人教版6.3 实数复习练习题

6.3 实数

一、选择题．

1．下列实数：，，3.14，，，0，其中无理数的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：4，

无理数有，，共有2个．

故选：B．

2．在下列各数0，，，π，，0.1010010001…（两个1之间，依次增加1个0），其中无理数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【解答】解：3，

0，，是有理数，

，π，0.1010010001…（两个1之间，依次增加1个0）是无理数，

无理数有3个，

故选：B．

3．下列6个数中：﹣3，，﹣π，，0.12，﹣0.5050050005…（相邻两个5之间0的个数逐次加1）．其中是无理数的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【解答】解：无理数有﹣π，，﹣0.5050050005…（相邻两个5之间0的个数逐次加1），共有3个，

故选：B．

4．估计3的值应在（　　）

A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间

【解答】解：∵3，，

∴7＜37.5，

又∵，

∴4.55，

∴2＜33，

故选：C．

5．实数m、n在数轴上的位置如图所示，化简|n﹣m|﹣m的结果为（　　）

A．n﹣2m B．﹣n﹣2m C．n D．﹣n

【解答】解：由实数m、n在数轴上的位置可知，n﹣m＜0，

所以|n﹣m|﹣m＝m﹣n﹣m＝﹣n，

故选：D．

6．下列说法正确的是（　　）

A．实数与数轴上的点一一对应 

B．无理数与数轴上的点一一对应 

C．整数与数轴上的点一一对应 

D．有理数与数轴上的点一一对应

【解答】解：数轴不仅表示有理数，也可以表示无理数，例如：如图，矩形OABC，OA＝1，OC＝2，则OB，

以O为圆心，OB为半径画弧交数轴于点D，则点D所表示的数为：，

同理，可以在数轴上表示其它的无理数，

因此数轴上的点与实数一一对应，

故选：A．

二、填空题．

7．写出一个满足a的整数a的值为　3　．

【解答】解：∵23，56，a为整数，

∴2＜a＜6，

∴满足满足a的整数a的值可以为3．

故答案为：3（答案不唯一）．

8．若[x]表示不超过x的最大整数，如[3.2]＝3，[﹣3.7]＝﹣4，[0.7]＝0等，则[]+2[﹣π]＝　﹣6　．

【解答】解：∵[]＝2，[﹣π]＝﹣4

∴[]+2[﹣π]＝2+2×（﹣4）＝﹣6．

则[]+2[﹣π]＝﹣6．

故答案为：﹣6．

9．的平方根为　±2　，的倒数为　　，的立方根是　　．

【解答】解：4的平方根为：±2，

的倒数为：，

的立方根是：．

故答案为：±2，，．

10．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的左侧．点A，B示的数分别是1，3，如图所示．若BC＝2AB，则点C表示的数是　﹣1　．

【解答】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，

∴AB＝3﹣1＝2，

∵BC＝2AB＝4，

∴OC＝BC﹣OB＝4﹣3＝1，

∵C在B的左侧，

∴点C表示的数是﹣1．

故答案为：﹣1．

11．将实数，﹣π，0，1由大到小用“＞”连起来，可表示为　1＞0π　．

【解答】解：∵|﹣π|＞||，

∴﹣π，

则实数，﹣π，0，1由大到小用“＞”连起来，可表示为1＞0π，

故答案为：1＞0π．

12．|﹣5|+（﹣2）2　4　．

【解答】解：原式＝5+4﹣3﹣2＝4，

故答案为：4

13．已知，a，b是正整数．

（1）若是整数，则满足条件的a的值为　3　；

（2）若是整数，则满足条件的有序数对（a，b）为　（3，7）或（12，28）　．

【解答】解：（1）若是整数，则1，

∴满足条件的a的值为3，

故答案为：3；

（2）若是整数，则

①当a＝3，b＝7时，2；

②设a＝3×n2，则，

∴，

∴，

∴b，

∵b是正整数，

∴（n﹣1）2＝1，即n＝2，

∴当a＝12，b＝28时，1，

满足条件的有序数对（a，b）为：（3，7）或（12，28），

故答案为：（3，7）或（12，28）．

14．定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．例如[3.6]＝3，[]＝﹣2，按此规定，[1﹣2]＝　﹣4　．

