（通用版）中考数学一轮复习练习卷4.5《解直角三角形及其实际应用》课后练习（含答案）

这是一份（通用版）中考数学一轮复习练习卷4.5《解直角三角形及其实际应用》课后练习（含答案），共13页。试卷主要包含了 cs60°的值等于等内容，欢迎下载使用。
1. cs60°的值等于( )
A. eq \r(3) B. 1 C. eq \f(\r(2),2) D. eq \f(1,2)
2. 在Rt△ABC中，csA＝eq \f(1,2)，那么sinA的值是( )
A. eq \f(\r(2),2) B. eq \f(\r(3),2) C. eq \f(\r(3),3) D. eq \f(1,2)
3. 如图，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )
A. eq \f(5,13) B. eq \f(12,13) C. eq \f(5,12) D. eq \f(13,12)

4.如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域．甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是( )
A. 北偏东55° B. 北偏西55° C. 北偏东35° D. 北偏西35°
5.△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是( )
A. sinα＝csα B. tanC＝2 C. sinβ＝csβ D. tanα＝1

6. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)( )
A. eq \f(h,sinα) B. eq \f(h,csα) C. eq \f(h,tanα) D. h·csα
7. 如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )米/秒
A. 20(eq \r(3)＋1) B. 20(eq \r(3)－1) C. 200 D. 300

8. 如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长为10 m，则树AB的高度是( )
A. 20eq \r(3) m B. 30 m C. 30eq \r(3) m D. 40 m
9. 小强到某水库大坝游玩，他站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处(点A与大树及其影子在同一平面内)，此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，己知斜坡AB的坡度i＝eq \r(3)∶1，若大坝的高为12eq \r(3) 米，则大树CD的高约为( )米(结果精确到1米．参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

10. “星光隧道”是贯穿新牌坊商圈和照母山以北的高端居住区的重要纽带．图中线段AB表示该工程的部分隧道，无人勘测飞机从隧道一侧的点A出发，沿着坡度i＝1∶2的路线AE飞行，飞行至分界点C的正上方点D时，测得隧道另一侧点B的俯角为12°，继续飞行到点E，测得点B的俯角为45°，此时点E离地面高度EF＝700米，则隧道BC段的长度约为( )米(结果精确到1米．参考数据：tan12°≈0.2，cs12°≈0.98)
A. 2100 B. 1600 C. 1500 D. 1540
11.最近央视纪录片《航拍中国》中各地的美景震撼了全国观众，如图是航拍无人机从A点俯拍在坡比为3∶4的斜坡CD上的景点C，此时的俯角为30°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为45°，已知无人机与斜坡CD的坡底D的水平距离DE为400米，则斜坡CD的长度为( )米(结果精确到0.1米．参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)
A. 91.1 B. 91.3 C. 58.2 D. 58.4

12. 如图，小明家附近有一斜坡AB＝40米，其坡度i＝1∶eq \r(3)，斜坡AB上有一竖直向上的古树EF，小明在山底A处看古树树顶E的仰角为60°，在山顶B处看古树树顶E的仰角为15°，则古树的高约为( )米
(结果精确到0.1米．参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)
A. 16.9 B. 13.7 C. 14.6 D. 15.2
13. 如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高CB为10米，坡面CA的坡比为1∶eq \r(3).为了方便行人推车过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面CD的坡角为18°，问离原坡脚(点A)15米的花坛E，与新坡脚(点D)的距离DE大约为( )米
(结果精确到0.01米．参考数据：sin18°≈0.31，cs18°≈0.95，tan18°≈0.32，eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)
A. 2.05 B. 1.50 C. 1.05 D. 2.50

14. 如图，我校临江园前河坝横断面迎水坡AB长40 m，坡比是1∶eq \r(3)，BC为坝高．某同学在临江园B处测得江中迎面匀速驶来的小船在M处的俯角为14°，他立刻朝万象楼方向走17 m到D处，并向上到达楼顶E处，共用时60 s，在E处测得小船在N处的俯角为58°，已知万象楼高DE＝25 m，江水深FH＝9 m，若小船的航行方向和该同学的行走方向与河坝横断面在同一平面内，则小船的行驶速度为( )m/s(结果精确到0.01.参考数据：eq \r(3)≈1.73，sin14°≈0.24，tan14°≈0.25，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60)
A. 0.24 B. 0.64 C. 0.65 D. 0.70
15. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝eq \r(3)，则sineq \f(A,2)＝________.
16. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝eq \f(15,8)，则AB＝________.

