2022年高考三轮复习之回归基础练第13练　解三角形及其应用

这是一份2022年高考三轮复习之回归基础练第13练　解三角形及其应用，共11页。


考点一 三角形中基本量的求解
要点重组
利用正弦、余弦定理求解三角形中的基本量时应注意的问题
(1)已知两边及其中一边的对角求其余边或角时，要注意解的多样性与合理性；
(2)三角形的面积主要是利用S＝eq \f(1,2)absin C求解；
(3)有时可以直接利用余弦定理求出ab的整体再求面积，而不必分别求出a，b的值．
1．(2020·全国Ⅲ)在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则cs B等于( )
A.eq \f(1,9) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 A
解析 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs C＝42＋32－2×4×3×eq \f(2,3)＝9，
所以AB＝3，
所以cs B＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(9＋9－16,2×3×3)＝eq \f(1,9).
2．(2020·湖南四校调研联考)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(sin A,sin B＋sin C)＋eq \f(b,a＋c)＝1，则C等于( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
答案 B
解析 由正弦定理可得
eq \f(sin A,sin B＋sin C)＋eq \f(b,a＋c)＝eq \f(a,b＋c)＋eq \f(b,a＋c)＝1，
整理可得a2＋b2－c2＝ab.
所以由余弦定理的推论可得
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(ab,2ab)＝eq \f(1,2)，
又由C∈(0，π)，可得C＝eq \f(π,3).
3．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2，S△ABC＝2eq \r(3)，且ccs B＋bcs C－2acs A＝0，则有( )
A．A＝eq \f(π,3) B．C＝eq \f(π,2)
C．a＝eq \r(3) D．c＝2
答案 AB
解析 由正弦定理知，ccs B＋bcs C－2acs A＝0可化为sin Ccs B＋sin Bcs C－2sin Acs A＝0，即sin(B＋C)－2sin Acs A＝0，因为sin(B＋C)＝sin A，且sin A>0，所以cs A＝eq \f(1,2)，又04．(多选)(2020·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－eq \r(3)bc＝a2，bc＝eq \r(3)a2，则角C的大小是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(4π,3)
答案 AC
解析 由b2＋c2－eq \r(3)bc＝a2，得b2＋c2－a2＝eq \r(3)bc，
则cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3)bc,2bc)＝eq \f(\r(3),2)，
因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,6).
由bc＝eq \r(3)a2，得sin Bsin C＝eq \r(3)sin2A＝eq \r(3)×eq \f(1,4)＝eq \f(\r(3),4).
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－C))sin C＝eq \f(\r(3),4)，
即sin Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs C＋\f(\r(3),2)sin C))＝eq \f(\r(3),4)，
即2sin Ccs C＋2eq \r(3)sin2C＝eq \r(3)，
所以sin 2C＝eq \r(3)cs 2C，
所以tan 2C＝eq \r(3).因为C∈(0，π)，所以2C∈(0,2π)，
所以2C＝eq \f(π,3)或eq \f(4π,3)，
即C＝eq \f(π,6)或eq \f(2π,3).
5．(2020·衡水模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，eq \r(3)sin Acs C＋(eq \r(3)sin C＋b)cs A＝0，则A＝________.
答案 eq \f(5π,6)
解析 由eq \r(3)sin Acs C＋(eq \r(3)sin C＋b)cs A＝0，
得eq \r(3)sin Acs C＋eq \r(3)sin Ccs A＝－bcs A，
所以eq \r(3)sin(A＋C)＝－bcs A，即eq \r(3)sin B＝－bcs A，
又eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以eq \f(\r(3),cs A)＝eq \f(－b,sin B)＝－eq \f(a,sin A)，
又a＝1，所以eq \f(sin A,cs A)＝－eq \f(1,\r(3))⇒tan A＝－eq \f(\r(3),3)，
因为0＜A＜π，所以A＝eq \f(5π,6).
6．(2020·全国Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝eq \r(3)，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cs∠FCB＝________.
答案 －eq \f(1,4)
解析 在△ABD中，∵AB⊥AD，AB＝AD＝eq \r(3)，
∴BD＝eq \r(6)，∴FB＝BD＝eq \r(6).
在△ACE中，∵AE＝AD＝eq \r(3)，AC＝1，∠CAE＝30°，
∴EC＝eq \r(\r(3)2＋12－2×\r(3)×1×cs 30°)＝1，
∴CF＝CE＝1.
又∵BC＝eq \r(AC2＋AB2)＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，
∴在△FCB中，由余弦定理得
cs∠FCB＝eq \f(CF2＋BC2－FB2,2×CF×BC)＝eq \f(12＋22－\r(6)2,2×1×2)＝－eq \f(1,4).
考点二 解三角形的综合应用
要点重组
三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．
7．(2020·东莞模拟)如图，无人机在离地面200 m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°.已知∠MCN＝60°，则山的高度MN为( )
A．300 m B．300eq \r(3) m C．200eq \r(3) m D．275 m
答案 A
解析 ∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝45°，
∴AC＝eq \r(2)AB＝200eq \r(2)(m)．
又∵∠MCA＝180°－60°－45°＝75°，
∠MAC＝15°＋45°＝60°，∴∠AMC＝45°.
