考点17相交线与平行线（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

这是一份考点17相交线与平行线（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版），共23页。试卷主要包含了相交线，相交线中的角，平行线， 图形平移等内容，欢迎下载使用。
考点17相交线与平行线考点总结一、相交线直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。表示方法：如图，a ⊥ b，垂足为Ｏ．记作：a ⊥ b于点Ｏ．【注意事项】1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂线的画法：一落、二移、三画。注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。注意：1、  垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。2、经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离二、相交线中的角邻补角与对顶角的知识点两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 图形顶点边的关系大小关系对顶角   ∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角   ∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.∠3+∠4=180°注意点：（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.同位角、内错角与同旁内角的知识点同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）如：∠1和∠5。内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）如：∠3和∠5。同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。三、平行线平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行几何描述 ：∵∥，∥　　　　   ∴∥平行线的判定判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行　　　　     简称：同位角相等，两直线平行判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行　　　　     简称：内错角相等，两直线平行判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行　　　　     简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：∵　∠3＝∠2∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）∵　∠1＝∠2∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∵　∠4＋∠2＝180°∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.。几何符号语言：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）四、 图形平移平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。平移的性质：1、把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.2、新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点3、连接各组对应点的线段平行且相等。作平移图形的一般步骤：1、确定平移的方向和距离。2、确定图形的关键点。3、过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点。4、依次连接关键点，作出平移后的新图形。真题演练 一、单选题1．如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ） A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意易得，，进而问题可求解．【详解】解：∵点在直线上，，∴，，∵，∴，∴；故选A．2．如图，∠B=43°，∠ADE=43°，∠AED=72°，则∠C的度数为（    ）A．72° B．65° C．50° D．43°【答案】A【分析】由同位角相等判定两直线平行，然后利用平行线的性质求解．【详解】解：∵∠B=43°，∠ADE=43°，∴∠B=∠ADE∴DE∥BC∴∠C=∠AED=72°故选：A3．如图，l1∥l2，点O在直线l1上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与l2交于A，B两点，若∠1＝35°，则∠2的度数为（   ）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】先求出∠OBA，然后根据对顶角相等即可得出∠2．【详解】∵l1∥l2，∴∠1+∠BOA+∠OBA=180°，∵∠1=35°，∠BOA=90°，∴∠OBA=55°，∴∠2=∠OBA=55°，故选：C．4．下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度．【详解】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，故选：D．5．如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是∠AOC的平分线，若∠BOD＝80°，则∠BOM等于（　　）A．140° B．120° C．100° D．80【答案】A【分析】先根据对顶角相等得出∠AOC＝80°，再根据角平分线的定义得出∠COM＝40°，最后解答即可.【详解】解：∵∠BOD＝80°，∴∠AOC＝80°，∠COB＝100°，∵射线OM是∠AOC的平分线，∴∠COM＝40°，∴∠BOM＝40°+100°＝140°，故选A．6．如图所示，∥，则平行线与间的距离是（    ）A．线段AB的长度 B．线段BC的长度C．线段CD的长度 D．线段DE的长度【答案】B【分析】根据平行线之间距离的定义对各选项进行逐一分析即可．【详解】∵CB⊥于点B，
∴与两平行线间的距离就是线段BC的长度，故B选项正确；
∵线段AB、线段CD、线段DE都不是与之间的垂线段，故选项A、C、D都错误；故选：B．7．如图，小明从A处出发沿北偏东方向行走至B处，又从B处沿南偏东方向行走至C处，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据方位角和平行线性质求出∠ABE，再求出∠EBC即可得出答案．【详解】解：如图：

∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，
∴∠DAB=40°，∠CBE=70°，
∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，
