考点10分式方程（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

这是一份考点10分式方程（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版），共11页。试卷主要包含了解分式方程，由实际问题抽象出分式方程，分式方程的应用等内容，欢迎下载使用。
考点10分式方程考点总结一、解分式方程1．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论；（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验。2．换元法解分式方程（1）解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，叫做换元法；换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理；（2）我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。3．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根；（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根；（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根。二、由实际问题抽象出分式方程在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等。三、分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答，列分式方程解应用题一定要等量关系;例如：行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间。 真题演练 一、单选题1．2021年3月12日，为了配合创建文明、宜居的北京城市中心，通州区某学校甲、乙两班学生参加城市公园的植树造林活动．已知甲班每小时比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用时间与乙班植70棵树所用时间相同．如果设甲班每小时植树x棵，那么根据题意列出方程正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题需重点理解：甲班植60棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等，等量关系为：甲班植60棵树所用的天数＝乙班植70棵树所用的天数，根据等量关系列式．【详解】解：设甲班每小时植树x棵，则甲班植60棵树所用的天数为，乙班植70棵树所用的天数为，∴ 列方程为：故选：B2．某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展．北京展览馆距离该校12千米．1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度，设1号车的平均速度为xkm/h，可列方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先设1号车的平均速度为x千米/时，则2号车的平均速度是1.2x千米/时，进而利用1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达得出等式求出答案．【详解】解：设1号车的平均速度为x千米/时，则2号车的平均速度是1.2x千米/时，根据题意可得：故选A．3．若分式方程无解，则m的值为（     ）A．－1 B．－3 C．0 D．－2【答案】B【详解】试题解析：去分母得：3x=m+2（x+1），
解得：x=m+2．
m+2+1=0，
解得：m=-3．
故选B．4．甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x小时，据题意可列出方程为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可以得到甲乙两队的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．【详解】解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半，∴甲队的工作效率为设乙队单独完成此项工程需要x小时，∴甲队的工作效率为由题意可得，，故选：C．5．若关于x的二次函数，当时，y随着x的增大而减小，且关于x的分式方程有正数解，那么所有满足条件的整数a的值有（    ）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】B【分析】先解分式方程求出，关于x的分式方程有正数解满足2﹣＞0利用二次函数，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求出对称轴x＝﹣≥﹣2，求出的范围﹣4≤＜2，且≠1即可．【详解】解：∵∴1+1﹣x＝2（2﹣x）∴（2﹣）x＝2∴关于x的分式方程有正数解∴＞0∴2﹣＞0∴＜2但该分式方程当x＝2时显然是增根，故当＝1时不符合题意，舍去．∵二次函数，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小∴其对称轴x＝﹣≥﹣2∴≥﹣4∴﹣4≤＜2，且≠1符合条件的整数的值有﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0，共5个故选B．6．某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50km，则方程 所表达的等量关系是（     ）A．提速前列车行驶s km与提速后行驶(s＋50)km的时间相等B．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v kmC．提速后列车行驶(s＋50)km的时间比提速前列车行驶s km多v hD．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km【答案】B【分析】根据题意可以知道s+50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，根据路程=速度×时间公式即可得到答案，【详解】解：∵用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50km∴s+50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，∵某次列车平均提速v km/h，路程=速度×时间∴方程表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km，故选B.7．