2022年高考三轮复习之回归基础练第10练　复数与平面向量

这是一份2022年高考三轮复习之回归基础练第10练　复数与平面向量，共11页。


考点一 复数
要点重组
1．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)：
(1)当z为纯虚数时：a＝0且b≠0.
(2)z的共轭复数：eq \x\t(z)＝a－bi.
(3)|z|＝eq \r(a2＋b2).
2．复数的几何意义：
z＝a＋bi(a，b∈R)eq \(,\s\up7(一一对应))复平面内的点Z(a，b)．
3．复数的运算：
(1)复数的乘法类似于多项式的乘法，复数的除法的实质就是“分母实数化”．
(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
1．(2020·全国Ⅲ)复数eq \f(1,1－3i)的虚部是( )
A．－eq \f(3,10) B．－eq \f(1,10) C.eq \f(1,10) D.eq \f(3,10)
答案 D
解析 z＝eq \f(1,1－3i)＝eq \f(1＋3i,10)＝eq \f(1,10)＋eq \f(3,10)i，虚部为eq \f(3,10).
2．(2020·全国Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|等于( )
A．0 B．1 C.eq \r(2) D．2
答案 D
解析 方法一 z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，
|z2－2z|＝|－2|＝2.
方法二 |z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|
＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2.
3．(2020·福建厦门双十中学模拟)已知i是虚数单位，a∈R，若复数z＝a＋(1－a)i的共轭复数eq \x\t(z)在复平面内对应的点位于第三象限，且z·eq \x\t(z)＝5，则z等于( )
A．－1＋2i B．－1－2i
C．2－i D．－2＋3i
答案 A
解析 由z·eq \x\t(z)＝5可得a2＋(1－a)2＝5，
解得a＝－1或a＝2，所以z＝－1＋2i或z＝2－i，因为eq \x\t(z)在复平面内对应的点位于第三象限，所以z＝－1＋2i.
4．(2020·济南模拟)任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成z＝r(cs θ＋isin θ)(其中r≥0，θ∈R)的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现：[r(cs θ＋isin θ)]n＝rn(cs nθ＋isin nθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“m为偶数”是“复数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4)))m为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4)))m＝cs eq \f(mπ,4)＋isin eq \f(mπ,4)为纯虚数，故cs eq \f(mπ,4)＝0且sin eq \f(mπ,4)≠0，故m＝2＋4k，k∈Z，故“m为偶数”是“复数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)＋isin \f(π,4)))m为纯虚数”的必要不充分条件．故选B.
考点二 平面向量的线性运算
要点重组
1．进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
2．常用结论：
(1)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得eq \(OC,\s\up6(→))＝seq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(OB,\s\up6(→))，且s＋t＝1，s，t∈R.
(2)在△ABC中，AD是BC边上的中线，则eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
(3)在△ABC中，O是△ABC内一点，若eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，则O是△ABC的重心．
5．(2018·全国Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
答案 A
解析 作出示意图如图所示．
eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).
6．(多选)设a，b是不共线的两个平面向量，已知eq \(PQ,\s\up6(→))＝a＋sin α·b，其中α∈(0,2π)，eq \(QR,\s\up6(→))＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(5π,6) C.eq \f(7π,6) D.eq \f(11π,6)
答案 CD
解析 因为a，b是不共线的两个平面向量，
所以2a－b≠0.
即eq \(QR,\s\up6(→))≠0，因为P，Q，R三点共线，
所以eq \(PQ,\s\up6(→))与eq \(QR,\s\up6(→))共线，所以存在实数λ，使eq \(PQ,\s\up6(→))＝λeq \(QR,\s\up6(→))，
所以a＋sin α·b＝2λa－λb，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝2λ，,sin α＝－λ，))解得sin α＝－eq \f(1,2).
又α∈(0,2π)，故α可以为eq \f(7π,6)或eq \f(11π,6).
7．(多选)过△ABC的重心G作直线l，已知l与AB，AC的交点分别为M，N，eq \f(S△ABC,S△AMN)＝eq \f(20,9)，若eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，则实数λ的值可以为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
答案 BD
解析 设eq \(AN,\s\up6(→))＝xeq \(AC,\s\up6(→))(x∈R)，
因为G为△ABC的重心，所以eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AG,\s\up6(→))，
即eq \f(1,3λ)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(1,3x)eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→)).
