数学七年级下册第九章 三角形综合与测试练习

冀教版七年级数学下册第九章 三角形专题训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，点D、E分别在∠ABC的边BA、BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG=42°，则∠DEB的度数为（        ）

A．42° B．48° C．52° D．58°

2、数学课上，同学们在作中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（       ）．

A． B．C． D．

3、已知△ABC的内角分别为∠A、∠B、∠C，下列能判定△ABC是直角三角形的条件是（       ）

A．∠A=2∠B=3∠C B．∠C=2∠B C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C= =3：4：5

4、若一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则该三角形为（　　）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

5、小明把一副含有45°，30°角的直角三角板如图摆放其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠a+∠β等于（       ）

A．180° B．210° C．360° D．270°

6、以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（     ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

7、以下长度的三条线段，能组成三角形的是（       ）

A．2，3，5 B．4，4，8 C．3，4.8，7 D．3，5，9

8、下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）

A．3   4   8 B．4   4   10 C．5   6   10 D．5   6   11

9、如图，直线l1l2，被直线l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1＝46°，则∠2等于（　　）

A．56° B．34° C．44° D．46°

10、若三条线段中a＝3，b＝5，c为奇数，那么以a、b、c为边组成的三角形共有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，设的面积为，的面积为，则______．

2、如图，将△ABC平移到△A’B’C’的位置（点B’在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB’A’的度数为_____°．

3、如图，A，E，F共线，ABCD，∠A＝130°，∠C＝125°，则∠CEF等于_______度．

4、如图，在直线l1∥l2，把三角板的直角顶点放在直线l2上，三角板中60°的角在直线l1与l2之间，如果∠1=35°，那么∠2=___度．

5、一个三角形的两边分别是3和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是___．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，AD是△ABC边BC上的高，AD与CE相交于点F，且∠ACB＝80°，求∠AFE的度数．

2、（1）先化简，再求值：，其中a＝4．

（2）若a，b，c分别为三角形的三边，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|

3、概念学习 ：已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．

理解应用

（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写：“真命题”；反之，则写“假命题”

①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；

②任意的三角形都存在等角点．          

（2）如图①中，点P是锐角三角形△ABC的等角点，若∠BAC=∠PBC，探究图中么∠BPC、∠ABC、∠ACP之间的数量关系，并说明理由．

4、如图，ABCD，∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G，

完成下面的证明：

∵MG平分∠BMN，

∴∠GMN＝∠BMN（              ），

同理∠GNM＝∠DNM．

∵ABCD

∴∠BMN＋∠DNM＝________（         ）．

∴∠GMN＋∠GNM＝________．

∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝________，

∴∠G＝________．

5、如图，BD⊥AC，∠1＝∠2，∠C＝66°，求∠ABC的度数．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

根据两直线平行，同位角相等可得，再由垂直的性质及三角形内角和定理即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查平行线及垂线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练运用平行线的性质是解题关键．

2、A

【解析】

【分析】

满足两个条件：①经过点B；②垂直AC，由此即可判断．

【详解】

解：根据垂线段的定义可知，A选项中线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，

故选：A．

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

3、C

【解析】

【分析】

根据三角形内角和定理依次计算判断．

【详解】

解：A、设∠C=2x，则∠B=3x，∠A=6x，

∵，

∴，

解得，

∴∠A=6x=，

∴△ABC不是直角三角形，故该选项不符合题意；

B、当∠C=20°，∠B=10°时符合题意，但是无法判断△ABC是直角三角形，

故该选项不符合题意；

C、∵∠A+∠B=∠C，，

∴，即△ABC是直角三角形，

故该选项符合题意；

D、设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，

∵，

∴，

解得，

∴，

∴△ABC不是直角三角形，

故该选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题考查了三角形内角和定理，熟记三角形内角和为180度并应用是解题的关键．

