2022年高考三轮复习之回归基础练第5练　函数与方程

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考点一 判断零点所在的区间
要点重组 函数零点所在区间的判断方法
1．解方程：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．
2．零点存在性定理：利用定理进行判断．
3．图象法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．
1．(2020·四川双流中学月考)函数f(x)＝ln x＋x－3的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 ∵f(x)＝ln x＋x－3在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝－2<0，
f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，
∴f(2)·f(3)<0，根据零点存在性定理，可得函数f(x)＝ln x＋x－3的零点所在区间为(2,3)．
2．(多选)函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－ln x－2的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 AC
解析 f′(x)＝x－eq \f(1,x)＝eq \f(x2－1,x)，
令f′(x)>0⇒x>1，
f′(x)<0⇒0∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)))＝eq \f(1,2e4)>0，f(1)＝－eq \f(3,2)<0，
∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e2)，1))上有一个零点，
又f(2)＝－ln 2<0，f(3)＝eq \f(5,2)－ln 3>0，
∴f(x)在(2,3)上有一个零点，故选AC.
3．已知实数a，b满足2a＝3,3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 B
解析 由2a＝3,3b＝2，得a＝lg23>1，b＝lg32，
ab＝1，f(x)在定义域内是增函数，
f(－1)＝a－1－1－b＝－1<0，
f(0)＝1－b＝1－lg32>0，
所以零点所在区间为(－1,0)．
4．(多选)(2020·湖南长沙长郡中学模拟)设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5.若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则( )
A．g(a)<0 B．f(b)<0
C．f(b)>0 D．g(a)答案 ACD
解析 由题意得，函数f(x)，g(x)在各自的定义域上分别为增函数．
∵f(1)＝e－2>0，g(1)＝－3<0，
且实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，
∴a<1，b>1.
∴g(a)f(1)>0，
∴g(a)<0故选ACD.
考点二 求零点个数
要点重组 函数零点个数的判断方法
1．解方程f(x)＝0，直接求零点．
2．利用零点存在性定理，有时要结合函数的图象与性质．
3．数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常通过分解转化为两个能画出的函数图象交点的问题．
4．利用函数性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需确定在一个周期内的零点个数．
5．(2019·全国Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]上的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，
即2sin x－2sin xcs x＝0，
∴2sin x(1－cs x)＝0，
∴sin x＝0或cs x＝1.
又x∈[0,2π]，
∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，
由cs x＝1得x＝0或2π.
故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．
6．已知f(x)＝eq \f(2|x|,x)＋x－eq \f(2,x)，则y＝f(x)的零点个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 C
解析 令eq \f(2|x|,x)＋x－eq \f(2,x)＝0，
得2|x|＝2－x2(x≠0)，
在同一平面直角坐标系内画出y＝2|x|(x≠0)，y＝2－x2(x≠0)的图象，
由图象可知，图象有两个交点，即函数f(x)有两个零点．
7．(2020·佛山调研)若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2.函数g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg x，x>0，,－\f(1,x)，x<0，))则函数h(x)＝f(x)－g(x)在[－5,5]内的零点个数为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 B
解析 由f(x＋1)＝f(x－1)可得，y＝f(x)的周期为2.
由函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系可得，函数h(x)＝f(x)－g(x)在[－5,5]内的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)在[－5,5]内的图象的交点个数．
在同一坐标系中，y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示．
由图可知，在区间[－5,5]上，y＝f(x)与y＝g(x)的图象有8个交点，故函数h(x)＝f(x)－g(x)在[－5,5]内的零点个数为8，故选B.
8．函数f(x)＝xcs x2在[－4,4]上的零点个数为______．
答案 11
解析 令f(x)＝0，得x＝0或cs x2＝0，
由cs x2＝0知x2＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.
