2021学年第十七章 勾股定理综合与测试达标测试
展开2021-2022学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》课后自主提升测试题(附答案)
一.选择题(共8小题,满分40分)
1.下列各组数不是勾股数的是( )
A.3,4,5 B.5,12,13 C.7,24,25 D.0.6,0.8,1
2.在Rt△ABC中,若斜边AB=5,则AC2+BC2等于( )
A.5 B.10 C.20 D.25
3.关于△ABC,有下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠C=90°;③AC:BC:AB=3:4:5;④a2=(b+c)(b﹣c);⑤∠A:∠B:∠C=2:3:4.其中能确定△ABC是直角三角形的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.已知直角三角形两边的长为3和4,则此三角形的周长为( )
A.12 B.7+ C.12或7+ D.以上都不对
5.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )
A.9 B.6 C.4 D.3
6.如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的高,则BD的长为( )
A. B. C. D.
7.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为( )
A. B.3 C. D.5
8.如图,由两个直角三角形和三个正方形组成的图形,大直角三角形的斜边和直角边长分别是13,12.则图中阴影部分的面积是( )
A.16 B.25 C.144 D.169
二.填空题(共8小题,满分40分)
9.直角三角形的两条边长分别为3和4,则这个直角三角形斜边上的高为 .
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB﹣AC=2,BC=8,则AB的长是 .
11.已知等腰三角形的底角是30°,腰长为2,则它的周长是 .
12.平面直角坐标系中,点P(﹣3,4)到原点的距离是 .
13.已知A,B,C三地位置如图所示,∠C=90°,A,C两地的距离是4km,B,C两地的距离是3km,则A,B两地的距离是 km;若A地在C地的正东方向,则B地在C地的 方向.
14.如图,正方形ODBC中,OC=1,OA=OB,则数轴上点A表示的数是 .
15.如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,则乙船沿 方向航行.
16.如图所示的网格是正方形网格,△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点,那么∠BAC+∠CDE= °.
三.解答题(共6小题,满分40分)
17.如图,连接四边形ABCD的对角线AC,已知∠B=90°,BC=1,AB=,CD=2,AD=2.
(1)求证:△ACD是直角三角形;
(2)求四边形ABCD的面积.
18.如图,在△ABC中;AB=AC,BC=13,D是AB上一点,BD=5,CD=12.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)求AC长.
19.如图,已知点C是线段BD上的一点,∠B=∠D=90°,若AB=3,BC=2,CD=6,DE=4,AE=.
(1)求AC、CE的长;
(2)求证:∠ACE=90°.
20.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,∠CBE=45°,BE分别交AC,AD于点E、F.
(1)如图1,若AB=13,BC=10,求AF的长度;
(2)如图2,若AF=BC,求证:BF2+EF2=AE2.
21.“交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时,如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方30米C处,过了2秒后,测得小汽车在B处与车速检测仪间距离为50米,这辆小汽车超速了吗?
22.如图,一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上,梯子底端距离墙ON有3米.
(1)求梯子顶端与地面的距离OA的长.
(2)若梯子顶点A下滑1米到C点,求梯子的底端向右滑到D的距离.
参考答案
一.选择题(共8小题,满分40分)
1.解:A.∵32+42=52,且3,4,5是正整数,∴3,4,5是勾股数,此选项不符合题意;
B.∵52+122=132,且5,12,13是正整数,∴5,12,13是勾股数,此选项不符合题意;
C.∵72+242=252,且7,24,25是正整数,∴7,24,25是勾股数,此选项不符合题意;
D.∵0.62+0.82=12,但0.6,0.8,1不是整数,∴0.6,0.8,1不是勾股数,此选项符合题意;
故选:D.
2.解:在Rt△ABC中,斜边AB=5,
∴AC2+BC2=AB2=52=25,
故选:D.
3.解:①∠A+∠B=∠C时,∠C=90°,是直角三角形;
②∠C=90°,是直角三角形;
③AC:BC:AB=3:4:5,32+42=52,是直角三角形;
④a2=(b+c)(b﹣c),a2=b2﹣c2,是直角三角形;
⑤∠A:∠B:∠C=2:3:4时,∠C=180°×<90°,是锐角三角形;
故能确定△ABC是直角三角形的有4个.
故选:C.
4.解:设Rt△ABC的第三边长为x,
①当4为直角三角形的直角边时,x为斜边,
由勾股定理得,x=5,此时这个三角形的周长=3+4+5=12;
②当4为直角三角形的斜边时,x为直角边,
由勾股定理得,x=,此时这个三角形的周长=7+,
故选:C.
5.解:由题意可知:中间小正方形的边长为:a﹣b,
∵每一个直角三角形的面积为:ab=×8=4,
∴4×ab+(a﹣b)2=25,
∴(a﹣b)2=25﹣16=9,
∴a﹣b=3,
故选:D.
