2022年高考三轮复习之回归基础练第12练　三角恒等变换

这是一份2022年高考三轮复习之回归基础练第12练　三角恒等变换，共10页。


考点一 三角函数式的化简与求值
要点重组
1．用已知角表示未知角：
2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)；
α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；
α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)；
eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等．
2．互余与互补的关系：
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(π,2)；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(π,2)；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝π；
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＝π等．
3．辅助角公式：
asin θ＋bcs θ＝eq \r(a2＋b2)sin(θ＋φ)，
其中cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))，sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2)) .
1．(2020·全国Ⅲ)已知2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tan θ等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 D
解析 由2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2tan θ－eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)＝7，
解得tan θ＝2.
2．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α等于( )
A.eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(5),9)
答案 A
解析 由3cs 2α－8cs α＝5，
得3(2cs2α－1)－8cs α＝5，
即3cs2α－4cs α－4＝0，
解得cs α＝－eq \f(2,3)或cs α＝2(舍去)．
又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))2)＝eq \f(\r(5),3).
3．(2020·山东菏泽一中月考)sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin2α等于( )
A．－eq \f(1,2) B．－eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 C
解析 原式＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3))),2)－sin2α
＝1－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))))－sin2α
＝1－cs 2αcs eq \f(π,3)－sin2α
＝1－eq \f(cs 2α,2)－eq \f(1－cs 2α,2)＝eq \f(1,2).
4．若eq \f(\r(2)cs 2θ,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ)))＝eq \r(3)sin 2θ，则sin 2θ等于( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(2,3) C.eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)
答案 B
解析 由题意知，eq \f(\r(2)cs 2θ,\f(\r(2),2)cs θ－\f(\r(2),2)sin θ)＝eq \r(3)sin 2θ，
即2cs θ＋2sin θ＝eq \r(3)sin 2θ，
两边平方得，4＋4sin 2θ＝3sin22θ，
即(3sin 2θ＋2)(sin 2θ－2)＝0，
所以sin 2θ＝－eq \f(2,3)或sin 2θ＝2(舍)．
考点二 三角函数的给值求角(值)
要点重组
1．研究三角函数的求值问题，解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．
2．解决给值求角问题的技巧：
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正弦、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且
①若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，选正弦、余弦函数皆可；
②若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；
③若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦函数较好．
5．(2020·广东省际名校联考)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(4,5)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))等于( )
A.eq \f(23,25) B．－eq \f(23,25) C.eq \f(7,25) D．－eq \f(7,25)
答案 D
解析 ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(4,5)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(4,5)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2α))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(7,25).
6．平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在单位圆O上，设∠xOP＝α，若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，则x0的值为( )
A.eq \f(3－4\r(3),10) B.eq \f(3＋4\r(3),10)
C.eq \f(4\r(3)－3,10) D.eq \f(－4\r(3)－3,10)
答案 A
解析 若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，
则eq \f(π,2)<α＋eq \f(π,6)<π，
由sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，
得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(4,5)，
由点P(x0，y0)在单位圆O上，∠xOP＝α，
知x0＝cs α.
又cs α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－\f(π,6)))
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝－eq \f(4,5)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(3,5)×eq \f(1,2)
＝eq \f(3－4\r(3),10).
故x0＝eq \f(3－4\r(3),10).
7．(2020·山西省康杰中学联考)已知α－β＝eq \f(π,6)，tan α－tan β＝3，则cs(α＋β)的值为( )
A.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),3) B.eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 由tan α－tan β＝3，得eq \f(sin α,cs α)－eq \f(sin β,cs β)＝3，
即eq \f(sin αcs β－cs αsin β,cs αcs β)＝3.
∴sin(α－β)＝3cs αcs β.
又知α－β＝eq \f(π,6)，∴cs αcs β＝eq \f(1,6).
而cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)，
∴sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,6).
∴cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
＝eq \f(1,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\f(1,6)))＝eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),2).
8．(2020·重庆模拟)若sin 2α＝eq \f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq \f(\r(10),10)，且α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋β等于( )
A.eq \f(7π,4) B.eq \f(9π,4)
C.eq \f(5π,4)或eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4)或eq \f(9π,4)
答案 A
解析 因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，π))，
所以2α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π)).
又sin 2α＝eq \f(\r(5),5)>0，
所以2α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，
故cs 2α＝－eq \f(2\r(5),5).
因为－α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－\f(π,4)))，β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，
所以β－α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,4)))，
故cs(β－α)＝－eq \f(3\r(10),10).
所以cs(α＋β)＝cs[2α＋(β－α)]
＝cs 2αcs(β－α)－sin 2αsin(β－α)
＝－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)
＝eq \f(\r(2),2)，
且α＋β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，2π))，故α＋β＝eq \f(7π,4).
考点三 三角恒等变换与三角函数的综合应用
要点重组 解决三角恒等变换与三角函数综合问题的一般步骤：
第一步：将f(x)化为asin x＋bcs x的形式；
第二步：构造f(x)＝eq \r(a2＋b2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(a2＋b2))·sin x＋\f(b,\r(a2＋b2))·cs x))；
第三步：和角公式逆用，得f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中φ为辅助角，tan φ＝eq \f(b,a))；
第四步：利用f(x)＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
9．(2019·浙江)设函数f(x)＝sin x，x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))))2＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))2的值域．
解 (1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，
所以对任意实数x都有
sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcs θ＋cs xsin θ＝－sin xcs θ＋cs xsin θ，
故2sin xcs θ＝0，
所以cs θ＝0.
