数学人教版16.3 二次根式的加减导学案

这是一份数学人教版16.3 二次根式的加减导学案，共52页。学案主要包含了同类二次根式，求二次根式的值，求二次根式的参数，二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质化简，复合二次根式的化简等内容，欢迎下载使用。
16.3 二次根式的加减（巩固篇）（专项练习）
一、 单选题
知识点一、同类二次根式
1．下列二次根式中，不能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组根式中，不是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．计算的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．1﹣2 D．2﹣1
知识点二、求二次根式的值
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．观察下列运算：，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若，，化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
知识点三、求二次根式的参数
7．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
9．下列运算中错误的是（　　）
A． B． C． D．
知识点四、二次根式有意义的条件
10．如图，数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为点C，设点C表示的数为x，则|x﹣|＋＝（ ）

A． B．2 C．3 D．4
11．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（ ）
A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2
12．已知，，a与b大小关系是（ ）
A． B． C． D．
知识点五、利用二次根式的性质化简
13．已知，，则代数式x3﹣xy2的值为（ ）
A．24 B． C． D．
14．已知x＝+2，则代数式x2﹣x﹣2的值为（　　）
A．9+5 B．9+3 C．5+5 D．5+3
15．已知，，则代数式的值是（ ）
A． B． C．24 D．
知识点六、复合二次根式的化简
16．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
18．已知x+y＝﹣5，xy＝4，则x+y的值是（　　）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
知识点七、利用二次根式的性质化简
19．比较大小错误的是（ ）
A．＜ B．＋2＜﹣1
C．＞﹣6 D．|1－|＞－1
20．已知，，则a与b的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
21．已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
知识点八、复合二次根式的化简
22．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（ ）

A． B． C． D．
23．秦九是我国南宋著名的数学家，他与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中记录了三斜求积术，即三角形的面积，其中，，为三角形的三边长．若一个三角形的三边分别为，用公式计算出它的面积为（ ）
A． B． C． D．
24．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则是（ ）
A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数

二、 填空题
知识点一、同类二次根式
25．李明的作业本上有六道题：① ，② ，③，④ ±2 ，⑤，⑥，请你找出他做对的题是____（填序号）.
26．若最简二次根式与是同类根式，则______．
27．在中与是同类二次根式的有___个．已知，则yx＝___．若的整数部分为x，小数部分为y，则＝___．
知识点二、求二次根式的值
28．观察下列二次根式化简：﹣1，，⋯从中找出规律并计算＝___．
29．计算＝________；
30．已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式x+y的值 _______________．
知识点三、求二次根式的参数
31．我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：a⊗b＝a+b，比如1⊗2＝1+×2＝．若x⊗（4⊗8）＝10，则x的值为______．
32．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn＋bn2＝1，则2a＋b＝________．
33．若实数a、b满足与互为相反数，则的值为_________．
知识点四、二次根式有意义的条件
34．规定，则的值是_________．
35．分母有理化：＝______．
36．若7＋和5﹣的小数部分分别为m，n，则＝________ ．
知识点五、利用二次根式的性质化简
37．已知，则__________．
38．已知x＝﹣1，则x2+2x﹣5＝___．
39．已知，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应y值的总和是__．
知识点六、复合二次根式的化简
40．已知a﹣b＝，b﹣c＝，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为 ___．
41．已知，则______．
42．已知，则=_________．
知识点七、利用二次根式的性质化简
43．比较大小，①___；②____．
44．比较大小_____．
45．比较大小：3_____5．（填“＞”、“＝”或“＜”）
知识点八、复合二次根式的化简
46．如图，已知AB∥CD，AB= ，CD= ， =3， = ，则=______


47．设、、是的三边的长，化简的结果是________．
48．观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算______．
三、解答题
49．先阅读解题过程，再回答后面的问题．
如果、是正整数，且和在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值．
解：∵和可以合并，
∴，即，解得．
∵、是正整数，
∴此题无解．
问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？
（2） 给出正确的解答过程．

50．计算与化简
（1） （2）
（3） （4）



51．计算：
（1）． （2）．
（3）（）×﹣6． （4）﹣3+．



52． 先化简，再求值：，其中．



53．先阅读下列解答过程，再解答．
（1）形如的化简，只要我们找到两个数、，使，，
即，，那么便有：．
例如：化简．
解：只要我们找到两个数、，使，，这里，，
由于，，
即，，
所以．
根据上述例题的方法化简：．
（2）小明在解决问题：已知，，求的值，他是这样分析与解答的：
．
．
，即．．
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
①计算：　　；
②计算：=
③若，求的值



54．阅读下面问题：；；．
（1）根据以上规律推测，化简__________；（n为正整数）__________．
（2）根据你的推测，比较和的大小．



55．设一个三角形的三边长分别为，，，，则有下列面积公式：
（海伦公式），
（秦九韶公式）．
（1）一个三角形的三边长依次为，，，利用两个公式分别求这个三角形的面积；
（2）一个三角形的三边长依次为、，，利用两个公式分别求这个三角形的面积．









