人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.2 直线的方程第2课时学案

第2课时直线的两点式方程

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一直线的两点式方程

已知直线过与两点,注意到是直线的一个① 方向向量 .设为平面直角坐标系中一点,则在直线上的充要条件是与 ② 共线 ,即 ,这就是直线的方程.

当且③ 时,上式可以变形为这种形式的直线方程由直线上的两点确定,称为直线的两点式方程.

要点二直线的截距式方程

通常称为直线的截距式方程，需要特别注意的是，这只有直线在轴与在轴上的截距都存在且④ 不为0    时才成立.

自主思考

1.如何用点和的坐标表示过此两点的所有的直线的方程?

答案：提示 .

2.能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示吗?

答案：提示能.直线的截距式方程就是直线过两点的直线的两点式方程的简化形式.

3.直线在轴和轴上的截距均为0吗?

答案：提示直线与坐标轴的交点为(0,0),故在x轴和轴上的截距均为0.

名师点睛

1.对直线的两点式方程的理解

（1）两点式方程的应用前提是且即斜率不存在及斜率为0时不能用两点式方程.当时,方程为 ;当时,方程为．

（2）对于两点式中的两点,只要是直线上的两个点即可,两点式方程与这两个点的顺序无关.

2.直线的截距式方程的注意点

（1）截距式方程应用的前提是直线在轴和轴上的截距存在且均不为0,当直线与轴或轴的正半轴平行时不能用截距式方程.

（2）截距并非距离,其中 ,截距相等的情况包括截距为零的情况,此时不可用截距式方程来表示直线.

互动探究·关键能力

探究点一直线的两点式方程

精讲精练

例三角形的三个顶点分别为 , , ,如图所示,求直线和直线的方程.

答案：直线过两点,由两点式方程,得 ,

整理得．直线的方程为．

直线过两点,

由两点式方程,得 ,整理得．

直线的方程为．

解题感悟

（1）当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件,若满足,即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下,也可以先用斜率公式求出斜率,再用点斜式求方程．

（2）由于减法的顺序性,一般用两点式求直线方程时,常会将字母或数字的顺序错位而导致错误,在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系．

迁移应用

1.

已知．

（1）求线段的中点的坐标;

（2）求的边上的中线所在直线的方程．

答案：（1）因为 ,所以线段的中点的坐标为 ,即的坐标为(0,3)．

（2）的边上的中线即线段 ,因为．

所以线段所在直线的方程为 ,即 .

探究点二直线的截距式方程

精讲精练

例求过点 ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程．

答案：①当直线在两坐标轴上的截距均为0时,方程为 ;

②当直线在两坐标轴上的截距不为0时,可设方程为 ,

又过点解得的方程为 ,即 .

综上所述,直线的方程为或 .

变式在本例中,把“截距互为相反数”改为“截距相等”,其余条件不变,求直线的方程．

答案：①当直线过原点时,直线在两坐标轴上的截距相等且都为0,直线方程为 ;

②当直线不过原点时,设直线方程为 ,

代入点(5,2),则 , ,直线方程为 ,即 .

综上所述,直线的方程为或 .

解题感悟

（1）如果问题中涉及直线与两坐标轴相交,则可考虑选用直线的截距式求方程,用待定系数法确定其系数即可．

（2）在选用直线的截距式方程时,必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．

迁移应用

1.

根据下列条件,求直线的方程．

（1）直线在轴上的截距为-2,在轴上的截距为-2;

（2）直线过点(1,1),在两坐标轴上截得的线段长的和为10．

答案：（1）由题意得 ,即．

（2）设直线的方程为．由题意,得解得或所求直线方程为或．

探究点三直线方程的综合应用

精讲精练

例（2021山东临沂高二期中）已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于两点,为坐标原点.

（1）当的周长为12时,求直线的方程;

（2）当的面积为6时,求直线的方程.

答案：（1）设直线的方程为 ,因为直线过点 ,所以 ,①

由题意得 .②

由①②可得 ,解得或所以直线的方程为或 .

（2）设直线的方程为 ,由题意知, , ,消去 ,

得 ,解得或所以直线的方程为或 .

解题感悟

（1）使用待定系数法求直线方程的一般步骤：①设方程,②求系数,③代入方程求得直线方程;

（2）若已知直线在两个坐标轴上的截距或题目中涉及截距,一般优先选择用截距式方程求解.

迁移应用

1.（2021山东潍坊高二期末）已知直线过定点 ,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则直线的方程为 .

答案：或

解析：设直线的方程为 .因为点在直线上,

所以 ①.

因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,

所以 ②.

由①②可知或解得或故直线l的方程为或 ,即或 .

2.（2021山东威海高二期末）已知两点动点在线段上运动,则的最大值为 .

答案：3

解析：由题意知线段AB的方程为 ,则 ,所以 ,当时,取得最大值3.

评价检测·素养提升

课堂检测

1.直线过一、二、三象限,则(     )

A. B.

C. D.

答案：

2.经过两点的直线方程是(      )

A. B.

C. D.

答案：

3.已知点在过点和的直线上,则的值是(      )

A.5B.2C.-2D.-6

答案：

素养演练

数学运算——利用直线的截距解决三角形的面积问题

1.

（2020山东青岛第二中学高二期中）过点作直线 ,与轴的正半轴分别交于两点,为原点．若的面积为 ,求的最小值,并求出此时直线的方程．

解析：审：以过点的直线与两坐标轴的交点、坐标原点为顶点的三角形,求此三角形面积的最小值以及此时直线的方程.

联：根据题意设出A,B的坐标,进而可得直线的方程,由及 ,最后利用基本不等式求最值,即可得答案.

答案：解：设 ,其中 ,

则由直线的截距式方程得直线l的方程为①         .

将代入直线的方程,得．

根据题意得 ,

当且仅当②         ,即时,取得最小值8,

因此直线的方程为③    ．

解析：思：涉及直线与三角形的面积或最小值问题时,一般要把直线的方程设为截距式,并用截距表示三角形的面积,再利用均值不等式或函数的性质求其最值.