又x∈[－4,4]，∴x2∈[0,16]，
∴x2＝eq \f(π,2)或eq \f(3π,2)或eq \f(5π,2)或eq \f(7π,2)或eq \f(9π,2)，
此时x有10个解，
综上f(x)在[－4,4]上有11个零点．
考点三 函数零点的应用问题
要点重组
1．函数零点的应用主要是利用函数零点的存在性定理求相关参数值或范围，体现了化归的数学思想，题目难度较大．
2．根据函数零点(方程的根)求参数(取值范围)的常用方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
9．(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x≤0，,ln x，x＞0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 C
解析 令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，
此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
10．(多选)(2020·山东青岛二中模拟)设函数f(x)＝eq \f(ax2,2e)－ln|ax|(a>0)．若f(x)有4个零点，则实数a的取值可能为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 BCD
解析 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f(－x)＝eq \f(ax2,2e)－ln|ax|＝f(x)，
所以f(x)＝eq \f(ax2,2e)－ln|ax|(a>0)为偶函数，
若f(x)有4个零点，只需考虑当x>0时，f(x)有两个零点即可．
当x>0时，f(x)＝eq \f(ax2,2e)－ln(ax)，
f′(x)＝eq \f(ax,e)－eq \f(1,x)＝eq \f(ax2－e,ex)，
可得f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\r(\f(e,a))))上单调递减，
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(e,a))，＋∞))上单调递增．
因为当x>0时，f(x)有两个零点，
且x→0时，f(x)→＋∞，
x→＋∞时，f(x)→＋∞，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(\f(e,a))))＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)ln(ae)＝－eq \f(1,2)ln a<0，
得a>1.
11．若函数y＝xex－1的零点为x1，函数y＝xln x－1的零点为x2，则x1x2＝________.
答案 1
解析 x1，x2分别是函数y＝ex，函数y＝ln x与函数y＝eq \f(1,x)的图象的交点A，B的横坐标，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(1,x1)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(1,x2)))两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.
12．若函数y＝x＋lg2(a－2x)＋2在R上有零点，则实数a的最小值为________．
答案 1
解析 令x＋lg2(a－2x)＋2＝0，则a－2x＝2－(x＋2)．
依题意，关于x的方程a＝2x＋2－(x＋2)有解．
又2x＋2－(x＋2)≥2eq \r(2－2)＝1.
当且仅当x＝－1时，等号成立．
∴a≥1，故a的最小值为1.
1．函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(2,x2)的零点所在的大致区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 由题意，
得函数f(x)的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)．
当－1所以函数f(x)在(－1,0)上无零点．
因为f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(2,x2)在(0，＋∞)上单调递增，
且图象连续，f(1)＝ln 2－2<0，f(2)＝ln 3－eq \f(1,2)>0，
所以f(1)·f(2)<0，所以函数f(x)＝ln(x＋1)－eq \f(2,x2)的零点所在的大致区间为(1,2)．
2．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－3x－4，x≤0，,3x＋x－4，x>0，))则f(x)的零点为( )
A．－1 B．1
C．4 D．－4
答案 AB
解析 当x≤0时，令x2－3x－4＝0，得x＝－1(舍x＝4)；
当x>0时，令3x＋x－4＝0，得x＝1.
综上f(x)的零点为－1,1.
3．函数f(x)＝xex－eq \f(1,2)x2－x＋2零点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ∵f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，∴当－10时，f′(x)>0，∴f(x)在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)的极小值为f(0)＝2>0，即当x>－1时，函数f(x)无零点，又f(－4)＝－4e－4－2<0，f(－1)>0，∴当x<－1时，函数f(x)只有一个零点，∴函数f(x)零点的个数为1.
4．已知函数f(x)满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1，则方程f(x)＝eq \f(1,2)lg2|x|在区间[－3,5]内解的个数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 A
解析 ∵∀x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为2，令g(x)＝eq \f(1,2)lg2|x|，
又g(x)＝eq \f(1,2)lg2|x|的图象关于y轴对称，在同一坐标系内画出两函数图象如图所示，
由图可知，共有5个交点，故方程f(x)＝eq \f(1,2)lg2|x|在区间[－3,5]内解的个数为5.
5．(多选)(2020·山东日照校际联考)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x＝2，,lga|x－2|＋1，x≠2，a>1，))若函数g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(fx))2＋bf(x)＋c有三个零点x1，x2，x3，则下列说法正确的是( )
A．b的值为－2
B．c的值为1
C．a的值无法确定
D．x1x2＋x2x3＋x1x3＝10
答案 ABC
解析 作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图可得关于x的方程f(x)＝t的根有两个或三个(t＝1时有三个，t≠1时有两个)，所以关于t的方程t2＋bt＋c＝0只能有一个根t＝1(若有两个根，则关于x的方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(fx))2＋bf(x)＋c＝0有四个或五个根)，由根与系数的关系得－b＝1＋1，c＝1×1＝1，得b＝－2，所以A，B正确；不妨设x11)，故a的值无法确定，所以C正确，D错误．故选ABC.
6．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋1，x≥1，,\f(3x,2)，0答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))
解析 由题意可知方程f(x)＝k有两个不同的根，等价于函数y＝f(x)与y＝k的图象有两个不同的交点．如图，在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，由图象易知当1