2022届重庆市实验中学高三上学期开学考试数学试题含解析

这是一份2022届重庆市实验中学高三上学期开学考试数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数为纯虚数，则（ ）
A. B. 1C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的乘法运算化简复数，再根据纯虚数的定义即可求解.
【详解】解：为纯虚数，则.
故选：C．
2. 若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用赋值法求解，令可求得答案
【详解】令，则
，
令，则
，
故选：D
3. 若函数的定义域为R，则实数m取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由定义域得出恒成立，讨论，两种情况，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可得出实数m取值范围.
【详解】解：的定义域为R
∴恒成立
当m＝0时，不等式2＞0恒成立
当m≠0时，则满足，得，得0＜m＜8
综上0≤m＜8
故选：A
【点睛】本题主要考查了由定义域求参数的范围，属于中档题.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
5. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
当时，逐步分析到，显然此时，观察图像即可选出答案.
【详解】当时，，所以，即
所以，所以
所以当时，，可排除ABC
故选：D
【点睛】本题考查由函数解析式选函数图象，属于中档题.
6. 二项式的展开式中常数项是（ ）
A. B. 160C. D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】写出展开式通项公式，求得常数项的项数，然后计算可得．
【详解】由题意展开式通项公式为，
令，，所以常数项为．
故选：A．
7. 已知，，，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小．
【详解】对于的大小：，，明显；
对于的大小：构造函数，则，
当时，上单调递增，
当时，在上单调递减，
即
对于的大小：，，，
故选B．
【点睛】将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目．
8. 已知函数（为自然对数的底数），关于的方程恰有四个不同的实数根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令，由，可得，利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，由图象可知，方程有两根、，且满足，，设，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】令，由，可得，
函数的定义域为，.
当时，，由可得，由可得.
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
；
当时，，此时函数单调递增，且，
作出函数的图象如下图所示：
由于关于的方程恰有四个不同的实数根，
则关于的二次方程恰有两个不同的实根、，
且直线与函数的图象有三个交点，直线与函数的图象有且只有一个交点，所以，，，
设，由二次函数的零点分布可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：
（1）二次项系数的符号；
（2）判别式；
（3）对称轴的位置；
（4）区间端点函数值的符号.
结合图象得出关于参数的不等式组求解.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量，线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为，若样本中心点为，则
B. 已知随机变量的数学期望，若，则
C. 用相关指数来刻画回归的效果，的值越接近，说明模型的拟合效果越好
D. 已知袋中装有大小完全相同的个红球和个黑球，若有放回地从中摸球，用事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“第二次摸到黑球”，则事件与事件是相互独立事件
【答案】ABD
【解析】
【分析】把中心坐标代入回归方程求得参数判断A，根据数据线性变换后均值的关系计算判断B，由相关指数的定义判断C，由独立事件的定义判断D．
【详解】A．由得，A正确；
B．由得，B正确；
C．用相关指数来刻画回归的效果，的值越接近1，说明模型的拟合效果越好，C错；
D．有放回地摸球，第一次与第二次摸球，摸出什么球，没有任何影响，它们是独立的．D正确．
故选：ABD．
10. 有本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A. 分给甲､乙､丙三人，每人各本，有种分法；
B. 分给甲､乙､丙三人中，一人本，另两人各本，有种分法；
C. 分给甲乙每人各本，分给丙丁每人各本，有种分法；
D. 分给甲乙丙丁四人，有两人各本，另两人各本，有种分法；
【答案】BD
【解析】
【分析】根据排列组合中的分组分配、平均分组和部分平均分组的方法依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于A，本不同的书分给甲､乙､丙三人，每人各本，共有种分法，A错误；
对于B，本不同的书分给甲､乙､丙三人，一人本，另两人各本，共有种分法，B正确；
对于C，本不同的书分给甲乙每人各本，丙丁每人各本，共有种分法，C错误；
对于D，本不同的书，分给甲乙丙丁四人，有两人各本，另两人各本，共有种分法，D正确；
故选：BD.
11. 已知函数对任意都有，若的图象关于点（1，0）对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）．
A. 是偶函数B. 的周期T=2
C. 在上有7个零点D. 在单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】由的图象关于关于点（1，0）对称，可得，可判断A；
由，令可得，可判断B；
由，，可判断D；
结合函数单调性，奇偶性可得，有且只有两个零点，分析即可判断C
【详解】由的图象关于关于点（1，0）对称，则，
即，故是奇函数，A错误；
由，令，可得，则，则的周期，B正确；
由于的周期，故，在不单调，D错误；
对任意的，，且，都有，即函数在单调递增，由于是奇函数且，故在单调递增
在中，令可得
故有且只有两个零点
由于的周期，在上有共7个零点，C正确
故选：BC
12. 已知函数的图象关于直线对称，函数对于任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据已知条件，易得函数偶函数，再结合，
构造函数，只需判断函数的单调性，即可做出正确选择.
【详解】由，得，
令，，则，
因，则，
故在区间上单调递增，
因函数的图象关于直线对称，知函数偶函数，
故函数也为偶函数.
对于选项A，因，则 ，
故，因此A正确；
对于选项B，因，则，
故，因此B错；
对于选项C，因，则 ，
故，因此C错；
对于选项D，因，则 ，
故，因此D正确.
