2021学年2.2.2 直线的方程第3课时导学案及答案

第3课时直线的一般式方程

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一直线的一般式方程

平面直角坐标系中直线的方程,要么可以写成的形式,要么可以写成① 的形式,因此可以看出,所有的直线方程都可以写成的形式,其中都是实常数,而且与 ② 不同时为零（即）.式一般称为直线的一般式方程.

要点二方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的几何意义

1.方程的几何意义

关于的二元一次方程表示的一定是直线,这是因为在式中,如果 ,则方程可以化为 ,它表示的是斜率为③ 且截距为的直线;如果 ,则由与不同时为零可知 ,从而方程可以化为 ,它表示的是斜率④ 不存在且过点的直线.

2.直线的法向量

如果直线的一般式方程为 ,那么为直线的一个⑤ 法向量 .

自主思考

1.点斜式方程 ,斜截式方程 ,两点式方程 ,截距式方程能否转化为的形式?

答案：提示能,分别是 , , , .

2.一般式方程转化为点斜式方程时,需满足什么条件?转化后的方程是什么?

答案：提示需满足 ,方程为 .

3.当时，直线在轴上的截距分别是什么？

答案：提示当时，直线在轴上的截距分别为， .

名师点睛

直线一般式方程的结构特征

（1）方程是关于的二元一次方程.

（2）方程中等号的左侧自左向右一般按 ,常数的先后顺序排列.

（3）的系数一般不为分数和负数.

（4）虽然直线方程的一般式有三个参数,但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.

互动探究·关键能力

探究点一直线的一般式方程

精讲精练

例（1）如果,那么直线不经过(      )

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

（2）已知直线的一个法向量为 ,且经过点 ,则直线的一般式方程为 .

答案：（1）（2）

解析：（1）因为 ,所以直线的斜率 ,

又因为 ,所以直线在轴上的截距 ,

所以直线不经过第四象限,故选D.

（2）因为直线的一个法向量为 ,所以设直线方程是 ,

又因为直线经过点 ,所以 ,解得 ,

所以直线的一般式方程为 .

解题感悟

（1）求直线的一般式方程的方法：

①先求出直线的其他形式的方程,再转化为一般式方程.

②利用直线的方向向量或法向量设出直线的一般式方程,再根据直线所过的点的坐标求出一般式方程.

（2）在直线方程中,令可得直线在y轴上的截距;令可得直线在轴上的截距.若确定直线斜率存在,则可将一般式化为斜截式.

迁移应用

1.

已知直线在两坐标轴上的截距相等,求直线的一般式方程.

答案：由题意得 ,

令 ,得 ,令 ,得 ,

因为直线在两坐标轴上的截距相等,

所以 ,即 ,解得或 ,故直线l的一般式方程为或 .

探究点二直线方程的应用

精讲精练

例若直线的方程为 ,则该直线过定点．

答案： (-2,1)

解析：直线的方程可化为$k(x＋2)－y＋1＝0\ $,令解得 ,则直线过定点(-2,1）．

变式在本例中,设直线与轴、轴的交点分别为点 ,当时,求三角形（为坐标原点）面积的最小值.

答案：由题意可得 ,

,所以三角形的面积

当且仅当 ,即时等号成立.所以三角形面积的最小值为4.

解题感悟

（1）求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积时,要注意其面积为在两坐标轴上的截距的绝对值的积的 ,其易错点为漏掉绝对值.

（2）由直线的一般式方程求其所过的定点,方法有两种,一是化为点斜式求解;二是利用解方程组求解.

迁移应用

1.已知直线的方程为 ,直线与轴,轴分别交于两点,则的面积为．

答案：6

解析：直线的方程为 ,令 ,得 ,令 ,得 ,

故 .

2.取任意实数时,直线恒经过定点 ,则点的坐标为 .

答案： (1,-1)

解析：直线方程可整理为

令解得即定点的坐标为(1,-1).

探究点三由含参一般式方程求参数的值或取值范围

精讲精练

例（1）若方程表示一条直线,则实数满足(      )

A. B.

C. D.

（2）已知直线 ,若直线不经过第四象限,求的取值范围.

答案：（1）

解析：（1）因为方程表示一条直线,

所以不能同时成立,所以 .

答案：（2）直线方程可化为 ,

当时,要使直线不经过第四象限,则有解得 ;

当时,直线方程为 ,符合题意.

综上可知,的取值范围是 .

解题感悟

已知含参的直线的一般式方程求参数的值或取值范围的步骤：

迁移应用

1.

直线：的倾斜角大于 ,则的取值范围是 .

答案：

解析：当时,直线的倾斜角为 ,符合要求;

当时,直线的斜率为 ,则或者 ,解得或者或者 .

综上可知,实数的取值范围是 .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.直线的方程是 ,则直线经过(     )

A.一、二、三象限B.一、二、四象限

C.一、三、四象限D.二、三、四象限

答案：

2.直线过点(1,-1),则直线的斜率等于(      )

A.-3B.3C. D.

答案：

3.已知直线经过点(-1,2),且是直线的一个法向量,则直线的一般式方程为 .

答案：

素养演练

数学建模——直线方程的实际应用

1.

为了绿化城市,准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪,其中 ,点在线段上,且 ,经测量, .如何设计才能使草坪的占地面积最大？并求出最大面积（精确到）.

答案：如图,以边所在直线为轴,边所在直线为轴建立平面直角坐标系,

则 (0,20),  (30,0).

所以直线的方程为 ,即 ,设

则矩形的面积

化简得 ,配方,得

易得当时,最大,最大约为 .

素养探究：本题考查直线方程的实际应用,解答本题要先建立恰当的平面直角坐标系,求得直线的方程,再设出点的坐标,由矩形面积公式建立模型,然后利用二次函数的基本性质求其最值,在此过程中体现了数学建模的核心素养.