又θ∈[0,2π)，因此θ＝eq \f(π,2)或eq \f(3π,2).
(2)y＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))))2＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))2
＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))),2)＋eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))),2)
＝1－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 2x－\f(3,2)sin 2x))
＝1－eq \f(\r(3),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
因此，函数的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(3),2)，1＋\f(\r(3),2))).
10．已知函数f(x)＝(2cs2x－1)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)－\f(π,8)))＝eq \f(\r(2),2)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))的值．
解 (1)∵f(x)＝(2cs2x－1)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x
＝cs 2xsin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x
＝eq \f(1,2)(sin 4x＋cs 4x)
＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,4)))，
∴函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(π,2).
令2kπ＋eq \f(π,2)≤4x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,16)≤x≤eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,16)，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,16)，\f(kπ,2)＋\f(5π,16)))，k∈Z.
(2)∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)－\f(π,8)))＝eq \f(\r(2),2)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝1.
又α∈(0，π)，∴－eq \f(π,4)<α－eq \f(π,4)∴α－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，
故α＝eq \f(3π,4).
因此taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(tan \f(3π,4)＋tan \f(π,3),1－tan \f(3π,4)tan \f(π,3))
＝eq \f(－1＋\r(3),1＋\r(3))＝2－eq \r(3).
1．已知tan α＝3，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sin 2α＋cs(π－α)的值为( )
A.eq \f(6－\r(10),10) B.eq \f(6＋\r(10),10)
C.eq \f(5－\r(10),10) D.eq \f(5＋\r(10),10)
答案 A
解析 由tan α＝3，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))得cs α＝eq \f(\r(10),10)，sin α＝eq \f(3\r(10),10)，
则sin 2α＋cs(π－α)＝2sin αcs α－cs α
＝2×eq \f(3\r(10),10)×eq \f(\r(10),10)－eq \f(\r(10),10)
＝eq \f(6－\r(10),10)，故选A.
2．已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(4\r(3),7)，cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，则β等于( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,4)
C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,12)
答案 A
解析 因为α为锐角且sin α＝eq \f(4\r(3),7)，
所以cs α＝eq \f(1,7).
因为α，β均为锐角，
所以0<α＋β<π.
又因为cs(α＋β)＝－eq \f(11,14)，
所以sin(α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)，
所以cs β＝cs[(α＋β)－α]
＝cs(α＋β)·cs α＋sin(α＋β)sin α
＝－eq \f(11,14)×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)
＝eq \f(－11＋60,98)＝eq \f(1,2).
又因为β为锐角，所以β＝eq \f(π,3).
3．(2020·邯郸模拟)已知α为锐角，且tan α＝m，cs 2α＝－eq \f(m2,m2＋4)，则sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(\r(2),3)＋eq \f(1,2) C.eq \f(4,5) D.eq \f(9,5)
答案 B
解析 ∵cs 2α＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)
＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq \f(1－m2,1＋m2)＝－eq \f(m2,m2＋4)，
解得m2＝2，
∴cs 2α＝－eq \f(1,3)，
∵0<α∴sin 2α＝eq \r(1－cs22α)＝eq \f(2\r(2),3)，
∴sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))),2)
＝eq \f(1,2)＋eq \f(sin 2α,2)＝eq \f(\r(2),3)＋eq \f(1,2).
4．已知m＝eq \f(tanα＋β＋γ,tanα－β＋γ)，若sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，则m等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4) C.eq \f(3,2) D．2
答案 D
解析 设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，
则2(α＋γ)＝A＋B,2β＝A－B.
因为sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，
所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，
即sin Acs B＋cs Asin B＝3(sin Acs B－cs Asin B)，
即2cs Asin B＝sin Acs B，
所以tan A＝2tan B，
所以m＝eq \f(tan A,tan B)＝2.
5．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝2eq \r(2)cs 2α，则sin 2α＝________.
答案 eq \f(15,16)
解析 由已知得eq \f(\r(2),2)(cs α＋sin α)＝2eq \r(2)(cs α－sin α)·(cs α＋sin α)，
所以cs α＋sin α＝0或cs α－sin α＝eq \f(1,4)，
由cs α＋sin α＝0得tan α＝－1.
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs α＋sin α＝0不满足条件；
由cs α－sin α＝eq \f(1,4)，两边平方得1－sin 2α＝eq \f(1,16)，
所以sin 2α＝eq \f(15,16).
6．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝2，α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，则sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＋eq \r(3)cs2eq \f(α,2)－eq \f(\r(3),2)＝________.
答案 eq \f(\r(5),5)
解析 因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝2，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－2，
即taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α)))
＝eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α)))＝－2，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))).
因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
所以α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2))).
又cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝1，
解得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(2\r(5),5)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(5),5).
则sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＋eq \r(3)cs2eq \f(α,2)－eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(1,2)sin α＋eq \f(\r(3),2)cs α
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(5),5).