关于x的分式方程3＝0有解，则实数m应满足的条件是（　　）A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2【答案】B【分析】解分式方程得：即，由题意可知，即可得到.【详解】解：方程两边同时乘以得：，∴，∵分式方程有解，∴，∴，∴，∴，故选B.8．若关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ）A． B．b≤6且b≠4 C．b＜6且b≠4 D．b＜6【答案】B【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求b的取值范围．【详解】解：去分母得，2x－b＝3x－6，∴x＝6－b，∵x≥0，∴6－b≥0，解得，b≤6，又∵x－2≠0，∴x≠2，即6－b≠2，b≠4，则b的取值范围是b≤6且b≠4，故选：B．9．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树万棵，由题意得到的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．【详解】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，∴实际每天植树（x+0.3x）万棵，需要天完成，∵提前2天完成任务，∴-=2，故选：A．10．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中白球的个数约为（    ）A．10 B．15 C．20 D．30【答案】C【分析】先由频率=频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．【详解】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，设口袋中大约有x个白球，则，解得x=20．经检验，x=20是原方程的解，所以，口袋里有白球约20个，故选：C． 二、填空题11．随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大．为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度．现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x万件，依据题意列出关于x的方程________．【答案】【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x＋30）万件产品，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x＋30）万件产品，
依题意，得：．
故答案为：．12．方程的解为______________．【答案】【分析】根据分式方程的解法可直接进行求解．【详解】解：，∴，经检验：是原方程的解．故答案为：x=3．13．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做个，甲做个所用的时间与乙做 个所用的时间相同，求甲每小时做中国结的个数. 如果设甲每小时做个，那么可列方程为_______．【答案】【分析】先用含x的代数式表示出甲做个所用的时间与乙做个所用的时间，然后根据二者时间相同即可列出方程．【详解】解：设甲每小时做个，则乙每小时做（x+6）个，根据题意，得：．故答案为：．14．已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为       ．【答案】n＜2且【详解】分析：解方程得：x=n﹣2，∵关于x的方程的解是负数，∴n﹣2＜0，解得：n＜2．又∵原方程有意义的条件为：，∴，即．∴n的取值范围为n＜2且．15．2019年2月，全球首个5G火车站在上海虹桥火车站启动.虹桥火车站中5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的10倍.在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络比4G网络快720秒，求这两种网络的峰值速率.设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，依题意，可列方程为___.【答案】【分析】设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆，根据在峰值速率下传输8千兆数据，5G网络快720秒列出方程即可．【详解】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x千兆，则5G网络的峰值速率为每秒传输10x千兆，
根据题意，得．
故答案为． 三、解答题16．解分式方程：．【答案】【分析】把分式方程化为整式方程，解整式方程并检验可得答案．【详解】解：．． ．．  经检验，是原方程的解．∴原方程的解是．17．观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果．解分式方程：1﹣＝．解：去分母，得2x+2﹣（x﹣3）＝3x，…步骤1去括号，得2x+2﹣x﹣3＝3x，…步骤2移项，得2x﹣x﹣3x＝2﹣3，…步骤3合并同类项，得﹣2x＝﹣1，…步骤4解得x＝．…步骤5所以，原分式方程的解为x＝．…步骤6【答案】x＝1，详见解析【分析】根据解分式方程的步骤来分析，记得验根．【详解】出错的步骤：步骤1：去分母时，方程两边同时乘2（x+1），等号右边应该是6x；步骤2：遇到负号去括号时要变号，等号左边﹣3改成+3；步骤3：移项要变号，等号右边是3﹣2；步骤6：分式方程的根要检验．正确结果：1﹣＝．2x+2﹣（x﹣3）＝6x2x+2﹣x+3＝6x2x﹣x﹣6x＝﹣2﹣3﹣5x＝﹣5x＝1检验：把x＝1代入2（x+1）≠0，所以原分式方程的解是x＝118．奥林匹克森林公园南园（奥森南园）是深受北京长跑爱好者追捧的跑步地点．小华和小萱相约去奥森南园跑步踏青，奥森南园有5千米和3千米的两条跑道（如图所示）．小华选择了5千米的路线，小萱选择了3千米的路线，已知小华平均每分钟比小萱平均每分钟多跑100米，两人同时出发，结果同时到达终点．求小萱的速度．【答案】150米/分【分析】我们可以根据他们的速度之间关系假设未知数，假设小萱的速度为x米/分，则小华的速度为米/分，再根据两人所用的时间相同，列方程求解．【详解】解：设小萱的速度为x米/分，则小华的速度为米/分．由题意得整理，得解得经检验，是原方程的解，且符合题意．答：小萱的速度为150米/分．