2022届吉林省实验中学高三上学期开学测试数学（文）试题含解析

这是一份2022届吉林省实验中学高三上学期开学测试数学（文）试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届吉林省实验中学高三上学期开学测试数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用交集的定义求解即可【详解】，故选：B2．在复平面内，复数对应的点位于A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【答案】D【解析】根据复数的乘法运算，化简得复数，即可得到答案．【详解】由题意，复数，所以复数对应的点位于第一象限，故选D．【点睛】本题主要考查了复数乘法运算，以及复数的表示，其中熟记复数的乘法运算，准确化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．函数的定义域为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据被开方数是非负数，以及分母不为零，即可容易求得结果.【详解】由，解得x≥且x≠2．∴函数的定义域为．故选：.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，属简单题.4．已知平面向量，满足，，与的夹角为60°，则（       ）A． B． C．5 D．3【答案】D【分析】根据数量积的定义即可求解.【详解】.故选：D.5．已知，，，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数性质与0或1比较后可得【详解】由指数函数性质，，，所以．故选：D．6．下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由函数定义域，排除A；再由函数奇偶性排除D，最后根据函数单调性，即可得出B正确，C错误.【详解】A选项，的定义域为，故A不满足题意；D选项，余弦函数是偶函数，故D不满足题意；B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用，熟记三角函数的奇偶性与单调性即可，属于基础题型.7．若直线平分圆，则的值为（       ）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】A【分析】将圆转化为标准形式，依据题意可知直线过圆心，代点计算即可.【详解】圆，即，圆心坐标为由题可知：直线过圆心，所以故选：A8．化简式子的值是　　A． B． C． D．【答案】A【分析】逆用两角差的余弦公式后可得结果．【详解】由题意得．故选A．【点睛】本题考查两角差的余弦公式的逆用，解题时要注意对给出的式子进行分析、判断，特别是要注意式子的特征、角是否统一等，运用公式时容易忽视符号而出现错误．9．已知函数，则方程的解是A．或 2 B．或3C．或 4 D．或 4【答案】C【分析】根据函数解析式，分别求解，即可得出结果.【详解】当时，由，解得或（舍去）；当时，由，解得．故选C【点睛】本题主要考查由分段函数的值求自变量的问题，分类讨论即可，属于基础题型.10．已知函数下列结论错误的是A．函数的最小正周期为B．函数是偶函数C．函数的图象关于直线对称D．函数在区间上是增函数【答案】C【详解】试题分析：原函数利用诱导公式化简为：，此函数为最小正周期为的偶函数，所以A,B正确，函数的对称轴由：得到：，显然，无论取任何整数，，所以C错误，答案为C.【解析】1.诱导公式；2.三角函数的性质.11．若底面直径和高相等的圆柱的侧面积是，则这个圆柱的体积是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出圆柱底面圆半径r并表示出其高，借助圆柱侧面积求出r即可作答.【详解】设圆柱底面圆半径为，依题意得高，于是得圆柱侧面积，解得，，所以圆柱的体积为.故选：B12．从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如下，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是（       ）A．甲乙两班同学身高的极差不相等 B．甲班同学身高的平均值较大C．甲班同学身高的中位数较大 D．甲班同学身高在175cm以上的人数较多【答案】A【分析】根据极差、平均值、中位数的定义分析ABC，根据数据特征判断D.【详解】甲班同学身高极差为：182-157=25，乙班同学身高极差为：182-159=23，即甲乙两班同学身高的极差不相等，故A正确；甲班身高平均值为：，，故乙班同学身高平均值较大，即B错误；甲班同学身高从低到高排列为：，则中位数为：，甲班同学身高从低到高排列为：，则中位数为：，故乙班同学身高的中位数较大，即C错误；甲乙两班同学身高在175cm以上的人数的数量分别为3和4，故D错误.故选：A.13．函数的最小值为（       ）A．7 B．7 C．6 D．2【答案】B【分析】结合基本不等式求得最小值.【详解】，，当且仅当时等号成立.故选：B14．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的值为A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】根据过抛物线焦点的弦长公式，利用题目所给已知条件，求得弦长.【详解】根据过抛物线焦点的弦长公式有.故选B.【点睛】本小题主要考查过抛物线焦点的弦长公式，即.要注意只有过抛物线焦点的弦长才可以使用.属于基础题.15．若等差数列中，，则关于的方程的根的情况为（       ）A．无实根 B．有两个相等的实根C．有两个不等的实根 D．不能确定有无实根【答案】A【分析】结合等差数列的性质以及判别式求得正确答案.【详解】依题意，所以关于的方程无实根.故选：A16．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件求得，由此求得正确答案.【详解】依题意，解得.由于椭圆焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为.故选：B二、填空题17．双曲线的离心率为___________.【答案】【分析】依据题意可得，然后根据离心率公式可得结果.【详解】由题可知：，由所以离心率故答案为：18．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为___.【答案】2【分析】作出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解.