2023届重庆市育才中学校高三上学期期中数学试题含解析

2023届重庆市育才中学校高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．复数在复平面内所对应的点位于（     ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据复数除法运算法则化简复数，得到对应点的坐标，从而确定象限.

【详解】

对应的点的坐标为，位于第三象限

本题正确选项：

【点睛】本题考查复数的除法运算和几何意义，属于基础题.

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再利用交集运算求解.

【详解】因为，，

所以，

故选：D.

3．若，则“”是“”的（    ）条件.

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】C

【分析】利用余弦函数的单调性直接判断即可.

【详解】因为在上单调递减，所以，

故“”是“”的充要条件，

故选：C.

4．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（    ）

A．3斤 B．6斤 C．9斤 D．12斤

【答案】C

【解析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求.

【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为，粗的一端的重量为，可知，，

根据等差数列的性质可知，

中间三尺为.

故选：C

【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型.

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性，可排除B，根据，，故排除C，由，，故排除D，即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，

且，所以为奇函数，故排除B；

当，，故排除C，

当，，故排除D.

故选：A.

6．已知，设，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用对数的运算性质比较可知，又，则可比较三个数的大小，又在上单调递减，根据单调性可得到大小关系.

【详解】解： 因为，，且，又，所以有，

又在上单调递减，所以.

故选：A

7．“数字黑洞”指从0~9共10个数字中任取几个数构成一个无重复数字的数字串，如01234，数出它的偶数个数、奇数个数及所有数字的个数，就可得到3（3个偶数）、2（2个奇数）、5（总共5个数字），用这3个数组成下一个数字串325（第一步）；对325重复上述程序，得到数字串123（第二步）；对123重复上述程序，仍得到数字串123（第三步）…，则数字串01234从第二步便进入了“黑洞”.现任取4个数字的数字串，则第二步便进入“黑洞”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意可知任取4个数字的数字串，其中偶数个数、奇数个数及数字个数的分类有：0，4，4；1，3，4；2，2，4；3，1，4；4，0，4，然后根据题意可分两步得到数字串，从而可求出第二步便进入“黑洞”的概率

【详解】由题任取4个数字的数字串，其中偶数个数、奇数个数及数字个数的分类有：0，4，4；1，3，4；2，2，4；3，1，4；4，0，4．

则第一步得到数字串依次为044，134，224，314，404；第二步得到的数字串依次为303，123，303，123，303．

故第二步便进入“黑洞”的概率为，

故选：C．

8．已知函数，则方程的实根的个数为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【分析】由可得，而由，可得，或，或，或，然后分别解这四个方程，可得答案

【详解】解：当时，令，则，解得或，

当时，令，则，解得或，

因为，

所以，或，或，或，

由，得，此时，方程无解；

由，得，此时，所以方程有两个不相等的实根，分别或；

由，得，此时，所以方程有两个不相等的实根，即为，

由，得，此时，所以方程有两个不相等的实根，即为，

所以方程的实根的个数为6，

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，解题的关键是由可得，从而可得，或，或，或，然后解方程可得答案，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1

B．对具有线性相关关系的变量x､y，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是

C．已知样本数据的方差为4，则的标准差是4

D．已知随机变量，若，则

【答案】ABC

【分析】根据线性相关性判断A，由中心点坐标求出回归方程系数判断B，根据线性变换后随机变量间方差关系求得新方差后得标准差判断C，利用正态分布的对称性求得相应概率后判断D．

【详解】两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；

B中，，由得，B正确；

样本数据的方差为4，则数捍的方差为，标准差为4，C正确；

随机变量，若，则，则，D错．

故选：ABC．

10．下列说法正确的是（    ）

A．若，，，则的最大值为4

B．若函数最大值为．

C．若，，，则的最小值为1

D．函数的最小值为4

【答案】BD

【分析】根据基本不等式，逐一判断选项.

【详解】A.，，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为4，故A错误；

B.当时，，，

当，即时，等号成立，即函数大值为，故B正确；

C. ，，，则，

设，，

解得：，即，即，则的最大值为1，故C错误；

D．函数，当且仅当，即时取等号，故D正确，

故选：BD

11．在中，分别是的中点，是所在平面上任意一点，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ACD

【分析】ABC选项利用中点公式求解判断；D选项结合中点公式，利用数量积运算求解判断.

【详解】，故A正确；

 因为，

所以，

若P为点A时，易知，则，故B错误，C正确，

因为，

，故D正确，

故选：ACD

12．已知函数，则下列命题正确的是（    ）

A．若方程有两个不同的解，则

B．若与的图象有且仅有一个公共点，则或

C．对任意，都有恒成立

D．

【答案】BCD

【分析】求出的单调性，画出其图像，可判断AB，利用可判断C，利用可判断D.

【详解】，故在递增，递减，其图像如下：

易得若有两个不同解，则，则，故A错误，

当时，与显然有且仅有1个交点，

当时，则与相切时，有且仅有1个交点，

设切点为，切线方程为，

将原点代入：则，，

故或，则B正确；

∵恒成立，在上单调递减，

∴，故C正确；

，

即比较与大小，又因为，在递减，故，D正确，

故选：BCD.

三、填空题

13．二项式的展开式中常数项为_________．

【答案】24

【详解】试题分析：二项式展开式的通项公式为．令，得，所以二项式的展开式中常数项为．

【解析】二项式定理．

14．为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校恰好要安排2名大学生，则不同的安排方法共有__________（用数字表示结果）.

【答案】60

【分析】甲校恰好2人，剩余3名分成2组，一组1人，一组2人，运用先分组再分配即可解决.

