析】
（1）先计算零次幂及去绝对值符号，将根式化为最简根式，然后依次进行加减运算即可；
（2）先将根式化为最简根式 ，然后在括号内进行加减计算，接着进行除法运算，最后将根式化为最简即可
【详解】
解：（1）
，
；
（2）
，
，
，
．
【点拨】题目主要考查二次根式的混合运算，0次幂的运算，去绝对值等，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
43．（1）；（2）
【分析】
（1）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可．
【详解】
解：（1）


；
（2）


．
【点拨】本题主要考查了利用二次根式的化简和二次根式的混合运算，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．
44．
【分析】
先利用完全平方公式去除括号，再化简二次根式，最后进一步计算即可．
【详解】
解：原式=
=
=．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算．本题中还用到完全平方公式，正确利用是解题关键．
45．（1）15；（2）．
【分析】
（1）根据二次根式的乘除运算性质计算即可；
（2）根据二次根式的性质化简即可；
【详解】
（1）原式=．
（2）原式= ．
【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，准确计算是解题的关键．
46．（1）；（2）9；（3）
【分析】
（1）根据所举例子，分子、分母都乘以，化简即可；
（2）根据（1）中结论计算即可；
（3）把所给代数式式的分母看做是1，然后把分子、分母都乘以分子的有理化因式化简后比较；
【详解】
解：（1）===；
（2）原式＝，
＝；
（3），
，

【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．
47．（1）－1+（2）（3）（4）0
【分析】
(1)利用多项式乘以多项式展开，然后合并即可；
(2)把二次根式相乘化为最简二次根式即可；
(3)把二次根式化为最简二次根式即可；
(4)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】
解：（1）（1＋）（2﹣）
=2-+2-3，
=－1+
（2）（＋）×
=，
=
（3）
=
（4）
=
=
=0
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
48．2y2
【分析】
根据二次根式有意义的条件和x的取值范围，确定y的取值范围，再根据二次根式的性质和乘除法的法则进行计算即可．
【详解】
解：∵x＞0，，有意义，
∴y＞0，
∴原式
＝
＝2y2．
【点拨】本题考查的是二次根式有意义条件，二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的乘除混合运算的运算法则与运算顺序是解题的关键.
49．（1）（2）
【分析】
（1）先根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的加减运算即可；
（2）根据完全平方公式进行计算即可
【详解】
（1）



（2）


【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题的关键．
50．，
【分析】
先对括号内的分式进行通分计算，然后再进行乘除法运算，最后代入数值即可．
【详解】
解：原式＝
＝
＝；
当，时，原式＝＝．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键．
51．0
【分析】
原式第一项根据实数绝对值意义化简，第二项根据零指数幂的法则化简，第三项化简二次根式，最后一项进行有理数的乘方运算，然后再合并即可得到答案．
【详解】
解：
=
=0
【点拨】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
52．（1）1；（2）；（3）0；（4）．
【分析】
（1）先运用分母有理化化简，然后再计算即可；
（2）先运用二次根式的性质化简，然后再计算即可；
（3）先运用平方差公式计算，然后再化简即可；
（4）先运用零次幂、二次根式的性质、完全平方公式化简，然后再计算即可．
【详解】
解：（1）
=
=
=4-3
=1；
（2）
=
=；
（3）
=5-7+2
=0；
（4）
=
=
=．
【点拨】本题主要考查了二次根式的运算，掌握分母有理化、二次根式的性质成为解答本题的关键．
53．（1）5；（2）7﹣2；（3）﹣6；（4）．
【分析】
（1）利用二次根式的除法法则运算；
（2）利用完全平方公式计算；
（3）先利用二次根式的乘法法法则运算，然后化简后合并即可；
（4）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】
解：（1）原式＝+，
＝2+3，
＝5；
（2）原式＝5﹣2+2，
＝7﹣2；
（3）原式＝﹣2﹣3，
＝3﹣6﹣3，
＝﹣6；
（4）原式＝2﹣+，
＝．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键．
54．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据平方差公式分母有理化即可；
（2）根据平方差公式分母有理化即可；
（3）对每一个式子分母有理化，再进行合并计算即可；
【详解】
（1）；
故答案是：；
（2）；
故答案是：；
（3），
，
；
【点拨】本题主要考查了二次根式分母有理化，平方差公式，准确计算是解题的关键．
55．9
【分析】
先根据二次根式的加减计算法则求出，利用平方差公式求出，然后整体代入到中求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴．
【点拨】本题主要考查了二次根式的加减，二次根式的乘法，平方差公式，代数式求值，解题的关键在于能够利用整体代入的思想求解．
56．（1）；（2）
【分析】
（1）原式第一项进行分母有理化，第二项化简二次根式，第三项运用零指数幂法则化简后再进行加减运算即可得解；
（2）原式先化简二次根式，再进行除法运算即可．
【详解】
解：（1）
原式=
=；
（2）
原式=
=
=
【点拨】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．
57．（1），，，；（2）
【分析】
（1）利用题中等式的计算规律得到的结果为，的结果为；
（2）第个等式的左边为，等式右边为1与的和．
【详解】
解：（1）；
；
故答案是：，，，；
（2）通过观察等式右边为1与的和，
故第个等式为：．
【点拨】本题考查了二次根式的加减法：解题的关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
58．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）先分别求解零次幂，化简二次根式，求解负整数指数幂的运算，再合并即可；
（2）先计算分式的乘方运算，同步把分式的除法化为乘法运算，再约分即可；
（3）先按照平方差公式与完全平方公式计算整式的乘法运算，再合并同类项即可；
（4）先分别化简各二次根式，再合并同类二次根式即可.
【详解】
解：（1）