由于M，N，G三点共线，所以eq \f(1,3λ)＋eq \f(1,3x)＝1，
即x＝eq \f(λ,3λ－1)，
因为eq \f(S△ABC,S△AMN)＝eq \f(20,9)，
S△ABC＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|·sin∠BAC，
S△AMN＝eq \f(1,2)|eq \(AM,\s\up6(→))||eq \(AN,\s\up6(→))|·sin∠BAC，
所以eq \f(|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|,|\(AM,\s\up6(→))||\(AN,\s\up6(→))|)＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|,λx|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,λx)＝eq \f(20,9)，
即有eq \f(20λ2,3λ－1)＝9，
解得λ＝eq \f(3,4)或eq \f(3,5)，故选BD.
8．在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.
答案 eq \f(4,5)
解析 方法一 由eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，
得eq \(AB,\s\up6(→))＝λ·eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋μ·eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(μ,2)－1))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)＋\f(μ,2)))eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(μ,2)－1))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)＋\f(μ,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))))＝0，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)λ＋\f(3,4)μ－1))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(μ,2)))eq \(AD,\s\up6(→))＝0.
又∵eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))不共线，
∴由平面向量基本定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,4)λ＋\f(3,4)μ－1＝0，,λ＋\f(μ,2)＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(4,5)，,μ＝\f(8,5).))∴λ＋μ＝eq \f(4,5).
方法二 连接MN并延长交AB的延长线于T，
由已知易得AB＝eq \f(4,5)AT，∴eq \f(4,5)eq \(AT,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，即eq \(AT,\s\up6(→))＝eq \f(5,4)λeq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(5,4)μeq \(AN,\s\up6(→))，
∵T，M，N三点共线，∴eq \f(5,4)λ＋eq \f(5,4)μ＝1.
∴λ＋μ＝eq \f(4,5).
考点三 平面向量的数量积
要点重组
1．数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义．
2．可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题目中模和夹角已知的向量进行计算．
3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．
9．(2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cs〈a，a＋b〉等于( )
A．－eq \f(31,35) B．－eq \f(19,35) C.eq \f(17,35) D.eq \f(19,35)
答案 D
解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝25－12＋36＝49，
∴|a＋b|＝7，
∴cs〈a，a＋b〉＝eq \f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq \f(a2＋a·b,|a||a＋b|)
＝eq \f(25－6,5×7)＝eq \f(19,35).
10．(2020·常德模拟)在△ABC中，若|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|，AC＝6，AB＝3，E，F为BC边的三等分点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))等于( )
A．21 B．18 C．15 D．12
答案 C
解析 由题意知，在△ABC中，
|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))|，
所以eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，即∠ABC＝90°，
方法一 因为AC＝6，AB＝3，所以∠BAC＝60°，
则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|cs∠BAC＝9，
因为E，F为BC边的三等分点，
设eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
则eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AC,\s\up6(→))))
＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \f(5,9)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up6(→))2
＝eq \f(2,9)×32＋eq \f(5,9)×9＋eq \f(2,9)×62＝15.
方法二 以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
则A(0,3)，E(eq \r(3)，0)，F(2eq \r(3)，0)，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，－3)，eq \(AF,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)，－3)，
所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝6＋9＝15.
故选C.
11．(多选)已知△ABC的外接圆的圆心为O，且满足eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，若实数λ满足eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝λeq \(OC,\s\up6(→))，则λ的值可以为( )
A．－eq \r(2) B．－1
C．1 D.eq \r(2)
答案 AD
解析 依题意|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，
∵eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝λeq \(OC,\s\up6(→))，
两边平方得|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋|eq \(OB,\s\up6(→))|2＋2eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝λ2|eq \(OC,\s\up6(→))|2.
∴|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋|eq \(OB,\s\up6(→))|2＝λ2|eq \(OC,\s\up6(→))|2，
∴λ2＝2，
故λ＝±eq \r(2).
12．已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))|的取值范围为________________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，2\r(2)))
解析 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，
设eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，
故eq \(MD,\s\up6(→))＝(－λ，2－2λ)，eq \(MB,\s\up6(→))＝(2－λ，－2λ)，
则eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))＝(2－2λ，2－4λ)，
∴|eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))|＝eq \r(2－2λ2＋2－4λ2)
＝eq \r(20\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(3,5)))2＋\f(4,5))，0≤λ≤1，
当λ＝0时，|eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))|取得最大值为2eq \r(2)，
当λ＝eq \f(3,5)时，|eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))|取得最小值为eq \f(2\r(5),5)，
∴|eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MD,\s\up6(→))|∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，2\r(2))).
