考点09平面直角坐标系与函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版）

这是一份考点09平面直角坐标系与函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考点09平面直角坐标系与函数
考点总结
知识点一：平面直角坐标系
关键点拨及对应举例
1.相关概念
（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．
（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．
点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).
2.点的坐标特征
( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：
点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；
点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；
点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；
点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.
（2） 坐标轴上点的坐标特征：
①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.
（3）各象限角平分线上点的坐标
①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；
②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数
（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：
①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；
③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．
（5）点M（x,y）平移的坐标特征：

M（x,y） M1(x+a,y)

M2(x+a,y+b)

（1）坐标轴上的点不属于任何象限.
（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.
（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.
3.坐标点的距离问题
（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．
（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：
点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；
点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．
平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.
知识点二：函 数
4.函数的相关概念
（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．
（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.
（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．
失分点警示
函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.
5.函数的图象
（1）分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：
①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.
真题演练

一、单选题
1．（2021·山东禹城·二模）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点，作正方形；延长交x轴于点，作正方形…按这样的规律进行下去，正方形的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论．
【详解】
解：∵正方形ABCD的点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA＝1，OD＝2，AD，，
延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，
∴△AA1B∽△DAO，
∴，
∵AD＝AB，
∴A1B，
∴第1个正方形的面积为：S1＝A1C2＝（）2＝5•（）2；
同理可得，A2C2＝（）2
第2个正方形的面积为：S2＝5•（）4
…
第n个正方形的面积为：S2＝5•（）2n
∴第2021个正方形的面积为：S2021＝5•（）4042．
故选：D．
2．（2021·山东郓城·一模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，．先将线段沿轴翻折得到线段，再将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若点的坐标为，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
只要证明是等腰直角三角形即可解决问题；
【详解】
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∴；
故答案选B．
3．（2021·山东牟平·一模）如图，，，，…均为斜边在轴上且斜边长分别为2，4，6…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别是，，，则按图中所示规律，点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据图形得到规律：当脚码是1、5、时，横坐标是脚码加3和的一半，纵坐标为0；当脚码是2、6、时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是3、7、时，横坐标是脚码减3差的一半的相反数，纵坐标为0；当脚码是4、8、时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半．然后确定出第2021个点的坐标即可．
【详解】
解：各三角形都是等腰直角三角形，
直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，
，，，，，，，，，，，，，
由上可知，当脚码是1、5、时，横坐标是脚码加3和的一半，纵坐标为0；当脚码是2、6、时，横坐标为1，纵坐标为脚码的一半的相反数；当脚码是3、7、时，横坐标是脚码减3差的一半的相反数，纵坐标为0；当脚码是4、8、时，横坐标是2，纵坐标为脚码的一半．
，
点在轴正半轴上，横坐标是，纵坐标是0，
∴的坐标为．
故选：B．
4．（2021·山东高唐·一模）关于x的一元二次方程有实数根，则点在（　　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】
根据一元二次方程有实数根可得m-1≠0且，求出m的范围，可得m-3＜0，-m+4＞0，从而判断结果．
【详解】
解：∵是一元二次方程，且有实数根，
∴m-1≠0且，
解得：且m≠1，
∴m-3＜0，-m+4＞0，
∴在第二象限，
故选B．
5．（2021·山东南区·一模）是网格中的格点三角形（三角形的各顶点都在网格的交叉点上），如图建立直角坐标系，将该三角形先向下平移2个单位，然后再将平移后的图形沿y轴翻折，得到，则点B对应点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据网格求出点B坐标，向下平移2个单位，点 B的横坐标不变，纵坐标减2得对应点B1的坐标，再沿y轴翻折，横坐标变为相反数，纵坐标不变即可得出点B′（-4，3）．
【详解】
解：∵点B坐标为（4，5）
向下平移2个单位，得点B对应点的坐标B1（4，5-2），即B1（4，3），
再沿y轴翻折，
点B′（-4，3），
故选择A．
6．（2020·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据点到坐标轴的距离及点所在的象限解答即可.
【详解】
设点M的坐标为（x，y），
∵点M到x轴的距离为4，
∴，
∴，
∵点M到y轴的距离为5，
∴，
∴，
∵点M在第四象限内，
∴x=5，y=-4，
即点M的坐标为（5，-4）
故选：D.
7．（2021·山东莱阳·一模）第一次：将点绕原点逆时针旋转得到；
第二次：作点关于轴的对称点；
第三次：将点绕点逆时针旋转得到；
第四次：作点关于轴的对称点…，
按照这样的规律，点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先根据旋转变换和轴对称变换得出、、、、，从而可知每4个点的坐标为一周期循环，据此可得．
【详解】
由题意可知，、、、、，
∴每4个点的坐标为一周期循环，
∵余1，
∴点的坐标与点的坐标一致，为，
故选：B．
8．（2021·山东·胶州市初级实验中学一模）如图，长方形的各边分别平行于轴或轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】
∵ 矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，
∴物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇；
…
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵2012÷3=670…2，
故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇，
此时相遇点的坐标为：（-1，-1），
故选：D．
9．（2021·山东省青岛实验初级中学模拟预测）如图，已知正方形的对角线相交于点，顶点的坐标分别为，规定“把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位”为一次变换，如此这样，连续经过次变换后，点的坐标变为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由正方形的性质可得点M坐标，由折叠性质和平移性质可得点M的变化规律，即可求解；
【详解】
∵正方形ABCD的顶点A，B，C分别是，
∴正方形ABCD的对角线的交点M的坐标为，
∵把正方形先沿轴翻折，再向右平移个单位”为一次变换，
∴第一次变换后M的坐标为，第二次变换后的坐标，第三次变换后的坐标，第四次变换后的坐标，
可发现第n次后，当n为偶数，点M的坐标为，
∴连续经过第2020次时，点M的坐标为，故坐标为．
故选A．
10．（2021·山东兰山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．
【详解】
设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．