（2）解：
=
=
（3）解：
=
=
=
（4）解：
=
= .
【点拨】本题考查的是整式的混合运算，零次幂，负整数指数幂的含义，二次根式的加减运算，分式的乘除乘方混合运算，掌握以上基础运算的运算法则是解本题的关键.
59．（1）；（2）
【分析】
（1）根据零指数幂a0=1（a≠0）和负指数幂a-p= 法则解答即可；
（2）现将二次根式化为最简二次根式，再合并即可．
【详解】
解：(1)(π−)0−(−)−2；
＝1－
＝1－
＝；
(2)
=
=．
【点拨】本题考查了零指数幂和负指数幂的计算以及二次根式的化简，做题的关键是现将二次根式化为最简二次根式．
60．14
【分析】
先计算出，，再由x2＋3xy＋y2＝(x＋y) 2＋xy进行求解即可．
【详解】
解：∵，，
∴，，
∴x2＋3xy＋y2
＝x2＋2xy＋y2＋xy
＝(x＋y) 2＋xy
＝＋2
＝14．
【点拨】本题主要考查了实数的运算，代数式求值，平方差公式，完全平方公式，解题的关键在于能够根据题意得到x2＋3xy＋y2＝(x＋y) 2＋xy．
61．（1）观察与计算：－7；18；应用：（1）①；；（2）
【分析】
观察与计算：根据二次根式的乘法和平方差公式求解即可；
应用：（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）先对原式每一项进行分母有理化即可得到，由此求解即可．
【详解】
解：观察与计算：，，
故答案为：-7，18；
应用：（1）① ；
②；
（2）原式＝
＝
＝
＝
＝
=．
【点拨】本题主要考查了二次根式的乘法运算，平方差公式和分母有理化，解题的关键在于能够准确理解题意进行求解．
62．（1）0；（2）．
【分析】
（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先计算二次根式乘法，绝对值化简，乘方，再去括号，合并同类项即可．
【详解】
（1）解：，
＝，
＝；
（2）解：，
＝ ，
＝．
【点拨】本题考查二次根式混合计算，最简二次根式，绝对值化简，乘方，掌握二次根式混合运算法则，绝对值化简，乘方是解题关键．
63．（1）m2+5n2，2mn；（2）当m=1，n=2时，x=13；当m=2，n=1时，x=7；（3）．
【分析】
（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；
（2）利用（1）中结论得到4＝2mn，利用x、m、n均为正整数得到或，然后利用x＝m2+3n2计算对应x的值；
（3）设m+n，两边平方，可得消去n得，可求m=或m=即可．
【详解】
解：（1）设a+b＝（m+n）2＝m2+5n2+2mn（其中a、b、m、n均为整数），
则有a＝m2+5n2，b＝2mn；
故答案为m2+5n2，2mn；
（2）∵
∴4＝2mn，
∴mn＝2，
∵x、m、n均为正整数，
∴或，
当m＝1，n＝2时，x＝m2+3n2＝1+3×4＝13；
当m＝2，n＝1时，x＝m2+3n2＝4+3×1＝7；
即x的值为为13或7；
（3）设m+n，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴（m2-2）（m2-3）=0，
∴m=,m=，
∴，．
∴或
∴，．
故答案为．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．一元高次方程，二元方程组，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
64．5
【分析】
根据的值先求出和的值，再对要求的式子进行化简，然后代值计算即可．
【详解】
解:∵，
∴，
∴，
故答案为5.
【点拨】此题考查了二次根式的化简求值，用到的知识点是通分和配方法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．
65．（1）；（2）3＋；（3）；（4）2；（5）4－8.
【解析】