1．(多选)设复数z满足z(1－i)＝2(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A．|z|＝eq \r(2)
B．复数z的虚部是i
C.eq \x\t(z)＝－1＋i
D．复数z在复平面内所对应的点在第一象限
答案 AD
解析 因为z(1－i)＝2，所以z＝eq \f(2,1－i)＝eq \f(21＋i,1－i1＋i)＝1＋i，所以|z|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，所以A正确；z＝1＋i的虚部为1，所以B错误；z＝1＋i的共轭复数为eq \x\t(z)＝1－i，所以C错误；z＝1＋i在复平面内所对应的点为(1,1)，在第一象限，所以D正确．故选AD.
2.如图，在△ABC中，N是AC边上一点，且eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(NC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,3)
C．1 D．3
答案 B
解析 ∵eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(NC,\s\up6(→))，∴eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AN,\s\up6(→)).
又B，N，P三点共线，∴m＋eq \f(2,3)＝1，∴m＝eq \f(1,3).
3．(多选)在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，在下列命题中，是真命题的有( )
A．若a·b>0，则△ABC为锐角三角形
B．若a·b＝0，则△ABC为直角三角形
C．若a·b＝c·b，则△ABC为等腰三角形
D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC为直角三角形
答案 BCD
解析 在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b.
若a·b>0，则∠BCA是钝角，△ABC是钝角三角形，A错误；
若a·b＝0，则eq \(BC,\s\up6(→))⊥eq \(CA,\s\up6(→))，△ABC为直角三角形，B正确；
若a·b＝c·b，则b·(a－c)＝0，即eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝0，eq \(CA,\s\up6(→))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→)))＝0，取AC的中点D，则eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝0，所以BA＝BC，即△ABC为等腰三角形，C正确；
若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则a2＝(c－b)2，即b2＋c2－a2＝2b·c，即eq \f(b2＋c2－a2,2|b||c|)＝－cs A，由余弦定理可得cs A＝－cs A，即cs A＝0，即A＝eq \f(π,2)，即△ABC为直角三角形，故D正确．故选BCD.
4．在△ABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EB,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝λ|eq \(AC,\s\up6(→))|，若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝9eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))，则实数λ等于( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(6),3) D.eq \f(\r(6),2)
答案 D
解析 由eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
知O为△ABC的重心，
所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
又eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(EB,\s\up6(→))，
所以eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
9eq \(AO,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝3(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))－\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→))2＋3eq \(AC,\s\up6(→))2
＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))，
所以2eq \(AB,\s\up6(→))2＝3eq \(AC,\s\up6(→))2，
λ＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \r(\f(3,2))＝eq \f(\r(6),2)，
故选D.
5．已知eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \f(1,t)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝t，若P点是△ABC所在平面内一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)，则eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值为________．
答案 13
解析 以A为坐标原点，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)，
则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，C(0，t)，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)，0))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，t)，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋eq \f(4\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)＝(1,0)＋4(0,1)＝(1,4)，
∴P(1,4)，
∴eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)－1，－4))，eq \(PC,\s\up6(→))＝(－1，t－4)，
∴eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝1－eq \f(1,t)－4t＋16＝17－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)＋4t)).
∵t>0，∴eq \f(1,t)＋4t≥2eq \r(\f(1,t)·4t)＝4，
当且仅当eq \f(1,t)＝4t，即t＝eq \f(1,2)时取等号，
∴17－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)＋4t))≤13，即eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最大值为13.
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(eq \r(3)，1)在以原点O为圆心的圆上．已知圆O与y轴正半轴的交点为P，延长AP到点B，使得∠AOB＝90°，则eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝______，|eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))|＝________.
答案 2 2eq \r(3)
解析 由题意可得圆O的半径r＝eq \r(3＋1)＝2，
所以P(0,2)，
则AP所在直线的方程为y－2＝eq \f(2－1,0－\r(3))(x－0)，
即y＝－eq \f(\r(3),3)x＋2.
设Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，－\f(\r(3),3)x＋2))，
则eq \(OA,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，－\f(\r(3),3)x＋2)).
由∠AOB＝90°可得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，
所以eq \r(3)x－eq \f(\r(3),3)x＋2＝eq \f(2\r(3),3)x＋2＝0，
解得x＝－eq \r(3)，
所以B(－eq \r(3)，3)，所以eq \(BP,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，－1)，
所以eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \r(3)×eq \r(3)＋1×(－1)＝2，
|eq \(BP,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))|＝|(2eq \r(3)，0)|＝2eq \r(3).