2022年高考三轮复习之回归基础练第25练　直线与圆

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第25练　直线与圆
[考情分析]　近几年高考对本节考查的重点是直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，主要以小题形式考查，难度中等；也有时体现在圆锥曲线的综合问题上，难度稍大．

考点一　直线的方程
要点重组　
1．求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
2．要注意直线方程每种形式的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程既不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
3．讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
1．(2020·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f  ＝f ，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由f ＝f 知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(0)＝f ，所以a＝－b，则直线ax－by＋c＝0的斜率为k＝＝－1，所以该直线的倾斜角为，故选D.
2．(2020·洛阳模拟)已知直线l1：xsin α＋2y－1＝0，直线l2：x－ycos α＋3＝0，若l1⊥l2，则tan 2α等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　B
解析　直线l1：xsin α＋2y－1＝0，
直线l2：x－ycos α＋3＝0，
若l1⊥l2，则sin α－2cos α＝0，
即sin α＝2cos α，所以tan α＝2，
所以tan 2α＝＝＝－.
3．(多选)已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
答案　ABD
解析　对于动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，
当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A正确；
由方程组可得(2k＋1)x＝0，
对任意的k，此方程有解，可得l1与l2都有交点，故B正确；
因为当k＝－时，＝＝成立，此时l1与l2重合，故C错误；
由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，动直线l2的斜率为＝－1－≠－1，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确．
4．(2020·九江模拟)已知直线l1：kx＋y＋3＝0，l2：x＋ky＋3＝0，且l1∥l2，则k的值为________．
答案　－1
解析　∵直线l1：kx＋y＋3＝0，l2：x＋ky＋3＝0，
且l1∥l2，
∴－k＝－.
则k＝1或k＝－1.
当k＝1时，两直线重合．∴k＝－1.
考点二　圆的方程
要点重组　
1．圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
2．圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，圆心，半径为.
3．求圆的方程的方法：
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设圆的方程，再由条件求得各系数．
5．(2020·郑州模拟)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为(　　)
A．(x＋3)2＋(y＋2)2＝4
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝4
C．(x－4)2＋(y－6)2＝4
D．(x＋6)2＋(y＋4)2＝4
答案　C
解析　由圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4可得圆心坐标(－2,12)，半径为2，由题意可得关于直线x－y＋8＝0对称的圆的圆心与(－2,12)关于直线对称，半径为2，设所求的圆心为(a，b)则
解得a＝4，b＝6，
故圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4.
6．(2020·全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意可知圆心在第一象限，设为(a，b)．
∵圆与两坐标轴都相切，
∴a＝b，且半径r＝a，
∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵点(2,1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
当a＝1时，圆心坐标为(1,1)，
此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
d＝＝；
当a＝5时，圆心坐标为(5,5)，
此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
d＝＝.
综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为.
7．已知圆C过点(4,6)，(－2，－2)，(5,5)，点M，N在圆C上，则△CMN面积的最大值为(　　)
A．100 B．25 C．50 D.
答案　D
解析　设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将(4,6)，(－2，－2)，(5,5)代入可得，

解得D＝－2，E＝－4，F＝－20，
故圆C的一般方程为x2＋y2－2x－4y－20＝0，
即(x－1)2＋(y－2)2＝25，
故△CMN的面积S＝·|CM|·|CN|·sin∠MCN≤×5×5＝.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为______________，圆C被x轴截得的弦长为________．
答案　x2＋y2＋8x＋8y＝0　8
解析　将已知圆化为标准形式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3,3)，半径为3.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上，由于圆C过点(0,0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标为(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为4，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0，圆心C到x轴的距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×＝8.
考点三　直线、圆之间的位置关系
要点重组　
1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路：
研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差的绝对值与和的比较．
2．已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段组成的三角形的性质，转化为弦心距的长度问题，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可．
9．(多选)过点P(1,2)作直线l交圆x2＋y2＝4于A，B两点，且|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．x＝1 B．y＝2
C．3x－4y＋5＝0 D．3x＋4y－5＝0
答案　AC
解析　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝1，
代入x2＋y2＝4得，y＝±，
∴A(1，)，B(1，－)，
∴|AB|＝2，满足条件．
当直线l的斜率存在时设斜率为k，
l的方程为y－2＝k(x－1)，
则2＋()2＝4，
解得k＝，
所以直线l的方程为3x－4y＋5＝0，故选AC.
10．(2020·全国Ⅲ)若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋
C．y＝x＋1 D．y＝x＋
答案　D
解析　圆x2＋y2＝的圆心为原点，半径为，经检验原点到选项A，D中的直线y＝2x＋1，y＝x＋的距离均为，即两直线与圆x2＋y2＝均相切，原点到选项B，C中的直线y＝2x＋，y＝x＋1的距离均不是，即两直线与圆x2＋y2＝均不相切，所以排除B，C.对于A选项，y＝2x＋1与y＝联立可得2x－＋1＝0，此时方程无解，所以排除A.
11．(2020·全国Ⅰ)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
答案　D
解析　⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，
则圆心M(1,1)，⊙M的半径为2.
如图，由题意可知PM⊥AB，

