2024扬州中学高三上学期开学考试数学试题含解析

2023~2024学年度第一学期开学检测高三数学

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式得到，求出交集.

【详解】，或，

故.

故选：A

2. 若x>0，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式求解即可.

【详解】因为x>0，所以，当且仅当，即，取等号，故A，B，C错误.

故选：D.

3. 函数f（x）=lnx-的零点所在的大致区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数解析式，求得，结合零点的存在定理，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，函数，可得，，

可得，所以函数的零点所在的大致区间是．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了零点的存在定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

4. 若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意恒成立，参变分离可得恒成立，结合正弦函数的性质计算可得.

【详解】函数定义域为，且，

依题意恒成立，恒成立，即恒成立，

又，所以，即实数的取值范围是.

故选：A

5. 函数在的图象大致为（    ）

A.      B.    C.      D.    

【答案】D

【解析】

【分析】根据奇偶函数的对称性排除A，再根据对应的函数值符号排除BC即可求解.

【详解】， ，定义域关于原点对称，

，

是奇函数，排除A；

当时，，排除C；

当时，中，故，排除B.

故选：D

6. 若，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知不等式变形可得，构造函数，其中，分析函数在上的单调性，可得出，结合函数的单调性可得出，再结合对数函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】因为，

令，其中，

因为函数、在上均为增函数，

所以，函数在上为增函数，

因为，即，故，则，

所以，，则，A错B对；

无法确定与的大小，故与的大小无法确定，CD都错.

故选：B.

7. 已知函数的定义城为R，且满足，，且当时，，则（    ）

A.  B.  C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】根据题目条件得到，故的一个周期为8，从而得到，计算出，得到答案.

【详解】因为，所以，即，

又，故，即①，

用代替得②，

由①②得，故的一个周期为8，

故，

又得，

时，，故，

故.

故选：A

8. 若可导函数是定义在R上的奇函数，当时，有，则不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】令，，又导函数得到在上单调递减，结合是定义在R上奇函数得到与0的大小，从而解不等式.

【详解】令，，

则，

当时，，

故在上单调递减，

则当时，，

因为可导函数是定义在R上的奇函数，故，

当时，

所以，解得，

又，故不等式的解集为.

故选：B

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9. 下面命题正确的是（    ）

A. “”是“”的充要条件

B. “”是“”的充分不必要条件

C. “”是“”的必要不充分条件

D. “且”是“”的必要不充分条件

【答案】BC

【解析】

【分析】A选项，可举出反例，得到充分性不成立；B选项，证明出充分性成立，举出例子得到必要性不成立，B正确；C选项，举出反例得到充分性不成立，再证明出必要性成立；D选项，证明出充分性成立，D错误.

【详解】A选项，设，满足，但无意义，故充分性不成立，A错误；

B选项，当时，，充分性成立，

当时，满足，但不满足，必要性不成立，

故“”是“”的充分不必要条件，B正确；

C选项，当且时，此时，故充分性不成立，

当时，解得且，故必要性成立，

故“”是“”的必要不充分条件，C正确；

D选项，且时，，充分性成立，D错误.

故选：BC

10. 下列命题中正确的是（    ）

A. 的最小值是2

B. 当时，的最小值是3

C. 当时，的最大值是5

D. 若正数满足，则的最小值为3

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，①，

但是无解，所以①等号不成立，所以A选项错误.

B选项，当时，，

，

当且仅当时等号成立，所以B选项正确.

C选项，当时，，

所以，

当且仅当时等号成立，所以C选项正确.

D选项，是正数，

，

当且仅当时等号成立，所以D选项正确.

故选：BCD

11. 已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（    ）

A. 当，有1个零点 B. 当时，有3个零点

C. 当，有2个零点 D. 当时，有7个零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】将函数的零点个数问题转化为解的个数问题，设，即有，然后结合每个选项中t的范围作出函数图象，数形结合，即可求解相应方程的解，进而确定函数零点个数.

【详解】令，则，设，则等价于，

则函数的零点个数问题即为解的个数问题；

二次函数，其图象开口向上，过点，对称轴为，

对于A，当时，作出函数的图象如图：

由图象可知有一个根，

则由可知此时方程只有一个解，

此时函数的零点个数为1，A正确；

对于B，当时，，

作出函数的图象如图：

由图象可知有一个根，

令，令，

则有3个解，即和，

此时此时函数有3个零点，B正确；

对于C，当时，分析同A，函数有1个零点，C错误；

对于D，当时，，

作出函数的图象如图：

由图象可知有3个根，

当时，；

当时，，

则对于，

当时，，当时，，此时共有3个解；

对于，此时有1个解，

即有2个解，

对于，此时有1个解，

即无解，

故此时函数有7个零点，D正确；

故选：ABD

【点睛】方法点睛：本题是关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.

12. 已知函数及其导函数满足，且，则下列说法正确的是（    ）

A. 在上有极小值 B. 的最小值为

C. 在上单调递增 D. 的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据导数的运算法则结合求得函数的表达式，同时求得，然后利用导数确定，的单调性和最值．

【详解】因为函数及其导函数满足，

则，即，令（为常数），

所以，，因为，可得，所以，，，

，时，，递减，时，，递增，

对于A选项，易得时达到极小值；A对

对于B选项，，B错；

，

对于C选项，当时，，所以上单调递增，C对；

对于D选项，，令，可得，

当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，

所以，，D对.