【分析】
根据根式的运算性质即可解题.
【详解】
解：（1）÷－×÷
=4÷-×÷
=4-
=;
（2）×＋
=3×+3-2
=32+3
=3＋;
（3）－÷×
=3××
=3
=;
（4）（3＋－4）÷
=（9＋－2）÷
=8÷
=2;
（5）
=
=2+2-[2-2]
=4
=4－8
【点拨】本题考查了根式的运算,中等难度,熟悉根式的运算性质是提关键.
66．（1）；（2）2017.
【解析】
【分析】
（1）直接利用分母有理化法则化简求出答案；
（2）利用前面的计算规律得到原式，然后把前面括号内合并后利用平方差公式计算即可．
【详解】
解：（1）；
故答案为：.
（2）原式=
=
=2018-1
=2017.
故答案为：2017
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
67．
【分析】
（1）首先把根式+有理化，然后求出根式
的有理化因式的值是多少；再根据根式和求出的它的有理化因式的值，求出方程＝16的解是多少即可；
（2）首先把根式有理化，然后求出根式的有理化因式的值是多少；再根据根式和求出的它的有理化因式的值，求出方程=4x的解是多少即可．
【详解】
（1）由（）（）=
=（x2+42）-（x2+10）=32
又由，
可得=32÷16=2，
将这两式相加可得
∵()2＝x2+42=92=81，
∴x=±，
经检验x=±都是原方程的解，
∴方程的解是x=±
（2）（）（）=（4x2+6x-5）-（4x2-2x-5）=8x
又由
可得=8x÷4x=2，
将这两式相加可得
∵()2＝(2x+1)2，
∴4x2+6x-5=4x2+4x+1，
∴2x=6，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，
∴方程的解是：x=3．
故答案为(1) x=± (2) 3
【点拨】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
68．.
【分析】
先通分，然后再进行加减即可.
【详解】
原式=
=
=
=
=.
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了完全平方公式，平方差公式，分式的化简等，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.
69．.
【分析】
设，，，则，，再把原式变形后代入求值即可.
【详解】
设，，，则，．
原式
．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，将原式变为分式，再进行变形求解是解决此题的关键.
70．
【分析】
先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算
【详解】
解：
=
=
=
=
=
【点拨】本题看似计算繁杂，但只要找到分母有理化这个突破口，就会化难为易．
71．7．
【解析】
【分析】
给等式两边同时除以x，可得，然后再用完全平方公式对进行变形即可.
【详解】
解：由得，即，∴==9-2=7．
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是对等式和代数式进行变形，寻找联系.
72．
【分析】
经观察可得所求的式子满足完全平方公式，利用完全平方式可将所求的式子化为最简，代入a的值后可得结果．
【详解】
.
当时，原式.
【点拨】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握化简二次根式是解决本题的关键.
73．（1） （2） （3）62
【分析】
（1）分子分母分别乘 即可.
（2）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并即可.
（3）将x，y化简后，对后面算式运用完全平方公式进行变形，代入即可.
【详解】
（1） ，
，