4、A

【解析】

【分析】

根据三角形外角和为360°计算，求出内角的度数，判断即可．

【详解】

解：设三角形的三个外角的度数分别为3x、4x、5x，

则3x+4x+5x＝360°，

解得，x＝30°，

∴三角形的三个外角的度数分别为90°、120°、150°，

对应的三个内角的度数分别为90°、60°、30°，

∴此三角形为直角三角形，

故选：A．

【点睛】

本题考查的是三角形的外角和，掌握三角形外角和为360°是解题的关键．

5、B

【解析】

【分析】

已知，得到，根据外角性质，得到，，再将两式相加，等量代换，即可得解；

【详解】

解：如图所示，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴；

故选D．

【点睛】

本题主要考查了三角形外角定理的应用，准确分析计算是解题的关键．

6、C

【解析】

【分析】

根据三角形三条边的关系计算即可．

【详解】

解：A. ∵2+4=6，∴，，不能组成三角形；

B. ∵2+5<9，∴，，不能组成三角形；

C. ∵7+8>10，∴，，能组成三角形；

D. ∵6+6<13，∴，，不能组成三角形；

故选C．

【点睛】

本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

7、C

【解析】

【分析】

由题意根据三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行分析即可．

【详解】

解：A、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；

B、4+4=8，不能组成三角形，不符合题意；

C、3+4.8＞7，能组成三角形，符合题意；

D、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．注意掌握判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．

8、C

【解析】

【分析】

根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断求解即可．

【详解】

解：A．∵3+4＜8，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

B．∵4+4＜10，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

C．∵5+6＞10，

∴能组成三角形，故本选项符合题意；

D．∵5+6=11，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解决问题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

依据l1∥l2，即可得到∠3＝∠1＝46°，再根据l3⊥l4，可得∠2＝90°﹣46°＝44°．

【详解】

解：如图：

∵l1∥l2，∠1＝46°，

∴∠3＝∠1＝46°，

又∵l3⊥l4，

∴∠2＝90°﹣46°＝44°，

故选：C．

【点睛】

本题考查了平行线性质以及三角形内角和，平行线的性质：两直线平行，同位角相等以及三角形内角和是180°．

10、C

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形的个数．

【详解】

解：c的范围是：5﹣3＜c＜5+3，即2＜c＜8．

∵c是奇数，

∴c＝3或5或7，有3个值．

则对应的三角形有3个．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了三角形三边关系，准确分析判断是解题的关键．

二、填空题

1、4：1##4

【解析】

【分析】

利用三角形的中线的性质证明再证明从而可得答案.

【详解】

解： 点F为CE的中点，

点E为AD的中点，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是与三角形的中线有关的面积的计算，掌握“三角形的中线把一个三角形的面积分为相等的两部分”是解本题的关键.

2、25

【解析】

【分析】

先根据三角形内角和定理求出∠A=25°，然后根据平移的性质得到，则．

【详解】

解：∵∠B=55°，∠C=100°，

∴∠A=180°－∠B－∠C=25°，

由平移的性质可得，

∴，

故答案为：25．

【点睛】

本题主要考查了三角形内角和定理，平移的性质，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平移的性质．

3、75

【解析】

【分析】

根据平行线的性质求出∠BDC，求出∠FDE，根据三角形内角和定理求出即可．

【详解】

解：连接AC，如图：

∵AB∥CD，

∴∠BAC+∠DCA=180°，

∵∠BAF=130°，∠DCE=125°，

∴（∠CAF+∠ACE）+（∠BAC+∠DCA）=130°+125°=255°，

∴∠CAF+∠ACE=255°-（∠BAC+∠DCA）=255°+180°=75°，

∵∠CEF是△ACE外角，

∴∠CEF=∠CAF+∠ACE=75°．

故答案为：75．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．

4、65

【解析】

【分析】

根据三角形外角性质即可求得∠3的度数，再依据平行线的性质，可求得∠3=∠2．

【详解】

解：∵∠3是△ABC的外角，∠1=∠ABC=35°，

∴∠3=∠C+∠ABC=30°+35°=65°，

∵直线l1∥l2，

∴∠2=∠3=65°，

故答案为：65．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行．

5、9

【解析】

【分析】

根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．

【详解】

解：设第三边为a，

根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7，

即4＜a＜10，

∵a为整数，

∴a的最大值为9．

故答案为：9．

【点睛】

此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件．

三、解答题

1、∠AFE=50°．

【解析】

【分析】

根据CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，得出∠ECB=，根据高线性质得出∠ADC=90°，根据三角形内角和得出∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，利用对顶角性质得出∠AFE=∠DFC=50°即可．

