（通用版）中考数学一轮复习练习卷4.3《全等三角形》随堂练习（含答案）

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类型一 三角形全等的相关证明
1.如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD.
求证：∠B＝∠E.

2. 如图，点A、B、C、D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：AE＝FB.
3. 如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC＝DE，AB∥EF，AB＝EF.
求证：BC＝FD.
含公共边
4. 如图，在△ABD和△FEC中，点B，C，D，E在同一直线上，且AB＝FE，BC＝DE，∠B＝∠E.
求证：∠ADB＝∠FCE.
5. 如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.
求证：BC∥EF.
含公共角(旋转型)
6. 已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.
求证：BC＝ED.
拓展训练
1. 如图，已知AB⊥AC，AB＝AC，DE过点A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D，E.求证：CD＝AE.
类型二 三角形全等的证明及计算(涉及辅助线)
等腰三角形中的辅助线
7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.
求证：(1)AF＝CG；
(2)CF＝2DE.
倍长中线
8. 在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连接AC.
(1)如图①，若AB＝3eq \r(2)，BC＝5，求AC的长；
(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点．求证：∠BDF＝∠CEF.
构造直角三角形
9. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE.
(1)如图①，若AB＝4eq \r(2)，BE＝5，求AE的长．
(2)如图②，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD，CF.当AF＝DF时，求证：DC＝BC.
拓展训练
2. 在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC.在等腰Rt△BDE中，∠BDE＝90°，BD＝DE.连接AD，CD，点F是AD的中点．
(1)如图①，当点E和点F重合时，若BD＝eq \r(5)，求CD的长；
(2)如图②，当点F恰好在BE上，AB＝AD时，求证：BD＝eq \r(2)CD.
答案
1. 证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ECD，(2分)
在△ABC和△CED中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝CE,∠BAC＝∠ECD,AC＝CD))，
∴△ABC≌△CED(SAS)，(5分)
∴∠B＝∠E.(7分)
2. 证明：∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠FDB，(2分)
在△ACE和△FDB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(EC＝BD,∠ACE＝∠FDB，,AC＝FD))
∴△ACE≌△FDB(SAS)，(5分)
∴AE＝FB.(7分)
3. 证明：∵AB∥EF，点C、D在线段AE上，
∴∠A＝∠E，(3分)
∵AC＝ED，AB＝EF，
∴△ABC≌△EFD(SAS)，(5分)
∴BC＝FD.(7分)
4. 证明：∵BC＝DE，
∴BC＋CD＝DE＋CD，即BD＝EC.(3分)
又∵∠B＝∠E，AB＝FE，
∴△ABD≌△FEC(SAS)，(5分)
∴∠ADB＝∠FCE.(7分)
5. 证明：∵AF＝DC，
∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.
又∵AB＝DE，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，(4分)
∴∠ACB＝∠DFE，(5分)
∴BC∥EF.(6分)
6. 证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，(1分)
即∠EAD＝∠BAC，
在△EAD和△BAC中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠B＝∠E,AB＝AE,∠BAC＝∠EAD))，(2分)
∴△ABC≌△AED(ASA)，(5分)
∴BC＝ED.(6分)
拓展训练1 证明：∵AB⊥AC，CD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠BAC＝∠D＝∠E＝90°，
∴∠CAD＋∠BAE＝90°，∠DCA＋∠CAD＝90°，
∴∠DCA＝∠EAB，
在△ADC和△BEA中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠D＝∠E＝90°,∠DCA＝∠EAB,AC＝BA))，
∴△ADC≌△BEA(AAS)．
∴CD＝AE.
7. 证明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠BCG＝eq \f(1,2)∠ACB＝45°，
∴∠CAB＝∠BCG，(2分)
在△ACF和△CBG中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ACF＝∠CBG,AC＝CB,∠CAB＝∠BCG))，
∴△ACF≌△CBG(ASA)，(4分)
∴AF＝CG.(5分)
(2)如解图，延长CG交AB于点H.