故答案为 ， ，
（2）原式=

（3），
∴

【点拨】考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．
74．2019.
【分析】
先由变形可得，再对进行变形为，然后用整体代入的方法即可求出结果.
【详解】
解：∵，∴，
∴，即，
∴原式
【点拨】本题是代入求值题，考查了二次根式的运算，本题要注意观察式子的特点，对式子进行有目的的变形，然后采用整体代入的方法求值是一种比较简便的方法.
75．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据观察，可发现规律： ，
（2）根据规律，结合二次根式的加减，可得答案.
【详解】
解：（1）观察上面的解题过程，请直接写出结果，
故答案为：；
（2）原式=
【点拨】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键.
76．
【分析】
解方程得出，再分母有理化，化简得出原式=，最后代入x求值即可.
【详解】
解：


∵
∴
∴




【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，难度较大，熟练掌握相关知识点是解题关键.
77．
【分析】
利用二次根式的被开方数的非负性建立不等式解得x、y的值再带入求出即可.
【详解】

【点拨】本题利用二次根式的被开方数的非负性建立不等式解得x、y的值是突破口，然后带入运算即可.
78．（1）；（2）；（3）详见解析.
【分析】
（1）观察式子可得到第④个式子的整数部分为5，然后再按照题设所给的式子写出即可；
（2）观察式子可得到第n-1个式子的整数部分为n，故第n-1个式子为；
（3）利用二次根式的性质对所得到的规律化简即可.
【详解】
（1）总结规律可知.
（2），，，故根据上述规律可知第n-1个式子为，
（3），故结论成立.
【点拨】本题主要考查规律的探索与总结以及二次根式的计算，解题关键在于能够正确找到规律.
79．
【分析】
分母不变，分子作减法后，根据 ，将分子分解为 ，通过约分即可得.
【详解】
原式
【点拨】本题考查分式的化简，利用使此题化简更为简便.
80．（1），；（2）.
【分析】
由条件对式子进行变形，利用完全平方公式对的形式化简后就可以得出结论了．
【详解】
解：（1）






；
（2）



【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方根式的运用及二次根式性质的运用．
81．（1）；（2）6
【分析】
（1）先计算出x+y，xy的值，再把x2-xy+y2变形为（x+y）2-3xy，然后利用整体代入的方法计算；
（2）把++2变形为+2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：（1）∵x=，y=，
∴x+y=，xy=，
∴x2-xy+y2=（x+y）2-3xy=（）2-3×=；
（2）++2=+2===6．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值，这类题一定要先化简再代入求值．另外明确二次根式的乘除运算要与加减运算区分也是解答本题的关键．
82．（1）1；1（2）结果为1，证明过程见详解（3）
【分析】
（1）根据题目定义的运算方式代数计算即可.
（2）根据第（1）题的计算结果总结规律，并加以证明.
（3）运用第（2）题的运算规律和加法结合律进行将式子中每一项适当分组，再进行计算.
【详解】
解：（1）；
.
（2）猜想的结果为1.
证明：




（3）



【点拨】本题以定义新运算的形式考查了二次根式的综合计算，遵循新运算的方式，熟练掌握二次根式的计算是解答关键.
83．（1）的平方根为；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据已知条件即可求a−b的平方根；
（2）连接,过点作交延长线于点,即为所求；
（3）根据等面积法即可求线段BH的长．
【详解】
由题知：










∴a-b=2
∴a-b的平方根是；
如图①连接
②过点作交延长线于点
理由：
连接交于点





∴所以四边形ABCG的面积与五边形ABCDE的面积相等；
（3）连接FB，FH∥AB
过点F作FQ⊥AB于点Q，
则四边形FQBH是矩形，
∴FQ＝BH，





故答案为：．

【点拨】本题考查了作图−应用与设计作图，综合运用平方根、二次根式有意义的条件、平行线的性质、三角形的面积等知识解决问题，解题关键是利用等面积法．
84．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据题目的运算，先将分式通分，然后化简计算，即可得答案；
（2）根据题目的运算，先将分式通分，然后化简计算，即可得答案；
（3）根据规律，化简求值即可．
【详解】
（1）




（2）





（3）由（2）的运算可得：
∴




【点拨】本题考查了利用平方差公式对二次根式进行有理化，熟悉相关运算法则是解题的关键．
85．（1），；（2），；（3），
【分析】
（1）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（2）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可；
（3）仿照上面的例子变形得到，求出最小值即可.
【详解】
解：（1）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（2）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为4；
（3）由题知，
∵，
∴
∴，当且仅当时取等号，
即当时，函数的最小值为6.
【点拨】本题是对二次根式和不等式的综合考查，读懂题意，准确变形是解决本题的关键.
86．（1）+1；（2）；（3）
∴