二、填空题
11．（2021·山东蓬莱·一模）如图，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，……，Rt△OA2020A2021，若点A0（－1，0），则点A2021的横坐标为__________________．

【答案】
【分析】
由30°直角三角形性质解直角三角形求出、，根据图形变化得出规律，即可得出结果．
【详解】
解：∵∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，，
∴，
又，，
∴，
同理：，
的长度为；
，
与重合，
点的横坐标为，
故答案为．
12．（2021·山东泰安·一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为____________．

【答案】
【分析】
根据题意，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标系中点与象限的关系，确定一部分点的坐标，从坐标中寻找其中的规律计算即可．
【详解】
∵等腰直角三角形的直角边在轴的正半轴上，且，
∴（0，1），；

根据勾股定理，得，
∴，
∴，；
根据勾股定理，得，
∴，
∴，
∴；
根据勾股定理，得，
∴，
∴，；
根据勾股定理，得，
∴，
∴；
∴坐标的循环节为8，
∵2021÷8=252…5，
∴的坐标与的规律相同，
∵-4=
∴的纵坐标为=，
∴的坐标为，
故答案为：．
13．（2021·山东·临清市教育和体育局教科研中心一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为________．

【答案】
【分析】
根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标．
【详解】
解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y=x，A1（1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y=x+2，
解，得或，
∴A2（2，4），
∴A3（2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y=x+6，
解，得或，
∴A4（3，9），A5（3，9）,
A6(4,16),A7(-4,16)
A8(4,16),A9(-4,16)…，
A2n(n+1,(n+1)2), A7(-n-1,(n+1)2)
∴点的坐标为．
故答案为：．
14．（2021·山东茌平·二模）如图，若在象棋棋盘上建立直角坐标系，使“帥”位于点，“炮”位于点，则“兵”位于的点的坐标为_______．