17. 如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为________米．(结果保留一位小数．参考数据：sin54°＝0.8090，cs54°＝0.5878，tan54°＝1.3764)
18. 如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6eq \r(2)米，背水坡CD的坡度i＝1∶eq \r(3)(i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米．

19. 如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向，在码头B北偏西45°的方向，AC＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到A、B所用时间相等，则eq \f(v1,v2)＝______．(结果保留根号)
20.为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示．已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC. (参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.2)
21. )如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC)，经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100 km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？(参考数据：eq \r(3)≈1.73)
22. )如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.
(1)求sinB的值；
(2)现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．
23.小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B、C、D三点在同一直线上．
(1)求树DE的高度；
(2)求食堂MN的高度．
答案
1. D 2. B 3. C
4. D 【解析】如解图，∵两船等速且不能相撞，∴甲与乙所行路程不能相等，∴△ABC不能是等腰三角形，∴∠CBD≠35°，∴乙的航向不能是北偏西35°.
第4题解图
5. C 【解析】∵网格中每一个小正方形的边长均为1，则AD＝2，BD＝2，CD＝1，AB＝eq \r(AD2＋BD2)＝2eq \r(2)，AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(5)，∴sinα＝eq \f(BD,AB)＝eq \f(\r(2),2)，csα＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(\r(2),2)，∴sinα＝csα，故A正确；tanC＝eq \f(AD,CD)＝2，故B正确；sinβ＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(\r(5),5)，csβ＝eq \f(AD,AC)＝eq \f(2\r(5),5)，∴sinβ≠csβ，故C错误；tanα＝eq \f(BD,AD)＝1，故D正确．
6. B 【解析】∵AC⊥BC，∴∠ACD＋∠DCB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠BCD＝∠CAD＝α，在Rt△BCD中，∵CD＝h，cs∠BCD＝eq \f(CD,BC)，即csα＝eq \f(h,BC)，∴BC＝eq \f(h,csα).
7. A 【解析】如解图，作BD⊥AC于点D，则BD＝200，∠CBD＝45°，∠ABD＝60°，∴AC＝DC＋AD＝200＋200eq \r(3)，∴动车的平均速度是(200＋200eq \r(3))÷10＝20＋20eq \r(3)＝20(1＋eq \r(3))米/秒．
第7题解图