参考答案
1．C
【分析】
化成最简二次根式，判断是否是同类二次根式即可.
【详解】
∵，，，，
∴不能与合并的是，
故选C.
【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式即化为最简二次根式后，被开方数相同的根式，熟练掌握定义是解题的关键.
2．C
【分析】
根据题意，将它们化成最简二次根式比较被开方数是否相同，
【详解】
A．和被开方数都是3，故A不符合题意；
B.和被开方数都是2，故B不符合题意；
C.和被开方数不同，故C符合题意；
D.和被开方数都是5，故D不符合题意；
故选C．
【点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
3．A
【分析】
直接利用绝对值的性质分别化简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
【详解】
解：原式
．
故选：．
【点拨】本题主要考查了绝对值的性质，正确去掉绝对值，然后合并同类二次根式是解题关键．
4．D
【分析】
根据二次根式的加减法对A、B进行判断，根据二次根式的性质对C进行判断，根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】
解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项不符合题意；
C．，所以C选项不符合题意；
D．，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．
5．D
【分析】
先将分母有理化，因为分母均为2，然后分子相加，合并同类二次根式即可．
【详解】
解：，
，
，
…..

，
∴，
=+++…++，
=,
=．
故选择D．
【点拨】本题考查二次根式化简，熟练掌握利用平方差公式将分母有理化，二次根式加减法运算法则是解题关键．
6．C
【分析】
先根据二次根式的乘法对式子变形，然后利用化简 ，注意，，最后加减运算即可．
【详解】
解：

，，

故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次根式的化简和加减运算，属于基础题，熟练掌握二次根式的运算法则以及是解题关键．
7．C
【分析】
根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案．
【详解】
解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意；
B、，此选项错误，不符合题意；
C、，此选项正确，符合题意；
D、，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
8．A
【分析】
根据乘法分配律先化简，然后估算即可．
【详解】
解：原式==，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
9．C
【分析】
根据二次根式的乘法法则对A进行判断；利用二次根式的除法对B进行判断；根据二次根式的加减法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】
解：A、原式=，所以A选项的计算正确，不符合题意；
B、原式=，所以B选项的计算正确，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，所以C选项的计算错误，符合题意；
D、，所以D选项的计算正确，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．C
【分析】
根据题意A点表示的数是B，C两点表示的数的平均数，可求出x的值为2﹣，接下来进行实数的简单计算，即可得出结论．
【详解】
解：∵点B关于点A的对称点为点C，
∴AB＝AC．
∴1﹣x＝﹣1，
解得，x＝2﹣，
∴点C表示的数x为2﹣，
∵|x﹣|＝2﹣2，＝2＋，
∴2﹣2＋2＋＝3，
故选：C．
【点拨】本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简等知识点．利用对称的性质求出x的值是解决本题的关键．
11．C
【分析】
先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项．
【详解】
解：分母有理化，可得a=2+，b=2-，
∴a-b=（2+）-（2-）=2，故A选项错误，不符合题意；
a+b=（2+）+（2-）=4，故B选项错误，不符合题意；
ab=（2+）×（2-）=4-3=1，故C选项正确，符合题意；
∵a2=（2+）2=4+4+3=7+4，b2=（2-）2=4-4+3=7-4，
∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
12．D
【分析】
根据分母有理化将进行整理即可求解．
【详解】
解：，
又，
．
故选：D．
【点拨】此题主要考查分母有理化的应用，正确掌握分母有理化是解题关键．
13．D
【分析】
先将x3﹣xy2因式分解为，再计算出，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：x3﹣xy2＝
＝，
，，
，，


．
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解和二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．
14．D
【分析】
把已知条件变形得到x-2=，两边平方得到x2=4x+1，利用降次的方法得到原式=3x-1，然后把 x 的值代入计算即可．
【详解】
∵x＝+2，
∴x﹣2＝，
∴（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，
∴x2＝4x+1，
∴x2﹣x﹣2＝4x+1﹣x﹣2＝3x﹣1，
当x＝+2时，原式＝3（+2）﹣1＝3+5．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，运用整体代入的方法可简化计算．
15．A
【分析】
将变形为，已知a、b的值，分别计算出a+b、ab的值，整体代入求值即可．
【详解】
a+b=6，
ab=()()=4，

=
=，
=
=．
故选：A．
【点拨】本题主要考查二次根式的化简求值，本题关键在于利用完全平方公式以及平方差公式简化运算．
16．B
【分析】
由，得，故，将平方展开计算，后开平方即可．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴=-或=，
∵，
∴＜0，
∴= -，=不符合题意，舍去，
故选B．
【点拨】本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，倒数的意义，平方根，熟练进行大小比较，灵活运用公式计算是解题的关键．
17．D
【分析】
将代入代数式，然后根据二次根式混合运算法则进行化简计算．
【详解】
解：当时，

，

．
故选：D．
【点拨】本题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．
18．B
【分析】
先把二次根式进行化简，然后把xy＝4，代入计算，即可求出答案．
【详解】
解：∵x+y＝﹣5＜0，xy＝4＞0，
∴x＜0，y＜0，
∴原式＝
＝
＝﹣2，
∵xy＝4，
∴原式＝﹣2＝﹣2×2＝﹣4；
故选：B．
【点拨】本题考查了二次根式的性质，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．
19．D
【分析】
利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．
【详解】
A、由于5