∴∠ABE=∠DAB=40°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=40°+70°=110°，故选：C．8．如图，点，是上的定点，点为优弧上的动点（不与点，重合），在点运动的过程中，以下结论正确的是（    ）A．的大小改变 B．点到弦所在直线的距离存在最大值C．线段与的长度之和不变 D．图中阴影部分的面积不变【答案】B【分析】根据圆周角定理，点到直线的距离的定义、极限思想和三角形三边关系、三角形面积公式等进行逐一判断即可．【详解】解：A、因为点，是上的定点，所以所对的圆周角的大小不变，故A错误；B、连接PO，当PO⊥AB时，此时点到弦所在直线的距离最大，故B正确；C、当点P无限接近点B时，线段与的长度之和无限接近AB，而当点P从点B向点A移动过程中，线段与的长度之和发生变化，故C错误；D、阴影部分面积分为弓形AB面积和△ABP面积之和，弓形面积不变，而点P到AB距离不一定，所以△ABP面积非定值，故阴影部分面积随着点P的移动发生变化，故D选项错误；故选：B．9．如图，直线，直线与直线，分别交于点，点，于点，交直线于点．如果，那么的度数为(　　)A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据平行线的性质求出∠BAD的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出∠2的度数；【详解】解：如图：∵直线∥，∴∠1+∠BAD=180°，∵AC⊥AB于点A，∠1=34°，∴∠2=180°−90°−34°=56°，故选：B．10．如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（　　）A．70° B．100° C．110° D．120°【答案】C【分析】直接利用平行线的性质得出∠1＝∠2，进而得出答案．【详解】∵直线AB∥CD，∴∠1＝∠2，∵∠3＝70°，∠2+∠3=180°，∴∠2＝180°﹣∠3=180°﹣70°＝110°，∴∠1＝110°．故选：C．  二、填空题11．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线及其外一点．求作：的平行线，使它经过点．小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：如图所示：（1）用第一块三角尺的一条边贴住直线，第二块三角尺的一条边紧靠第一块三角尺；（2）将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点，沿这边作出直线．所以，直线即为所求．老师说：“小凡的作法正确．”请回答：小凡的作图依据是________．【答案】内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定方法即可解决问题；【详解】解：如图所示：∵两块形状、大小相同的三角尺，将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，∴∠1＝∠2，∴AB∥直线l（内错角相等，两直线平行），故答案为：内错角相等，两直线平行．12．如图所示，，表示直线与之间距离的是线段__________的长度．【答案】BP【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案．【详解】解：由图可得，a∥b，BP⊥a，
∴直线a与直线b之间的距离是线段BP的长度，
故答案为：BP．13．如图是由射线、、和线段、组成的平面图形，且，则______．【答案】180°【分析】延长DE交BA的延长线于点F，根据平行线的性质，对顶角相等以及三角形内角和定理可得结论．【详解】解：延长DE交BA的延长线于点F，如图，∵∴ 又 ∴ 故答案为：180°14．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中是，那么的度数是_________．【答案】【分析】由平行线的性质可求得∠ABC+∠1=180°，∠ABC=∠2，据此可求得∠2.【详解】如图，
 ∵AD// BC，∴∠2=∠ABC，∵AB// CD，∴∠1+∠ABC= 180° ,∴∠ABC= 180°-∠1=180°-70°=110°∴∠2=110°，故答案为: 110°.15．如图所示，在正方形网格中，点A，B，C，D为网格线的交点，线段与交于点O．则的面积与面积的大小关系为：_________（填“＞”，“＝”或“＜”）．【答案】=【分析】首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABD与△ABC为直角三角形，则推出AD∥BC，从而利用平行线间的距离处处相等得到，从而推出结论即可．【详解】由题意，，，，∵，∴△ABD为直角三角形，∠BAD=90°，同理，对于△ABC，也满足，∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，∴∠BAD+∠ABC=180°，∴AD∥BC，∵平行线间的距离处处相等，∴，∴，即：，故答案为：=．三、解答题16．如图，为的直径，点C，点D在上，且点C是的中点，是的切线且交的延长线于点E，连接．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）4．
 【分析】（1）连接OD，根据点C是的中点得到∠AOC=∠COD，再根据是的切线且得到OD∥AE，得到∠ACO=∠COD=∠AOC, 再由OA=OC，得到∠ACO=∠CAO=∠AOC即可证明；（2）连接CD，由（1）证得三角形OAC为等边三角形，同理也可证明三角形COD为等边三角形，从而得到∠CDE=30°，再根据三角函数求解即可．【详解】解：（1）如图所示，连接OD∵点C是的中点∴∠AOC=∠COD又∵是的切线且∴OD⊥DE，AE∥OD∴∠ACO=∠COD=∠AOC∵OA=OC∴∠ACO=∠CAO=∠AOC即三角形AOC为等边三角形．（2）如图所示，连接CD由（1）证得三角形AOC是等边三角形∴∠ACO=∠COD=∠AOC=60°又∵OD=OC∴三角形COD为等边三角形∴∠CDO=60°又∵∠ODE=90°∴∠CDE=30°∴ 17．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于点F．（1）求证：∠BAD＝∠CBE；（2）过点A作AB的垂线交BE的延长线于点G，连接CG，依据题意补全图形；若∠AGC＝90°，试判断BF、AG、CG的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2），见解析．【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠C，然后利用等角的余角相等即可证明；（2）如图：先根据题意补全图形，再连接CF，再证明∠ACF=∠ABG=∠GAC，可得AG//FC，再根据平行线的性质可得∠FCG=∠AGC=90°，进一步证得∠GAF=∠GFA，即AG=FG，然后利用勾股定理得到CF2+CG2=FG2即可证明．【详解】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC∴∠BAD＝∠CAD∠CBE＋∠BFD＝90°∵BE⊥AC∴∠CAD＋∠AFE＝90°∵∠BFD＝∠AFE∴∠CBE＝∠CAD∠BAD＝∠CBE；（2）依据题意补全图形；结论：证明：连结CF．∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AF＝AF∴△ABF≌△ACF∴∠ACF＝∠ABG，BF＝FC∵∠BAG＝90°，∴∠GAE＋∠BAC＝90°∵∠ABG＋∠BAC＝90°∴∠ACF＝∠ABG＝∠GAC．∴AG//FC∴∠FCG＝∠AGC＝90°∵∠GAF＋∠BAD＝90°∠GFA＋∠DAC＝90°∴∠GAF＝∠GFA∴AG＝FG在Rt△FCG中，∵∴．18．如图1，，在、内有一条折线．（1）求证：；（2）如图2，已知的平分线与的平分线相交于点，试探索与之间的关系．（3）已知，，有与的关系为________．（直接写结论）【答案】(1)见详解；（2）∠EPF+2∠EQF=360°；（3）∠P+n∠Q=360°．【分析】（1）首先过点P作PG∥AB，然后根据AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP=∠EPF即可．（2）首先由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，推得∠EQF=12×(360°−∠EPF)，即可判断出∠EPF+2∠EQF=360°．（3）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，推得∠Q=×（360°-∠P），即可判断出∠P+n∠Q=360°．【详解】（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，
 ∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，又∵∠1+∠2=∠EPF，∴∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，
 由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，∴∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）又∵∠BEP=180°-∠AEP，∠DFP=180°-∠CFP∴∠BEP+∠DFP=360°-（∠AEP+∠CFP）∴∠EQF=×，即:2∠EQF+（∠AEP+∠CFP）=360°∴∠EPF+2∠EQF=360°．(3)由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，∵∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）=[360°-（∠AEP+∠CFP）]=×（360°-∠P），∴∠P+n∠Q=360°．故答案为：∠P+n∠Q=360°．