北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试当堂达标检测题

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元课后自主测评（附答案）

一．选择题（共11小题，满分44分）

1．下列各组数中，是勾股数的是（　　）

A．4，5，6 B．1，2，1.5 C．6，8，10 D．5，12，23

2．如图，一个底面圆周长为24m，高为5m的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为（　　）

A．12m B．15m C．13m D．9.13m

3．在数学实践活动中，伍伍利用四个全等的直角三角形纸片拼成了一个“伍伍弦图”．如图，连接小正方形的一条对角线，并把部分区域涂上颜色，大直角三角形的两条直角边的长分别是6和8．则图中阴影部分的面积是（　　）

A．36 B．64 C．100 D．50

4．已知Rt△ABC的两直角边分别是6cm，8cm，则Rt△ABC的斜边上的高是（　　）

A．4.8cm B．2.4cm C．48cm D．10cm

5．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）

A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B 

C．a2+b2＝c2 D．a：b：c＝6：8：10

6．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　）

A．S△ABC＝10   B．∠BAC＝90°  C．AB＝2  D．点A到直线BC的距离是2

7．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（　　）

A．15m B．9m C．7m D．8m

8．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（　　）

A．1米 B．米 C．2米 D．4米

9．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（　　）

A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4

10．如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）dm．

A．11 B．12 C．13 D．10

11．已知如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝10，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．50 B． C．100 D．

二．填空题（共6小题，满分30分）

12．在直角三角形中，其中两边分别为3，4，则第三边的平方是　             　．

13．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾AE＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是　 　．

14．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝22，S2＝14，AC＝10，则AB＝　 　．

15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．则下列关于面积的等式：①SA＝SB+SC；②SA＝SF+SG+SB；③SB+SC＝SD+SE+SF+SG，其中成立的有（写出序号即可）　    　．

16．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠AOB+∠COD＝　   　°．

17．如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周长是3m，高为5m，则所需彩带最短是　   　m．

三．解答题（共4小题，满分36分）

18．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则：

（1）E站应建在距A站多少千米处？

（2）DE和EC垂直吗？说明理由．

19．如右图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．

（1）连接AC，判断△ACD的形状，并说明理由；

（2）求四边形花圃ABCD的面积．

20．如图，矩形ABCD是一个底部直径BC为12cm的杯子的示意图，在它的正中间竖直放一根筷子EG，筷子漏出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端E不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子EG的长度．

21．如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？

参考答案

一．选择题（共11小题，满分44分）

1．解：A、∵42+52≠62，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

B、∵12+1.52≠22，故本选项不符合题意；

C、∵62+82＝102，能组成直角三角形，故本选项符合题意；

D、∵52+122≠232，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；

故选：C．

2．解：将圆柱体的侧面展开，连接AB．如图所示：

由于圆柱体的底面周长为24m，

则AD＝24×＝12m．

又因为AC＝5m，

所以AB＝13m．

即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13m．

故选：C．

3．解：由题知，阴影部分的面积刚好为大正方形面积的一半，

大正方形的边长为大直角三角形的斜边＝10（cm），

∴阴影部分的面积＝×10×10＝50（cm2），

故选：D．

4．解：设Rt△ABC斜边上的高为hcm，

∵Rt△ABC的两直角边分别是6cm，8cm，

∴斜边长＝10（cm），

∵×10×h＝×6×8，

∴h＝4.8（cm），

即Rt△ABC的斜边上的高是4.8cm，

故选：A．

5．解：当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，则∠C＝180°×＝75°，同理可得∠A＝45°，∠B＝60°，故选项A符合题意；

当∠C＝∠A﹣∠B时，可得∠C+∠B＝∠A，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故选项B不符合题意；

