2022届高三数学二轮复习课件：专题二　第1讲　三角函数的图象与性质

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1.“1”的变换1=sin 2α+cs 2α=cs 2α(1+tan2α).2.三角函数图象变换
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或y=sin(ωx-φ).
这是针对函数中的单个变量x 而言的
3.三角函数的周期性
特别提醒函数y=|Asin(ωx+φ)|(Aω≠0)的最小正周期是y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)最小正周期的一半.
4.三角函数的奇偶性与对称性
(3)对于函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,没有对称轴,对称中心的横坐标由ωx+φ= (k∈Z)确定.
温馨提示正弦曲线、余弦曲线的对称轴恰好经过相应曲线的最高点或最低点,对称中心的横坐标分别是正弦函数和余弦函数的零点.
[例1-1](2021·吉林长春第二实验中学期中)在平面直角坐标系Oxy中,已知角α的终边上有一点P(1,2),点Q在角2α的终边上,且|OQ|=10,则点Q的坐标为(　　)A.(-6,-8)B.(-6,8)C.(6,-8) D.(6,8)
规律方法点的坐标与三角函数值的关系根据三角函数的定义,可以由给定角的终边上一点的坐标,求出该角的各个三角函数值;反之,当给定一个角的大小或该角的正、余弦值时,也可以求出角的终边上一点的坐标,即角θ的终边上一点P的坐标为P(rcs θ,rsin θ),其中r为点P到角的顶点的距离,据此可以实现角与点的坐标之间的联系,为三角换元方法奠定理论基础.
命题角度1　已知图象求解析式
方法技巧已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A通过看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法(1)由ω= 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.
(2021·全国甲,理16)已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足
规律方法三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强,在解题时容易出现错误,破解此类题的关键如下(1)定函数:一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象.(2)变同名:变换前后函数的名称要一样.(3)选方法:即选择变换方法,要注意:对于函数y=sin ωx(ω>0)的图象,向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y=sin ω(x+|φ|)的图象,而不是函数y=sin(ωx+|φ|)的图象.
命题角度1　正弦型函数的性质
规律总结研究正弦型函数性质的基本方法一般地,研究正弦型函数的性质时,首先应将函数解析式进行化简,转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)的形式,然后通过整体代换,结合正弦函数、余弦函数的基本性质进行求解.(1)求单调区间时,将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数或余弦函数的单调递增(减)区间,求出x的范围即为原函数的单调递增(减)区间.(2)求函数在闭区间上的最值时,应根据x所在的区间求出ωx+φ的取值范围,再结合正弦函数或余弦函数的图象确定函数的最值.(3)判断对称轴或对称中心时,可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质进行检验判断.
命题角度2　非正弦型函数的性质
名师点析回归定义研究三角函数的性质在研究三角函数性质时,如果函数不能化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)等形式,可借助复合函数的单调性法则或导数研究其单调性或最值,可用周期的定义、轴对称或中心对称的一般条件来判断函数的周期、函数图象的对称轴或对称中心.(1)若非零实数t使得f(x+t)=f(x)对x∈R恒成立,则可推出t是函数f(x)的一个周期.(2)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)或f(2a+x)=f(-x),f(2a-x)=f(x)等,则可判断函数f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(a-x)或f(2a+x)=-f(-x),f(2a-x)=-f(x)等,则可判断函数f(x)的图象关于点(a,0)对称.
(2021·湖南长沙高三模拟)已知函数f(x)=|sin x|-|cs x|,则下列说法正确的是(　　)A.f(x)的值域为[-1,1]
解析 由于f(x+π)=|sin(x+π)|-|cs(x+π)|=|sin x|-|cs x|,所以f(x)的最小正周期不是2π,故C错误;