在△AMC中，∵eq \f(MC,sin∠MAC)＝eq \f(AC,sin∠AMC，)
∴MC＝eq \f(200\r(2)sin 60°,sin 45°)＝200eq \r(3)(m)．
∴MN＝MCsin∠MCN＝200eq \r(3)sin 60°＝300(m)．
8．(多选)(2020·豫北名校模拟)在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，则△ABC的形状可能为( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案 AB
解析 方法一 已知等式可化为
a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]
＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，
所以2a2cs Asin B＝2b2cs Bsin A.
由正弦定理，上式可转化为
sin2Acs Asin B＝sin2Bcs Bsin A，
所以sin Asin B(sin Acs A－sin Bcs B)＝0，
因为A，B均为△ABC的内角，所以sin A≠0，sin B≠0，
所以sin Acs A－sin Bcs B＝0，即sin 2A＝sin 2B.
由A，B∈(0，π)得0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，得2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝eq \f(π,2).
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
方法二 (同方法一)可得2a2cs Asin B＝2b2cs Bsin A.
由正弦、余弦定理，可得
a2·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)·b＝b2·eq \f(a2＋c2－b2,2ac)·a.
所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.
所以a＝b或a2＋b2＝c2，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
9．(2020·六安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(2a－c,b)＝eq \f(cs C,cs B)，b＝4，则△ABC的面积的最大值为( )
A．4eq \r(3) B．2eq \r(3) C．2 D.eq \r(3)
答案 A
解析 ∵在△ABC中，eq \f(2a－c,b)＝eq \f(cs C,cs B)，
∴(2a－c)cs B＝bcs C，
∴(2sin A－sin C)cs B＝sin Bcs C，
∴2sin Acs B＝sin Ccs B＋sin Bcs C
＝sin(B＋C)＝sin A，又sin A≠0，
∴cs B＝eq \f(1,2)，即B＝eq \f(π,3)，由余弦定理可得
16＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，
∴ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，
∴△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),4)ac≤4eq \r(3).
10．(2020·泰安模拟)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－6；
②b2＋c2＝52；
③△ABC的面积为3eq \r(15).
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b－c＝2，cs A＝－eq \f(1,4)，________.
(1)求a的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C＋\f(π,6)))的值．
解 方案一 选择条件①：
(1)eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝bccs A＝－6，
∵cs A＝－eq \f(1,4)，
∴bc＝24，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(bc＝24，,b－c＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝6，,c＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－4，,c＝－6))(舍)．
∴a2＝b2＋c2－2bccs A
＝36＋16－2×6×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝64，
∴a＝8.
(2)cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(64＋36－16,2×8×6)＝eq \f(7,8)，
∴sin C＝eq \r(1－\f(49,64))＝eq \f(\r(15),8)，
∴cs 2C＝2cs2C－1＝eq \f(17,32)，
sin 2C＝2sin Ccs C＝eq \f(7\r(15),32)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C＋\f(π,6)))＝cs 2Ccs eq \f(π,6)－sin 2Csin eq \f(π,6)
＝eq \f(17\r(3)－7\r(15),64).
方案二 选择条件②：
(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2＋c2＝52，,b－c＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝6，,c＝4)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－4，,c＝－6))(舍)．
∴a2＝b2＋c2－2bccs A
＝36＋16－2×6×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝64，
∴a＝8.
(2)同方案一．
方案三 选择条件③：
(1)∵cs A＝－eq \f(1,4)，∴sin A＝eq \f(\r(15),4)，
S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(15),8)bc＝3eq \r(15)，
∴bc＝24.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(bc＝24，,b－c＝2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝6，,c＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－4，,c＝－6))(舍)．
∴a2＝b2＋c2－2bccs A
＝36＋16－2×6×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))＝64，
∴a＝8.
(2)同方案一．
1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，B＝eq \f(π,4)，则A等于( )
A.eq \f(π,6) A.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)
答案 C
解析 在△ABC中，由正弦定理得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
又a＝eq \r(3)，b＝eq \r(2)，B＝eq \f(π,4)，
所以sin A＝eq \f(\r(3),2).因为a＞b，A∈(0，π)，
所以A＝eq \f(π,3)或A＝eq \f(2π,3).
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且4S＝b2＋c2－a2，a＝2，则△ABC的外接圆面积为( )
A．2π B．4π C．8π D．16π
答案 A
解析 ∵4×eq \f(1,2)bcsin A＝b2＋c2－a2，
∴sin A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
∴sin A＝cs A，
∴tan A＝1，又A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,4)，
∴2R＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(2,\f(\r(2),2))＝2eq \r(2)，即R＝eq \r(2)，
∴S圆＝πR2＝2π.