【详解】

解：∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，

∴∠ECB=，

∵AD是△ABC边BC上的高，AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，

∴∠AFE=∠DFC=50°．

【点睛】

本题考查角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质，掌握角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质是解题关键．

2、（1）a－1；3；（2）－a＋b＋3c．

【解析】

【分析】

（1）先根据单项式乘以多项式法则及平方差公式展开，合并得出最简结果，再代入求值即可得答案；

（2）根据三角形的三边关系可得绝对值内的式子的符号，根据绝对值的性质化简即可得答案．

【详解】

（1）a（1－4a）＋（2a＋1）（2a－1）

＝a－4a2＋4a2－1

＝a－1，

当a＝4时，原式＝4－1＝3．

（2）∵a、b、c为三角形三边的长，

∴a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，

∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|

＝|a－（b＋c）|＋|b－（c＋a）|＋|（c＋b）－a|

＝b＋c－a＋a＋c－b＋c＋b－a

＝－a＋b＋3c．

【点睛】

本题考查单项式乘以多项式法则、平方差公式、三角形三边关系及绝对值的性质，三角形任意两边的和大于第三边；任意两边的差小于第三边；熟练掌握相关运算法则及性质是解题关键．

3、（1）①真命题；②假命题；（2）∠BPC=∠ABC+∠ACP

【解析】

【分析】

（1）①根据等角点的定义，可知内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点，从而可作出判断；

②等边三角形不存在等角点，故可作出判断；

（2）根据∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP以及∠BAC=∠PBC，即可得出三个角间的数量关系．

【详解】

（1）①作内角分别为30°、60°、90°的三角形斜边的中线，取中线的中点，则此点就是此直角三角形的等角点，故为真命题；

故答案为：真命题；

②任意三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点，故为假命题；

故答案为：假命题；

（2）∠BPC=∠ABC+∠ACP

理由如下：

∵∠ABP+∠BAP=180°−∠BPA，∠ACP+∠CAP=180°−∠CPA

∴∠ABP+∠BAP+∠ACP+∠CAP =180°−∠BPA+180°−∠CPA=360°−(∠BPA+∠CPA)

即∠ABP+∠BAC+∠ACP=360°−(∠BPA+∠CPA)

∴∠BPC=360°−(∠BPA+∠CPA)= ∠ABP+∠BAC+∠ACP

∵∠BAC=∠PBC

∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=∠ABP+∠PBC+∠ACP

=∠ABC+∠ACP

∴∠BPC=∠ABC+∠ACP

【点睛】

本题主要考查三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理解等角的定义，根据等角的定义及三角形的内角和得出角的关系．

4、角分线的定义；180°；两直线平行，同旁内角互补；90°；180°；90°

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义，可得∠GMN＝∠BMN，∠GNM＝∠DNM． 再由ABCD，可得∠BMN＋∠DNM＝180°，从而得到∠GMN＋∠GNM＝90°．然后根据三角形的内角和定理，即可求解．

【详解】

证明：∵MG平分∠BMN，

∴∠GMN＝∠BMN（角分线的定义），

同理∠GNM＝∠DNM．

∵ABCD，

∴∠BMN＋∠DNM＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∴∠GMN＋∠GNM＝90°．

∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝180°，

∴∠G＝90°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

5、69°

【解析】

【分析】

利用三角形的内角和定理先求出∠2、∠CBD的度数，再利用角的和差关系求出∠ABC的度数．

【详解】

解：∵BD⊥AC，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°．

∵∠1＝∠2，∠C＝66°，

∴∠1＝∠2＝∠ADB＝45°，

∠CBD＝∠ADB﹣∠C＝24°．

∴∠ABC＝∠2＋∠CBD

＝45°＋24°

＝69°．

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解决本题的关键．