【详解】由题知，甲校恰好要安排2名大学生，

所以剩余3名大学生分成2组，一组1人，一组2人，然后再进行安排，

所以有种，

故答案为：60

15．已知定义在上的函数满足，且为奇函数，当时，，则___________.

【答案】

【分析】由和为奇函数，可得函数的周期为8，然后利用周期化简计算即可

【详解】因为定义在上的函数满足，且为奇函数，

所以，且，

所以，

令，则，

所以，所以，

所以函数的周期为8，

所以.

故答案为：

四、双空题

16．为了给市民提供健身场所，某市因地制宜计划在-一个圆形的区域内修建一个如图所示的内接四边形健身步道，其中A，B，C，D为休息点，AC，BD为便捷通道，现已知，，则的最小值为___________；若，则的最小值为___________.

【答案】          4

【分析】设，，则，在中利用余弦定理结合基本不等式可求得，当时，可得为该四边形外接圆的直径，然后利用正弦定理可求得答案

【详解】设，，则，在中，

（当且仅当时取等），，

四边形内接于圆，且，则，

则为该四边形外接圆的直径，

由，所以.

故答案为：，4

五、解答题

17．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的值域.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由图象可得，，则可得，再将点代入解析式中可求出的值，从而可求得函数的解析式；

（2）先利用三角函数图象变换规律求出，再由，得，然后再利用正弦函数的性质可求得值域

【详解】解：（1）由最大值可确定，因为，所以，

此时，代入最高点，可得：，

从而，结合，于是当时，，

所以.

（2）由题意，，

当时，，则有，即，

所以在区间上的值域为.

18．已知数列的前项和为，若.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据所给条件先求出首项，然后仿写，作差即可得到的通项公式；(2) 根据（1）求出的通项公式，观察是由一个等差数列加上一个等比数列得到，要求其前项和，采用分组求和法结合公式法可求出前项和．

【详解】（1）当时，，解得；

当时，，∴，化简得，

∴是首项为1，公比为2的等比数列，∴，

因此的通项公式为.

（2）由（1）得，∴，

∴

，

∴

19．伴随着2022年北京冬奥会成功举办，这也是中国历史上第一次举办冬季奥运会，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，引领着相关户外用品行业市场增长.下面是2013年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况：

(1)求2020年中国雪场滑雪人次相较于2013年的增长率（百分号前保留2位小数）；

(2)根据市场调查表明，8年期间每年雪场滑雪人次与该年冰雪市场的销售总额有如下关系：

【答案】(1)44.67%

(2)（亿元）；

【分析】（1）先根据统计图求出2020年滑雪人次，然后可求出2020年中国雪场滑雪人次相较于2013年的增长率，

（2）由题意可得，4.8，5.2，6，再根据统计图求对应的概率，从而可求出的数学期望及方差

【详解】（1）2020年滑雪人次为（万人次）.

则2020年中国雪场滑雪人次相较于2013年的增长率为.

故2020年雪场滑雪人次相较于2013年的增长率经约为44.67%.

（2），4.8，5.2，6.

则的分布列为：

则（亿元）.

则.

20．在中，角，，的对边分别是，，，且已知的外接圆半径为，已知________，在以面下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：

①，②，③．

问题：（1）求角的大小；

（2）若，求的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）若选①，运用正弦定理边化角，再将B+C转化为A，最后用两角和差公式展开即可求得；

若选②，运用正弦定理边化角，再将C转化为A+B，最后用两角和差公式展开即可求得；

若选③，运用正弦定理边化角，再将A转化为B+C，用两角和差公式展开，化简后再结合辅助角公式即可求得；

（2）由（1）可以算出，用正弦定理求出b，再用余弦定理，结合基本不等式即可求得.

【详解】解：（1）选条件①：

由题知，

∴，

∴，

∴，又，则，

∴，又，∴．

选条件②：

由题知，

∴，又，

∴，

∴，又，则，

∴，又，∴．

选条件③：

由题知，

∴，

∴，又，则，

∴，

∴，又，

∴，∴．

（2）由正弦定理知，∴，

又，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴（当且仅当时取等号），

∴的最大值为．

21．已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；

（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.

【详解】（1）当时，，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以；

（2），则，

当时，，所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，此时函数无零点，不合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；

又，

由（1）得，即，所以，

当时，，

则存在，使得，

所以仅在有唯一零点，符合题意；

当时，，所以单调递增，又，

所以有唯一零点，符合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；此时，

由（1）得当时，，，所以，

此时

存在，使得，

所以在有一个零点，在无零点，

所以有唯一零点，符合题意；

综上，a的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.

22．已知函数，.

（1）若，求的取值范围；

（2）求证：存在唯一极大值点，且知；

（3）求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【分析】（1）将，转化为恒成立，利用导数法求解；

（2）求导，再令，再利用导数法结合零点存在定理证明；

（3）由（1）知，得到，由（2）知，易得，再令，利用导数法证明即可.

【详解】（1）由，可得恒成立，

令，

则，

当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递减，

所以，

所以，

故的取值范围是.

（2）证明：由，则，

再令，

因为在上恒成立，

所以在上单调递减，

因为当时，，，

于是存在，使得，即，①

并且当时，，则在上单调递增，

当时，，则在上单调递减，

于是存在唯一极大值点，且.

（3）证明：由（1）知，当时，，

又，所以，

于是当时，，

由（2）并结合①得：

易知在时单调递减，

所以，

设，其中，

因为在时恒成立，

所以在时单调递增，于是，

从而有，

所以原不等式成立.