8. B 【解析】∵在Rt△CDE中，DE＝10 m，CD＝20 m，∴∠DCE＝30°，∵矩形AFDE中，DF∥AE，∴∠CDF＝∠DCE＝30°，又∵∠BDF＝30°，∴∠BDC＝60°，又∵∠BCA＝60°，∴∠BCD＝90°，∴BC＝eq \r(3)CD＝20eq \r(3) m，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴AB＝eq \f(\r(3),2)BC＝30 m.
9. C 【解析】如解图，过点D作DF⊥AB于点F，过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△AGB中，AG＝12eq \r(3)米，∵AB的坡度i＝eq \r(3)∶1，∴∠ABG＝60°，BG＝12，∵∠CBD＝60°，∴∠DBA＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAB＝∠ABG＝60°，∵∠EAD＝15°，∴∠DAB＝45°，∵∠CBD＝∠ABD＝60°，∴DF＝DC，设DC＝x，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AF＝DF＝x，∵AB＝eq \r(AG2＋BG2)＝24，则BF＝24－x，在△BDF中，∵DF＝BF·tan60°，∴x＝eq \r(3)(24－x)，解得，x＝36－12eq \r(3)，约为15米．
第9题解图
10. C 【解析】在Rt△BEF中，∵∠EBF＝45°，∴BF＝EF＝700 m，∵i＝eq \f(EF,AF)＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(1,2)，设CD＝x m，∴AC＝2x m，AF＝2EF＝1400 m，∴AB＝AF＋BF＝2100 m，在Rt△BCD中，∵∠CBD＝12°，∴BC＝eq \f(CD,tan12°)≈eq \f(x,0.2)＝5x m，∴AB＝AC＋BC＝2x＋5x＝7x m，则7x＝2100，∴x＝300 m，BC＝5x＝1500 m.
11. B 【解析】如图，过点C作CF⊥DE于F，作CM⊥BE于M. 依题意，设CF＝3x, 则DF＝4x，∴ME＝CF＝3x, CM＝EF＝4x＋400.∵∠BCM＝45°， ∴BM＝CM＝4x＋400，∴AM＝BM－AB＝4x＋400－200＝4x＋200.∵∠ACM＝30°， ∴tan∠ACM＝eq \f(AM,CM)＝eq \f(4x＋200,4x＋400)＝eq \f(\r(3),3)，∴x＝25(eq \r(3)－1)≈25×0.73＝18.25，则CD＝eq \r(（3x）2＋（4x）2)＝5x＝18.25×5＝91.25≈91.3.
第11题解图
12. A 【解析】如解图，过点B作BD∥AC交AE于点D，过点E作EG⊥AB于点G，延长EF与AC相交于点H，∵tan∠BAC＝i＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，∴∠BAC＝30°，∴∠DBA＝∠BAC＝30°，∠BAE＝∠CAE－∠CAB＝30°，∠EFG＝∠AFH＝60°，∵∠EBD＝15°，∴∠EBG＝45°，则EG＝BG，设EG＝BG＝x m，在Rt△AEG中，AG＝eq \f(EG,tan30°)＝eq \r(3)x m，∴AB＝AG＋BG＝(eq \r(3)＋1)x m＝40 m，解得，x＝(20eq \r(3)－20) m，在Rt△EFG中，EF＝eq \f(EG,sin60°)≈16.9 m.
第12题解图
13. C 【解析】在Rt△ABC中，BC＝10米，∵坡面AC的坡比为1∶eq \r(3)，∴∠BAC＝30°，∵tan30°＝eq \f(BC,AB)，∴AB＝10eq \r(3)≈17.3 m，∴BE＝AB＋AE≈17.3＋15＝32.3 m，在Rt△BCD中，∠BDC＝18°，BC＝10 m，∵tan18°＝eq \f(BC,BD)，∴BD＝eq \f(BC,tan18°)≈31.25 m，∴DE＝BE－BD≈32.3－31.25＝1.05 m.
14. B 【解析】如解图，∵iAB＝1∶eq \r(3)，∴∠BAC＝30°，∴BC＝eq \f(1,2)AB＝20 m，∵CG＝FH＝9 m，∴DK＝BG＝20－9＝11 m，∴EK＝DE＋DK＝25＋11＝36 m，在Rt△EKN中，∠ENK＝58°，∴NK＝eq \f(EK,tan58°)≈eq \f(36,1.6)＝22.5m，在Rt△BGM中，∠BMG＝14°，∴GM＝eq \f(BG,tan14°)≈eq \f(11,0.25)＝44 m，∴MK＝KG＋GM≈17＋44＝61 m，∴MN＝MK－NK≈61－22.5＝38.5 m，∴小船行驶的速度为38.5÷60≈0.64 m/s.