3．(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acs A＝bcs B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcs C＋ccs B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC是等边三角形
答案 ACD
解析 ∵tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C>0，
∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acs A＝bcs B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错误；
由bcs C＋ccs B＝b及正弦定理，
可知sin Bcs C＋sin Ccs B＝sin B，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，
∴选项D正确．
4．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若AC＝2，BC＝1，且CD＝eq \f(2\r(3),3)，则AB＝________，△ABC的面积为________．
答案 eq \r(3) eq \f(\r(3),2)
解析 根据角平分线定理得
eq \f(AC,BC)＝eq \f(AD,BD)＝2，
所以设AD＝2x，BD＝x，
所以由余弦定理得
cs∠ACD＝eq \f(AC2＋CD2－AD2,2·AC·CD)
＝eq \f(4＋\f(4,3)－4x2,2×2×\f(2\r(3),3))，
cs∠BCD＝eq \f(BC2＋CD2－BD2,2·BC·CD)＝eq \f(1＋\f(4,3)－x2,2×1×\f(2\r(3),3))，
因为CD平分∠ACB，
所以∠ACD＝∠BCD，
所以eq \f(4＋\f(4,3)－4x2,2×2×\f(2\r(3),3))＝eq \f(1＋\f(4,3)－x2,2×1×\f(2\r(3),3))，
解得x＝eq \f(\r(3),3)，
所以AB＝eq \r(3)，
在△ABC中，
cs∠ACB＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2·AC·BC)＝eq \f(4＋1－3,2×2×1)＝eq \f(1,2)，
因为∠ACB∈(0，π)，
所以sin∠ACB＝eq \f(\r(3),2)，
所以S△ABC＝eq \f(1,2)×2×1×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2).
5．(2020·德州期末)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：
①eq \f(b－a,c)＝eq \f(2\r(6)a＋3c,3a＋b)；②cs 2A＋2cs2eq \f(A,2)＝1；③a＝eq \r(6)；④b＝2eq \r(2).
(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？
(2)在(1)所有组合中任选一组，并求对应△ABC的面积．
(若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分)
解 (1)由①eq \f(b－a,c)＝eq \f(2\r(6)a＋3c,3a＋b)得，
3(a2＋c2－b2)＝－2eq \r(6)ac，
所以cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq \f(\r(6),3)，
由②cs 2A＋2cs2 eq \f(A,2)＝1得，
2cs2A＋cs A－1＝0，
解得cs A＝eq \f(1,2)或cs A＝－1(舍)，
所以A＝eq \f(π,3)，
因为cs B＝－eq \f(\r(6),3)<－eq \f(1,2)，
且B∈(0，π)，所以B>eq \f(2π,3)，所以A＋B>π，矛盾．
所以△ABC不能同时满足①，②.
故△ABC满足①，③，④或②，③，④.
(2)若△ABC满足①，③，④，
因为b2＝a2＋c2－2accs B，
所以8＝6＋c2＋2×eq \r(6)×c×eq \f(\r(6),3)，
即c2＋4c－2＝0.
解得c＝eq \r(6)－2(舍负)．
因为cs B＝－eq \f(\r(6),3)，B∈(0，π)，
所以sin B＝eq \f(\r(3),3)，
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \r(3)－eq \r(2).
若△ABC满足②，③，④，由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得eq \f(\r(6),\f(\r(3),2))＝eq \f(2\r(2),sin B)，解得sin B＝1，即B＝eq \f(π,2)，
所以c＝eq \r(2)，
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \r(3).
6．(2020·潍坊模拟)如图，在平面四边形ABCD中，△ABD中边BD所对的角为A，△BCD中边BD所对的角为C，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2eq \r(3).
(1)试问eq \r(3)cs A－cs C是否是定值，若是定值，请求出；若不是，请说明理由；
(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，求出Seq \\al(2,1)＋Seq \\al(2,2)的最大值．
解 (1)在△ABD中，由余弦定理得
BD2＝4＋12－8eq \r(3)cs A＝16－8eq \r(3)cs A,
在△BCD中，
由余弦定理得BD2＝4＋4－8cs C＝8－8cs C，
16－8eq \r(3)cs A＝8－8cs C，
则8(eq \r(3)cs A－cs C)＝8，
所以eq \r(3)cs A－cs C＝1，
所以eq \r(3)cs A－cs C为定值1.
(2)S1＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)sin A＝2eq \r(3)sin A，
S2＝eq \f(1,2)×2×2sin C＝2sin C，
则Seq \\al(2,1)＋Seq \\al(2,2)＝12sin2A＋4sin2C
＝16－(12cs2A＋4cs2C)，
由(1)知，eq \r(3)cs A－1＝cs C，代入上式得
Seq \\al(2,1)＋Seq \\al(2,2)＝16－12cs2A－4(eq \r(3)cs A－1)2
＝－24cs2A＋8eq \r(3)cs A＋12
＝－24eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs A－\f(\r(3),6)))2＋14，
所以当cs A＝eq \f(\r(3),6)时，Seq \\al(2,1)＋Seq \\al(2,2)取得最大值14.