【详解】解：设变量x、y满足约束条件， 在坐标系中画出可行域△ABC，A（1，1），B（3，1），C（2，0），目标函数z＝x+2y，可化为，作出直线，平移直线可得直线z＝x+2y，过可行域内的点C（2，0）时的最小值，目标函数z＝x+2y的最小值为：2.故答案为：2.19．圆及围成的平面阴影部分区域如图所示，向正方形中随机投入一个质点，则质点落在阴影部分区域的概率为________．【答案】【分析】由圆的方程判定圆心和半径，得到阴影部分由分别以A,B为圆心，1为半径的两个四分之一弓形组成，计算其面积，然后除以整个正方形的面积即得所求概率.【详解】圆及分别以和为圆心，半径都是1.连接OC，可知阴影部分由分别以为圆心，1为半径的两个四分之一弓形组成，阴影部分的面积为,正方形的面积为，所以质点落在阴影部分区域的概率为,故答案为：.【点睛】本题考查面积几何概型问题，难点是计算阴影图形的面积.20．观察一列算式：则式子是第项.【答案】24【详解】11，有1个算式12，21，有2个算式13，22，31，有3个算式，14，23，32，41，有4个算式，15，24，33，42，51有5个算式，16，25，34，43，52，61有6个算式，17，26，35，44，53，63，71有7个算式，则式子35是第1+2+3+4+5+6+3=24项.点睛：合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．三、解答题21．设锐角的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．(1)求B的大小；(2)若，，求边长b及的面积．【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，由此求得.（2）利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积.【详解】(1)由以及正弦定理，得，因为，所以，又因为B为锐角，所以；(2)由余弦定理，可得，解得．.22．等比数列中，已知．（1）求数列的通项公式； （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和．【答案】(1) .(2) .【详解】试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．（2）由（1）可得等差数列的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前项和．试题解析：（Ⅰ）设的公比为由已知得，解得，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，设的公差为，则有解得从而所以数列的前项和【解析】等差、等比数列的性质23．某校两个班级名学生在一次考试中成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组如下表：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组 （1）求的值，并根据频率分布直方图，估计这名学生这次考试成绩的平均分；（2）现用分层抽样的方法从第三、四、五组中随机抽取名学生，将该样本看成一个总体，从中随机抽取名，求其中恰有人的分数不低于分的概率．【答案】（1）；平均分为；（2）.【分析】（1）由频率和为可构造方程求得；由频率分布直方图估计平均数的方法直接计算可得结果；（2）根据分层抽样原则可确定各组抽取人数，采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式计算可得结果.【详解】（1）由频率分布直方图得：，解得：；由频率分布直方图估计平均分为：；（2）由频率分布直方图可得第三、四、五组的频率之比为，则第三组中抽取人，第四组中抽取人，第五组中抽取人；记来自第三组和第四组的学生，即分数低于分的学生分别为，来自第五组的学生，即分数不低于分的学生为，则从人中随机抽取人，有，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件；其中恰有人的分数不低于分的有，，，，，共个基本事件；所求概率.24．已知直三棱柱中，，，是中点，是的中点. （1）求证：；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）证明平面平面，可得平面，即可证明；（2）取中点，连结，，证明平面平面，即可证明平面.【详解】证明：（1），为等腰三角形为中点，，为直棱柱，平面平面，平面平面，平面，平面，.（2）取中点，连结，，，，分别为，，的中点，，，平面平面，平面平面.25．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间（2）若对，不等式恒成立，求c的取值范围.【答案】（1），单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2）或【分析】（1）求出函数导数，由题可得即可求出；（2）求出在的最大值即可建立关系求解.【详解】（1），，在与时都取得极值，，解得，，令可解得或；令可解得，的单调递增区间为和 ，单调递减区间为；（2），由（1）可得当时，为极大值，而，所以，要使对恒成立，则，解得或.26．在极坐标系下，已知圆和直线的参数方程（t为参数）．(1)求圆的直角坐标方程和直线的普通方程；(2)求圆上的点到直线的最短距离．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用，,，将圆极坐标方程转化为直角坐标方程，利用消元法消去参数即可求解的普通方程.（2）首先求出圆的圆心到直线的距离，然后可以根据圆的性质求出圆上的点到直线的最短距离.【详解】(1)圆C：，即，圆C的直角坐标方程为：，即；由：消去参数，得；所以圆的直角坐标方程为；直线的普通方程为.(2)由圆的直角坐标方程为可知圆坐标为，半径为，因为圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最短距离为．27．已知函数．（1）求的解集；（2）若，求的最小值．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）由题意可得，然后去绝对值解出不等式即可；（2）利用绝对值不等式的几何意义直接得结果．【详解】（1）因为，， 所以，即或，所以或， 所以不等式的解集为或．（2）因为，所以；因为，所以的最小值为.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式的几何意义，正确的理解绝对值不等式的几何意义很关键，属基础题．