第14题解图
15. eq \f(1,2) 16. 17
17. 15.3 【解析】根据题意得CD＝BE＝10米，BD＝CE＝1.5米， ∠ACD＝54°，∴AD＝CD·tan54°＝10×tan54°≈13.8米，∴这棵树的高度AB＝AD＋BD≈13.8＋1.5＝15.3米．
18. 12 【解析】在Rt△ABE中，∠α＝45°，AB＝6eq \r(2)，则AE＝6，DF＝AE＝6，在Rt△DFC中，DF＝6，DF∶FC＝1∶eq \r(3)，∴∠C＝30°，∴DC＝2DF＝12.
19. eq \r(2) 【解析】如解图，过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝4 km，∴CD＝2 km，在Rt△CDB中，∠CBD＝45°，CD＝2，∴BC＝2eq \r(2)，∵游船开往A和开往B所用时间相等，设时间为t，则v1＝eq \f(AC,t)，v2＝eq \f(BC,t)，∴eq \f(v1,v2)＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(4,2\r(2))＝eq \r(2).
第19题解图
20. 解：设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，
AB＝eq \f(BC,tan50°)≈eq \f(BC,1.2)＝eq \f(5BC,6)＝eq \f(5,6)x，
在Rt△EBD中，∵i＝DB∶EB＝1∶1，∴BD＝BE，∴CD＋BC＝AE＋AB，
即2＋x＝4＋eq \f(5,6)x，解得x＝12，
即BC＝12，
答∶水坝原来的高度为12米．
21. 解：不会穿越保护区．理由如下：
如解图，过点P作PD⊥AC于点D，设BD＝x，
∵在Rt△BDP中，∠PBD＝90°－30°＝60°，
∴PD＝BD·tan∠PBD＝eq \r(3)BD＝eq \r(3)x，
∵在Rt△ADP中，∠PAD＝90°－60°＝30°，
∴AD＝eq \f(PD,tan∠PAD)＝eq \r(3)PD＝3x，
∵AB＝AD－BD＝120，
∴3x－x＝120，解得x＝60，
∴PD＝60eq \r(3)≈103.8＞100，
∴计划修建的这条高速铁路不会穿越保护区．
第21题解图
22. 解：(1)在Rt△ABD中，∵BD＝DC＝9，AD＝6，
∴AB＝eq \r(BD2＋AD2)＝eq \r(92＋62)＝3eq \r(13)，
∴sinB＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(6,3\r(13))＝eq \f(2\r(13),13).
(2)∵EF∥AD，BE＝2AE，
∴eq \f(EF,AD)＝eq \f(BF,BD)＝eq \f(BE,BA)＝eq \f(2,3)，
∴eq \f(EF,6)＝eq \f(BF,9)＝eq \f(2,3)，
∴EF＝4，BF＝6，
∴DF＝3，
在Rt△DEF中，DE＝eq \r(EF2＋DF2)＝eq \r(42＋32)＝5.
23. 解：(1)∵∠ACB＝30°，∠ECD＝60°，
∴∠ACE＝90°，
∵AF∥BD，
∴∠ACB＝∠FAC＝30°，
∴∠EAC＝60°，
在Rt△ABC中，AB＝2, ∠ACB＝30°，
∴AC＝4，
在Rt△ACE中，
∵AC＝4，∠EAC＝60°，
∴AE＝8；
∵在Rt△AEF中，∠EAF＝30°，AE＝8，
∴EF＝4，
∴DE＝EF＋DF＝4＋2＝6.
即树DE的高为6米；
(2)如解图，延长NM交DB延长线于点G，
在Rt△ABC中，
AB＝2，∠ACB＝30°，
∴BC＝2eq \r(3)，
在Rt△ECD中，
DE＝6，∠ECD＝60°，
∴CD＝eq \f(DE,tan60°)＝2eq \r(3)，
∵∠NDB＝45°，
∴NG＝GD＝AM＋BC＋CD＝3＋2eq \r(3)＋2eq \r(3)＝3＋4eq \r(3)，
∴MN＝NG－MG＝3＋4eq \r(3)－2＝4eq \r(3)＋1.
第23题解图