高考数学(理数)一轮复习检测卷：7.4《空间向量及其应用》 (学生版)

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级　基础夯实练

1.若直线l的方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)

A．120°　　　　　　　　 B．60°

C．30°  D．60°或30°

2.已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(　　)

A．45°  B．135°

C．45°或135°  D．90°

3.在四棱锥P­ABCD中，＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则这个四棱锥的高h＝(　　)

A．1  B．2

C．13  D．26

4.在空间直角坐标系O­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(1，0，2)，(1，2，0)，(1，2，1)，(0，2，2)，若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体侧视图的面积为(　　)

A.  B．1

C．2  D．4

5.已知底面是边长为2的正方形的四棱锥P­ABCD中，四棱锥的侧棱长都为4，E是PB的中点，则异面直线AD与CE所成角的余弦值为(　　)

A.  B．

C.  D．

6.如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是(　　)

A．DB1⊥D1P

B．平面AD1P⊥平面A1DB1

C．∠APD1的最大值为90°

D．AP＋PD1的最小值为

7.如图，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________．

8.已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为________．

9.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF.

(1)求证：EF⊥平面BCF；

(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．

10.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B1E⊥AD1.

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE.若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

B级　能力提升练

11.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是(　　)

A.  B．

C.  D．0

12.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．相交  B．平行

C．垂直  D．不能确定

13.在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α的值是(　　)

A.  B．

C.  D．

14.点P是二面角α­AB­β棱上的一点，分别在平面α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α­AB­β的大小为________．

15.已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，若棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是________．

16.已知：在▱ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝2，AD＝2，平面AED⊥平面ABCD，△AED为等边三角形，EF∥AB，EF＝，M为线段BC的中点．

(1)求证：直线MF∥平面BED.

(2)求平面BED与平面FBC所成角的正弦值．

C级　素养加强练

17.如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB＝2CD＝2BC＝2，P为CE中点．

(1)求证：AB⊥DE.

(2)求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值．

18.如图(1)，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AE＝BF＝2，AB＝2，现将梯形沿CB，DA折起，使EF∥AB且EF＝2AB，得一简单组合体ABCDEF如图(2)所示，已知M，N分别为AF，BD的中点．

(1)求证：MN∥平面BCF.

(2)若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．