故选：AD.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．
13. 已知函数，则___________·
【答案】
【解析】
【分析】利用解析式求解即可.
【详解】，
故答案为：
14. 已知，且，则的值是_________.
【答案】
【解析】
【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.
【详解】，因为，所以，所以，所以，所以.
故答案为：.
15. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______.
【答案】420
【解析】
【分析】分成号区间用种颜色和种颜色两种情况，分别计算涂色方案种数，再根据加法原理求得结果.
【详解】将区域标注数字序号如下图：
当号区间共用种颜色，即同色且与异色时
共有涂色方法：种
当共用种颜色时，共有涂色方法：种
则不同的涂色方案总数为：种
本题正确结果：
【点睛】本题考查排列组合问题中的涂色问题，解决涂色问题的关键是能够找到“中轴线”，根据“中轴线”的颜色数量确定剩余区域的可选颜色数量；也可以根据对称区间同异色来进行讨论.
16. 函数在单调递减，则的范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
分析出内层函数在区间上的减函数，且，可得出关于实数的不等式组，进而可解得实数的取值范围.
【详解】令，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线.
由于函数在区间上为减函数，
外层函数为增函数，则内层函数在区间上为减函数，
所以，，且有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键点在于以下两点：
（1）利用复合函数的单调性“同增异减”分析出内层函数和外层函数的单调性；
（2）不要忽略了真数要恒大于零.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【详解】试题分析：（1）本题考察的是求三角函数的值，本题中只需利用两角和的正切公式，再把代入到展开后的式子中，即可求出所求答案．
（2）本题考察的三角函数的化简求值，本题中需要利用齐次式来解，先通过二倍角公式进行展开，然后分式上下同除以，得到关于的式子，代入，即可得到答案．
试题解析：（Ⅰ）
（Ⅱ）原式
．
考点：（1）两角和的正切公式（2）齐次式的应用
18. 巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行．某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关，从全校学生中随机抽取名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表：
已知在这名同学中随机抽取人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是．
（1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关？
（2）若从这名同学中的男同学中随机抽取人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”人数为，求的分布列和均值．
附：参考公式：，．
【答案】（1）填表见解析；没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；（2）分布列见解析；均值为．
【解析】
【分析】
（1）根据抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率完善列联表，再计算观测值，利用独立性检验的思想即可得出结果.
（2）可能取值为、、，利用超几何分布的概率计算公式得出分布列，进而利用均值的计算公式即可求解.
【详解】（1）设“通过电视收看世界杯”的女生为人，
则，解得，
由已知数据得：，
∴没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；
（2）可能取值为、、，
则：，
，
，
∴的分布列为：
的均值为：．
19. 已知函数．
当时，求的单调增区间；
若在上是增函数，求得取值范围．
【答案】(1) .(2) .
【解析】
【分析】（1）求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；
（2）已知在区间（0，1）上是增函数，即在区间（0，1）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．
【详解】（1）当时，，
所以，
由得，或，
故所求的单调递增区间为.
（2）由，∵在上是增函数，
所以在上恒成立，即恒成立，
∵（当且仅当时取等号），
所以，即.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和对勾函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
20. 已知，且，．
（1）求值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数和二倍角公式可求得，，根据，利用两角和差正弦公式可求得结果；
（2）根据同角三角函数可求得，由，结合两角和差余弦公式和的范围可求得结果.
【详解】（1），，，
，
，
；
（2），，，
；
，，.
21. 某电器企业统计了近年的年利润额（千万元）与投入的年广告费用（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令，，得到相关数据如表所示：
（1）从①；②；③三个函数中选择一个作为年广告费用和年利润额回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；
（2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程；
（3）预计要使年利润额突破亿，下一年应至少投入多少广告费用？结果保留到万元
参考数据：
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
【答案】（1）选择回归类型更好；（2）；（3）下一年应至少投入万元广告费用．
【解析】
【分析】（1）根据散点图形状可确定回归类型；
（2）对两边取对数，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程；
（3）令可解出的范围，进而确定结果.
【详解】（1）由散点图知，年广告费用和年利润额的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，
所以选择回归类型更好．
（1）对两边取对数，得：，即，
由表中数据得：，，，
年广告费用和年利润额的回归方程为．
（3）由（2）知：，
令得：，解得：，
，（十万元），十万元万元
下一年应至少投入万元广告费用．
22. 已知函数，其中.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1) 答案见解析 (2)
【解析】
【分析】(1)求出，分，和以及对应根的大小进行讨论得出单调区间.
(2)求出，分情况讨论出的单调性，结合隐零点和零点存在原理得出答案.
【详解】（1），()
①当时，，在单调递减，在单调递增.
②当时，，，在单调递减，在单调递增.
③当时，，，
i），即时在单调递减，在单调递增，在单调递减.
ii），即时，在单调递减.
iii），即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减
综上：①当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.
②当时，在单调递减.
③当时，在单调递减，在单调递增，在单调递
④当时，在单调递减，在单调递增.
（2），，
令，
①当，即时，单调递减.，在上没有零点，舍
②当，即时，，对称轴，
，，使得
当时，在单调递减
当时，在单调递增.
存在唯一的，使得.
综上，.
男生
女生
合计
收看
不收看
合计
男生
女生
合计
收看
不收看
合计
15
15