故选：ACD．

【点睛】难点点睛：对于已知等式中含有，的式子，难点在于构造新函数，已知条件转化为新函数的导数的关系式，从而得出新函数的性质．常见的新函数有，，，，，．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 函数，则定义域是________．

【答案】

【解析】

【分析】根据解析式列出不等式组求解即可.

【详解】由可得，

，解得，

所以函数的定义域为.

故答案为： .

14. 已知关于的不等式的解集为，则_______________.

【答案】16

【解析】

【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程根与系数的关系计算作答.

【详解】因关于x的不等式的解集为，则是方程的二根，

则有，解得，所以.

故答案为：16.

15. 若曲线过点的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是______.

【答案】或

【解析】

【分析】设切点，然后利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程化简，得到关于的二次方程，则此方程有两个不相等的实根，从而由可求得答案.

【详解】，设切点，则切线的斜率为，

故切线方程为，

取，代入，得，

∵，∴有两个不等实根，

故，解之，得或，

故答案为：或

16. 已知函数，当，对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为_________.

【答案】12

【解析】

【分析】不妨设，由函数的单调性化简不等式为，引入函数，问题转化为恒成立，由此只要用导数确定的单调性，再由分离参数法转化为求函数的最值，得出结论．

【详解】因为，函数在上单调递增，不妨设，

则，可化为，

设，则，

所以为上的减函数，即在上恒成立，

等价于在上恒成立，设，所以，

因，所以，所以函数在上是增函数，

所以（当且仅当时等号成立）.

所以.

故答案为：12.

【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题中含有两个自变量以及其它参数，解题方法有两种，

（1）不妨设，转化不等式后利用函数的单调性把问题转化为新函数的单调性：如，再解决新函数的单调性得出参数范围；

（2）不妨设，然后引入参数（，已知关系转化为关于的关系式，从而利用换元法变为关于的关系式（降元，即二元变一元），再由新函数的性质求得参数范围．

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 计算：

（1）；

（2）．

【答案】（1）7    （2）

【解析】

【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解即可，

（2）利用对数的运算性质求解即可

【小问1详解】

.

【小问2详解】

.

18. 已知函数是定义域为R的偶函数.

（1）求实数的值；

（2）若对任意，都有成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1）2    （2）

【解析】

分析】（1）由偶函数定义求得参数值；

（2）由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得范围．

【小问1详解】

由偶函数定义知：，

即，

∴对成立，.

【小问2详解】

由（1）得：；

∵，∴，当且仅当即时等号成立，

∴，

∴，即，解得：或 ，

综上，实数的取值范围为.

19. 已知集合，，命题，命题.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据元素和集合的关系列式可求出结果；

（2）根据且是的真子集列式，解不等式组可得结果.

【小问1详解】

，且，

∴，解得.

即实数的取值范围是.

【小问2详解】

，得或，

由，得，，

是的充分不必要条件，∴是的真子集，

所以（等号不能同时取得），解得，

又或，所以.

实数的取值范围是.

20. 已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：对任意的.

【答案】（1）在上单调递减，上单调递增   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）首先求函数的导数，再根据导数和单调性的关系，即可求解；

（2）不等式转化为证明，再构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证明不等式.

【小问1详解】

由题可知函数的定义域为

令得或（舍去）

所以，在上单调递减，上单调递增.

小问2详解】

，

要证明，只用证明，

令，

设，，即单调递增，

，，

可得函数有唯一的零点且，满足，   

当变化时，与的变化情况如下，

所以，

因为，因为，所以不取等号，

即，即恒成立，

所以，恒成立，

所以，对成立.

21. 已知函数．

（1）若在上存在单调减区间，求实数的取值范围；

（2）若在区间上有极小值，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，利用在上有解，分离参数求解作答.

（2）由（1）的信息，分析函数的极值情况，再建立不等式求解作答.

【小问1详解】

函数，求导得，

因为函数在上存在单调减区间，则不等式在上有解，

即在上成立，而函数在上递减，显然，于是，

所以实数的取值范围是.

【小问2详解】

由（1）知，，即，解得，

当或时，，当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在处取得极小值，

于是，即，当时，不等式成立，当时，解得，则，

所以实数的取值范围是.

22. 已知函数．

（1）若，求的最小值；

（2）若方程有解，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）时，设，利用导数判断出的单调性可得答案；

（2）即有解，构造函数设，利用导数判断出的单调性，可得方程有解转化为在上有解，再构造函数，利用导数求出值域可得答案．

【小问1详解】

当时，，

，

设，则，

在上单调递增，且，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以；

【小问2详解】

即，

即，

设，则，

，设，则，

所以时，，单调递减，

时，，单调递增，

所以，即，在上单调递增，

所以方程有解即在上有解，

有解，即有解，

设，则，

时，，单调递增，

时，，单调递减，所以，

当时，，

所以，即实数a的取值范围是．