【答案】
【分析】
直接利用“帅”位于点（-3，-2），即可得出原点的位置，进而得出“兵”位于的点的坐标．
【详解】
解：如图所示：根据“帥”位于点，“炮”位于点建立平面直角坐标系，则“兵”位于的点的坐标为：（-5，1）．
故答案为：（-5，1）

15．（2021·山东潍坊·中考真题）在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 _______．

【答案】2022
【分析】
终点在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值．
【详解】
解：∵是第四象限的点，
∴落在第四象限．
∴在第四象限的点为
∵
∴
故答案为：2022

三、解答题
16．（2020·山东平原·模拟预测）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为格点顶点是网格线的交点的两个顶点坐标分别是，．

请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标；
以O为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为1：2，并计算的面积．
【答案】（1）作图见解析，；（2）作图见解析，6
【分析】
（1）根据，的坐标，画出坐标系，求出点C的坐标；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案,计算三角形的面积式利用△A1B1C1所在矩形面积，减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】
解：（1），如图所示：

（2）=.
17．（2020·北京·人大附中模拟预测）在平面直角坐标系中，对于平面中的点，和图形，若图形上存在一点，使，则称点为点关于图形的“折转点”，称为点关于图形的“折转三角形”
（1）已知点，
①在点，，中，点关于点的“折转点”是______；
②点在直线上，若点是点关于线段的“折转点”，求点的横坐标的取值范围；
（2）的圆心为，半径为3，直线与，轴分别交于，两点，点为上一点，若线段上存在点关于的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出的取值范围．
【答案】（1）①，；②点的横坐标取值范围是；（2）或
【分析】
（1）①根据“折转点”的定义，判断给出的Q点坐标中，哪个能够使；
②点为点关于线段的折转点，则在线段上存在点，使得，
根据直线解析式的性质知道构成的“折转三角形”一定是等腰直角三角形，画出图象，取临界状态，再由等腰直角三角形的性质求D的横坐标范围；
（2）根据题意分析出圆心T到线段EF上一点Q的距离是个定值，然后画图进行分类讨论，分别求出几种临界状态下t的值，最终得到t的取值范围．
【详解】
（1）①根据“折转点”的定义，要使得的Q才是点O关于点A的“折转点”，
如图，根据各个点的坐标，
，，，则，
∴，是点O关于点A的“折转点”，
，，，则，
∴，点O关于点A的“折转点”，
∵，∴不是，
故答案是：，；

②如图，点为点关于线段的折转点，则在线段上存在点，使得，即在以为直径的圆上（不含，点），因此，当点在上运动时，所有可能的点组成的图形为：
以为圆心，半径为1的圆，和以为圆心，半径为2的圆及其之间的部分，（不含轴上的点）．直线与内圆交于，与外圆交于，线段即为直线上点可能的位置，

过点作轴于，连接，则，因为直线，，因此为等腰直角三角形，，由三线合一，知，为，即点横坐标为1，
同理可得，点横坐标为2，
∴点的横坐标取值范围是；
（2）根据题意，记线段EF上的点是Q，当上存在一点C，使的时候，则线段EF上存在点P关于的“折转点”，
∵“折转三角形”是等腰直角三角形，
∴Q点一定在线段PC的垂直平分线上，
∵点P、C都是圆上的点，线段PC是的弦，
∴圆心T也在线段PC的垂直平分线上，
∴T和Q是共线的，且它们之间的距离是固定的，
∵等腰直角三角形的底是2，
∴Q到线段PC的距离是1，
∵的半径是3，弦长PC是2，
∴根据垂径定理可以算出圆心T到线段PC的距离是，
∴，
根据直线求出、，
如图，当点Q在点F的位置上的时候，
①，，根据勾股定理求得，则；
②同上，则；
当点Q在点E的位置上的时候，
③，则；
④，则，
综上，t的范围是：或．

18．（2020·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．
(1)当m=3时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知点A(1，2)．试说明抛物线总经过点A；
(3)已知点B(0，2)，将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m的取值范围．
【答案】(1)(1，2)；(2)详见解析；(3)m=3或0