（通用版）中考数学一轮复习练习卷4.2《三角形及其性质》随堂练习（含答案）

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1.如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为( )
A. 2 B. 2eq \r(3) C. eq \f(\r(3),3)＋1 D. eq \r(3)＋1
2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③④ D. ③④⑤

3. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB＝2，求△ABC的周长．(结果保留根号)
答案
1. D 【解析】∵CD⊥AB，∴△ADC与△CDB都是直角三角形．又∵∠A＝45°，∠B＝30°，CD＝1，∴AD＝1，CB＝2CD＝2，∴DB＝eq \r(BC2－CD2)＝eq \r(3)，∴AB＝AD＋BD＝1＋eq \r(3).
2. B 【解析】如解图，连接CF，由SAS定理可证△CFE≌△AFD，∴∠CFE＝∠AFD，从而可证∠DFE＝90°，DF＝EF.∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；当EF⊥CB，DF⊥AC时，易得四边形CDFE为正方形，故②错误；∵△DEF是等腰直角三角形，DE＝eq \r(2)DF，当DF与AC垂直时，DF最小为4，DE取最小值为4eq \r(2)，故③错误；再由△CDF≌△BEF可知S四边形CDFE＝S△CDF＋S△CEF＝S△BEF＋S△CEF＝S△CFB＝eq \f(1,2)S△ABC，保持不变，故④正确；△CDE的最大面积等于四边形CDFE的面积减去△DEF的最小面积，由③可知S△DEF最小＝eq \f(1,2)×4×4＝8，又由④可得S四边形CDFE＝S△CFB＝16，故⑤正确．综上可得正确的结论为①④⑤.
第2题解图
3. 解：∵△ABD是等边三角形，
∴∠B＝60°，(1分)
∵∠BAC＝90°，
∴∠C＝180°－90°－60°＝30°，
∴BC＝2AB＝4，(3分)
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝eq \r(BC2－AB2)＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3)，
∴△ABC的周长是AC＋BC＋AB＝2eq \r(3)＋4＋2＝6＋2eq \r(3).(6分)