∴S四边形PAMB＝|PM|·|AB|
＝|PA|·|AM|＝2|PA|，
∴|PM|·|AB|＝4|PA|
＝4.
当|PM|·|AB|最小时，|PM|最小，此时PM⊥l.
故直线PM的方程为y－1＝(x－1)，
即x－2y＋1＝0.
由得∴P(－1,0)．
又∵点M到直线x＝－1的距离为2，PA与⊙M相切，且A为切点，
∴直线PA即为直线x＝－1，
∴PA⊥x轴，PA⊥MA，∴A(－1,1)．
又直线AB与l平行，
设直线AB的方程为2x＋y＋m＝0，
将A(－1,1)代入2x＋y＋m＝0，得m＝1.
∴直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.
12．(2020·漳州模拟)已知圆O：x2＋y2＝1, 圆N：(x－a＋2)2＋(y－a)2＝1. 若圆N上存在点Q，过点Q作圆O的两条切线．切点为A，B，使得∠AQB＝60°，则实数a的取值范围是_________．
答案　
解析　由已知得|QO|＝2，
即点Q的轨迹方程为圆T：x2＋y2＝4，
问题转化为圆N和圆T有公共点，
则1≤≤3，
故1－≤a≤1＋.

1．已知命题p：“m＝－1”，命题q：“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”，则命题p是命题q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　“直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m2＝0⇔m＝±1.
∴命题p是命题q的充分不必要条件．
2．已知圆x2＋y2－2x＋2y＋a＝0截直线x＋y－4＝0所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为(　　)
A．(2－，2＋) B．(2－，2)
C．(－15，＋∞) D．(－15,2)
答案　D
解析　由题意知，
圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2－a，
则圆心为(1，－1)，
半径为，则2－a>0，
解得a<2.
圆心到直线x＋y－4＝0的距离为d＝＝2，
∴2<6，
解得a>－15，
综上所述，a∈(－15,2)．
3．(多选)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x＋y－8＝0 D．x＋y－10＝0
答案　AD
解析　根据题意，圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，
其圆心C(3,3)，半径r＝6，
若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则圆心到直线的距离为2，则有d＝＝2，
变形可得|6－m|＝4，
解得m＝2或10，
即l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－10＝0.
4．(多选)设直线l：3x＋4y＋a＝0，圆C：(x－2)2＋y2＝2，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ＝90°，则a的取值可能是(　　)
A．－18 B．－16 C．0 D．4
答案　BCD
解析　设直线l：3x＋4y＋a＝0上任意一点M1.
当M1Q，M1P分别与圆相切时，∠PM1Q最大，随着M1的运动，当CM1与直线l垂直时，∠PM1Q取到最大值，此时四边形CPM1Q为正方形，|CM1|＝2.利用点到直线的距离公式得＝2，解得a＝－16或a＝4，只需∠PM1Q≥90°，即|CM1|≤2，即可存在点M满足题意，所以a的取值范围是[－16,4]，结合选项知选BCD.
5．已知圆C：x2＋y2＝4与圆D：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0相交于A，B两点，则两圆连心线CD的方程为________，两圆公共弦AB的长为________．
答案　x＋2y＝0　
解析　圆D的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，则圆心D(2，－1)，又C(0,0)，则直线CD的方程为x＋2y＝0，两圆的公共弦AB所在直线的方程为2x－y＝4，则圆心C到直线AB的距离d＝，所以两圆公共弦AB的长为2＝2＝.
6．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．
答案　3
解析　由题意知，当k＝0时，l1⊥l2，此时点P(2,2)；当k≠0时，直线l1：kx－y＋2＝0的斜率为k，且经过点A(0,2)，直线l2：x＋ky－2＝0的斜率为－，且经过点B(2,0)，且直线l1⊥l2，所以点P落在以AB为直径的圆C上，其中圆心坐标为C(1,1)，半径为r＝，由圆心到直线x－y－4＝0的距离d＝＝2，所以点P到直线x－y－4＝0的最大距离为d＋r＝2＋＝3.