∵AC＝BC, CG平分∠ACB，
∴CH⊥AB，且点H是AB的中点，
又∵AD⊥AB，
∴CH∥AD，
∴∠D＝∠CGE，
又∵点H是AB的中点，
∴点G是BD的中点，
∴DG＝GB，
∵△ACF≌△CBG，
∴CF＝BG，
∴CF＝DG，(7分)
∵E为AC边的中点，
∴AE＝CE，
在△AED和△CEG中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DEA＝∠GEC,∠D＝∠CGE,AE＝CE))，
∴△AED≌△CEG(AAS)，(8分)
∴DE＝GE，
∴DG＝2DE，
又∵CF＝DG，
∴CF＝2DE.(10分)
第7题解图
8. (1)解：∵AM⊥BM，点C是BM延长线上一点，
∴∠AMB＝∠AMC＝90°，
∴△AMB和△AMC是直角三角形，
∵∠ABM＝45°，AB＝3eq \r(2)，
∴AM＝BM＝3，
∵BC＝5，
∴MC＝5－3＝2，
在Rt△AMC中，AM＝3，CM＝2，
∴AC＝eq \r(32＋22)＝eq \r(13).(4分)
(2)证明：延长EF至点H，使FH＝FE，连接BH，如解图①，
第8题解图①
∵点F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△BFH和△CFE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BF＝CF,∠BFH＝∠CFE,FH＝FE))，
∴△BFH≌△CFE(SAS)，(7分)
∴BH＝CE，∠H＝∠CEF，
又∵∠BMD＝∠AMC＝90°，AM＝BM，MD＝MC，
∴△BMD≌△AMC(SAS)，
∴BD＝AC，
又∵AC＝EC，EC＝BH，
∴BD＝BH，
∴∠BDF＝∠H＝∠CEF，
∴∠BDF＝∠CEF.(10分)
【一题多解】∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，点C是BM延长线上一点．
∴BM＝AM，∠BMD＝∠AMC＝90°.
在△BMD和△AMC中，
∵BM＝AM，∠BMD＝∠AMC，MD＝MC，
∴△BMD≌△AMC(SAS)．(6分)
∴BD＝AC.
∵EC＝AC，
∴BD＝EC.
延长DF到点G，使FG＝FD，连接CG，如解图②，
第8题解图②
∵点F是线段BC的中点，
∴CF＝BF.
∵∠CFG＝∠BFD，FG＝FD，
∴△CFG≌△BFD(SAS)．
∴CG＝BD，∠G＝∠BDF.
∵BD＝EC，
∴CG＝EC.
∴∠G＝∠CEF.
∵∠G＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠CEF.(10分)
9. (1)解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝AB·sin45°＝4，(2分)
∴在Rt△BCE中，CE＝eq \r(BE2－BC2)＝3，
∴AE＝AC－CE＝4－3＝1.(4分)
(2)证明：如解图，过C点作CM⊥CF交BD于点M，
∴∠FCM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FCA＝∠MCB，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFE＝∠ACB，
∵∠AEF＝∠BEC，
∴∠CAF＝∠CBM，
在△ACF和△BCM中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠FCA＝∠MCB,AC＝BC,∠CAF＝∠CBM))，
∴△ACF≌△BCM(ASA)，(7分)
∴FC＝MC，
又∵∠FCM＝90°，
∴∠CFM＝∠CMF＝45°，
∴∠AFC＝∠AFB＋∠CFM＝90°＋45°＝135°，
∠DFC＝180°－∠CFM＝180°－45°＝135°，
∴∠AFC＝∠DFC，
在△ACF和△DCF中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AF＝DF,∠AFC＝∠DFC,CF＝CF))，
∴△ACF≌△DCF(SAS)，(9分)
∴AC＝DC，
∵AC＝BC，
∴DC＝BC.(10分)
第9题解图
拓展训练2
(1)解：如解图①，∵∠1＋∠ABD＝90°，
在Rt△ABD中，∠2＋∠ABD＝90°，
第2题解图①
∴∠1＝∠2，
∵BD＝ED，F为AD的中点，点E和点F重合，
∴AE＝ED＝BD，
在△ABE和△BCD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AE＝BD,∠2＝∠1,AB＝BC))，
∴△ABE≌△BCD(SAS)，
∴BE＝CD.
在Rt△BED中，BE2＝BD2＋ED2，
∵BD＝ED＝eq \r(5)，
∴BE＝eq \r(10)，
∴CD＝eq \r(10).
(2)证明：过点A作AN⊥BD于点N，交BE于点M，如解图②，
第2题解图②
∵AB＝AD，
∴N是BD的中点，∠3＝∠4，
∵∠ANB＝∠BDE＝90°，
∴AN∥ED，
∴∠4＝∠5，∠6＝∠7＝45°，
∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
在△AFM和△DFE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠6＝∠7,∠4＝∠5,AF＝FD))，
∴△AFM≌△DFE(AAS)，
∴AM＝ED，
∵BD＝ED，
∴BD＝AM，
∵AB＝AD，
∴∠8＝∠ABD，
∵∠8＋∠5＝90°，∠ABD＋∠9＝90°，
∴∠5＝∠9，
∵∠3＝∠4＝∠5，
∴∠3＝∠9，
在△ABM和△BCD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝BC,∠3＝∠9,AM＝BD))，
∴△ABM≌△BCD(SAS)，
∴BM＝CD.
在等腰Rt△BMN中，BM＝eq \r(2)BN，
∵BN＝eq \f(1,2)BD，
∴BD＝eq \r(2)BM，
∴BD＝eq \r(2)CD.