6.解:由勾股定理得:AC==,
∵S△ABC=3×3﹣=3.5,
∴,
∴,
∴BD=,
故选:D.
7.解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=90°,
∴BC2=EC2﹣EB2=22﹣12=3,
∴正方形ABCD的面积=BC2=3.
故选:B.
8.解:
根据勾股定理得出:AB===5,
∴EF=AB=5,
∴阴影部分面积是EP2+PF2=25,
故选:B.
二.填空题(共8小题,满分40分)
9.解:设直角三角形斜边上的高为h,
当4是直角边时,斜边长==5,
则×3×4=×5×h,
解得:h=,
当4是斜边时,另一条直角边长==,
则×3×=×4×h,
解得:h=,
综上所述:直角三角形斜边上的高为或,
故答案为:或.
10.解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB﹣AC=2,BC=8,
∴AC2+BC2=AB2,
即(AB﹣2)2+82=AB2,
解得AB=17.
故答案为:17.
11.解:作AD⊥BC于D,
∵AB=AC,
∴BD=DC,
在Rt△ABD中,∠B=30°,
∴AD=AB=,
由勾股定理得,BD==3,
∴BC=2BD=6,
∴△ABC的周长为:6+2+2=6+4,
故答案为:6+4.
12.解:作PA⊥x轴于A,则PA=4,OA=3.
则根据勾股定理,得OP=5.
故答案为5.
13.解:∵∠C=90°,A,C两地的距离是4km,B,C两地的距离是3km,
∴AB===5(km).
又∵A地在C地的正东方向,则B地在C地的 正北方向.
故答案是:5;正北.
14.解:∵OB==,
∴OA=OB=,
∵点A在数轴上原点的左边,
∴点A表示的数是﹣,
故答案为:﹣.
15.解:由题意可知:AP=12,BP=16,AB=20,
∵122+162=202,
∴△APB是直角三角形,
∴∠APB=90°,
由题意知∠APN=40°,
∴∠BPN=90°﹣∠APN=90°﹣40°=50°,
即乙船沿北偏东50°方向航行,
故答案为:北偏东50°.
16.解:连接AD,
由勾股定理得:AD2=12+32=10,CD2=12+32=10,AC2=22+42=20,
∴AD=CD,AD2+CD2=AC2,
∴∠ADC=90°,
∴∠DAC=∠ACD=45°,
∵AB∥DE,
∴∠BAD+∠ADE=180°,
∴∠BAC+∠CDE=180°﹣90°﹣45°=45°,
故答案为:45°.
三.解答题(共6小题,满分40分)
17.(1)证明:∵∠B=90°,BC=1,AB=,
∴AC=,
∵CD=2,AD=2,
∴AC2+CD2=AD2,
∴△ACD是直角三角形;
(2)解:∵AB=,BC=1,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=.
18.(1)证明:∵BC=13,BD=5,CD=12,
∴BD2+CD2=52+122=132=BC2,
∴△CDB是直角三角形,∠CDB=90°,
∴CD⊥AB;
(2)解:∵AB=AC,
∴AC=AB=AD+BD=AD+5,
∵∠ADC=90°,
∴AC2=AD2+CD2,
∴(AD+5)2=AD2+122,
∴AD=,
∴AC=+5=.
19.(1)解:∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=2,
∴AC===.
∵在Rt△EDC中,∠D=90°,CD=6,DE=4,
∴CE====2,
(2)证明:∵AC=,CE=,AE=,
∴AE2=AC2+CE2,
∴∠ACE=90°.
20.(1)解:如图1,∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
∵BC=10,
∴BD=5,
Rt△ABD中,∵AB=13,
∴AD===12,
Rt△BDF中,∵∠CBE=45°,
∴△BDF是等腰直角三角形,
∴DF=BD=5,
∴AF=AD﹣DF=12﹣5=7;
(2)证明:如图2,在BF上取一点H,使BH=EF,连接CF、CH
在△CHB和△AEF中,
∵,
∴△CHB≌△AEF(SAS),
∴AE=CH,∠AEF=∠BHC,
∴∠CEF=∠CHE,
∴CE=CH,
∵BD=CD,FD⊥BC,
∴CF=BF,
∴∠CFD=∠BFD=45°,
∴∠CFB=90°,
∴EF=FH,
Rt△CFH中,由勾股定理得:CF2+FH2=CH2,
∴BF2+EF2=AE2.
21.解:根据题意,得AC=30m,AB=50m,∠C=90°,
在Rt△ACB中,根据勾股定理,BC2=AB2﹣AC2=502﹣302=402,
所以BC=40,
小汽车2秒行驶40米,则1小时行驶40×30×60=72000(米),
即小汽车行驶速度为72千米/时,因为 72>70,所以小汽车超速行驶.
22.解:(1)AO==4米;
(2)OD==4米,BD=OD﹣OB=4﹣3=1米.
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