当a2+b2＝c2时，则△ABC时直角三角形，故选项C不符合题意；

当a：b：c＝6：8：10时，a2+b2＝c2，则△ABC时直角三角形，故选项D不符合题意；

故选：A．

6．解：A、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意；

B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，

∴AC2+AB2＝BC2，

∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；

C、∵AB2＝20，

∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意；

D、设点A到直线BC的距离为h，

则h＝2，本选项结论正确，不符合题意；

故选：A．

7．解；梯子顶端距离墙角地距离为＝24（m），

顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15（m），

15﹣7＝8（m）．

故选：D．

8．解：过点C作CF⊥AB于点F，

根据题意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3，

由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，

∴AF＝4，

∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1，

∴此时木马上升的高度为1米，

故选：A．

9．解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）；

②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，

底面对角线直径为5cm，高为12cm，

由勾股定理可得杯里面管长为＝13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm；

则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．

故选：B．

10．解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．

∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为3dm，

∴AB＝3dm，BC＝BC′＝4dm，

∴AC2＝32+42＝25，

∴AC＝5（dm）．

∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝10（dm）．

故选：D．

11．解：∵△AHC为等腰直角三角形，

∴∠AHC＝90°，AH＝CH，

由勾股定理得：AH2+CH2＝AC2，

∵AC2+CB2＝AB2＝100，

∴图中阴影部分的面积＝×AH2+×CF2+×AE2＝××（AC2+CB2+AB2）＝50，

故选：A．

二．填空题（共6小题，满分30分）

12．解：当此直角三角形的两直角边分别是3和4时，

则第三边平方为25，

当此直角三角形的一个直角边为3，斜边为4时，

则第三边平方为7．

故答案为：25或7．

13．解：如图，∵勾AE＝6，弦AD＝弦AB＝10，

∴股BE＝8，

∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，

∴小正方形的面积＝22＝4．

故答案是：4．

14．解：∵S1＝22，S2＝14，

∴S3＝S1+S2＝22+14＝36，

∴BC＝6，

∵AC＝10，

∴AB＝8，

故答案为：8．

15．解：由勾股定理和正方形的性质可知：SA＝SB+SC，SB＝SD+SE，SC＝SF+SG，

∴SA＝SB+SC＝SF+SG+SB，SB+SC＝SD+SE+SF+SG，

故答案为：①②③．

16．解：连接BC，

由勾股定理得：OC2＝12+22＝5，OB2＝12+32＝10，BC2＝12+22，

∴OC＝BC，OC2+BC2＝OB2，

∴∠OCB＝90°，

即△COB是等腰直角三角形，

∴∠COB＝45°，

∵∠DOA＝90°，

∴∠AOB+∠COD＝∠DOA﹣∠COB＝45°，

故答案为：45．

17．解：如图，将这个圆柱体侧面展开得，

由勾股定理得，

AC＝13，

故答案为：13．

三．解答题（共4小题，满分36分）

18．解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．

∴DE＝CE，

∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，

∴∠A＝∠B＝90°，

∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，

∴AE2+AD2＝BE2+BC2，

设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），

∵DA＝15km，CB＝10km，

∴x2+152＝（25﹣x）2+102，

解得：x＝10，

∴AE＝10km．

∴BE＝15km．

（2）DE和EC垂直，理由如下：

在△DAE与△EBC中，

，

∴△DAE≌△EBC（SAS），

∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，

∠DEA+∠D＝90°，

∴∠DEA+∠CEB＝90°，

∴∠DEC＝90°，

即DE⊥EC．

19．解：（1）连接AC，

因为∠B＝90°，所以直角△ABC中，由勾股定理得：

AC2＝AB2+BC2，

AC2＝42+32，

AC2＝25，

∴AC＝5m，又CD＝12m，AD＝13m，

所以△ACD中，AC2+CD2＝AD2，

所以△ACD是直角三角形；

（2）S四边形ABCD＝AC•CD+AB•BC

S四边形ABCD＝×5×12+×4×3

＝30+6

＝36（m2），

答：该花圃的面积为36m2．

20．解：设杯子的高度是xcm，则筷子的高度为（x+2）cm，

∵杯子的直径为12cm，

∴DF＝6cm，

在Rt△DEF中，由勾股定理得：

x2+62＝（x+2）2，

解得x＝8，

∴筷子EG＝8+2＝10cm．

21．解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长．

在Rt△ABC中，BC＝55cm，AC＝10+6+10+6+10+6＝48（cm）．

由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝5329．

所以AB＝73（cm）．

因此，蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73cm．