【解答】解：∵，

∴4＜25，

∴﹣4＞﹣25，

∴﹣3＞1﹣24，

故，[1﹣2]＝﹣4．

故答案为：﹣4．

15．①点M在数轴上与原点相距个单位，则点M表示的实数为　　，

②数轴上到的点距离为的点所表示的数是　0或﹣2　．

【解答】解：①∵点M在数轴上与原点相距个单位，

∴点M表示的实数为±；

②数轴上到的点距离为的点所表示的数有两个，

分别是0或﹣2．

三、解答题．

16．有理数a在数轴上所对应的点如图所示．

（1）a　＞　1，a　＜　2，a　＞　﹣3（用“＜”或“＞”或“＝”填空）；

（2）化简：|a﹣1|﹣|a﹣2|+|a+3|．

【解答】解：（1）a＞1，a＜2，a＞﹣3．

故答案为：＞、＜、＞．

（2）∵a＞1，a＜2，a＞﹣3，

∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，a+3＞0，

∴|a﹣1|﹣|a﹣2|+|a+3|

＝（a﹣1）﹣[﹣（a﹣2）]+（a+3）

＝a﹣1+a﹣2+a+3

＝（a+a+a）+（3﹣1﹣2）

＝3a+0

＝3a．

17．计算：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）

．

（2）

＝0.2﹣2﹣0.25

＝﹣2.05．

18．如图，在数轴上作一个直角三角形，垂直于数轴的直角边长为2，以数轴上表示﹣1的点为圆心，直角三角形的最长边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，若点A表示的数为a．

（1）求a的值；

（2）求代数式a2﹣2a+2的值．

【解答】解：（1）由勾股定理可得，画弧的半径为，

所以点A所表示的数a＝﹣11；

（2）当a1时，

a2﹣2a+2＝（1）2﹣2（1）+2

＝5﹣21﹣22+2

＝10﹣4．

19．已知a，b．

（1）求a+b的值；

（2）设m是a小数部分，n是b整数部分，求代数式4m2+4mn+n2的值．

【解答】解：（1）a2，b2．

a+b2＝2，

（2）∵23，

∴02＜1，42＜5，

∴m2，n＝4，

∴4m2+4mn+n2＝（2m+n）2＝（24+4）2＝20．

20．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而12于是可用1来表示的小数部分．请解答下列问题：

（1）的整数部分是　5　，小数部分是　5　；

（2）如果5的小数部分为a，5的整数部分为b，求ab的值．

【解答】解：（1）∵，

∴56，

∴的整数部分为5，小数部分为5，

故答案为：5，5；

（2）∵23，

∴7＜58，

∴5的小数部分a＝52，

∵23，

∴﹣32，

∴2＜53，

∴5的整数部分为b＝2，

∴ab2+22．

21．已知x，y是x的小数部分．

（1）求x2﹣2x的值．

（2）求y的值．

（3）求x3﹣x2﹣3x+y2．

【解答】解：x1，

∵12，

∴1+11＜2+1，

即，21＜3，

∵y是x的小数部分，

∴y1﹣21，

（1）把x1，代入得，

x2﹣2x＝（1）2﹣2（1）＝1；

（2）把y1代入得，

y（1）（1）﹣（1）＝﹣2；

（2）把x1，y1代入得，

x3﹣x2﹣3x+y2

＝x2（x﹣1）﹣3x+（y）2+2

＝（1）2（1﹣1）﹣3（1）+（﹣2）2+2

＝34﹣33+4+2

＝7．

22．操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）

（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与　2　表示的点重合；

（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：

①5表示的点与数　﹣3　表示的点重合；

②表示的点与数　2　表示的点重合；

③若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数是　﹣3.5　、点B表示的数是　5.5　

（3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，求a的值．

【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为0，设﹣2表示的点所对应点表示的数为x，于是有0，解得x＝2，

故答案为2；

（2）折叠纸面，使表示的点﹣1与3重合，折叠点对应的数为1，

①设5表示的点所对应点表示的数为y，于是有1，解得y＝﹣3，

②设表示的点所对应点表示的数为z，于是有1，解得z＝2，

③设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，由题意得：

1且b﹣a＝9，解得：a＝﹣3.5，b＝5.5，

故答案为：﹣3，2，﹣3.5，5.5；

（3）①A往左移4个单位：（a﹣4）+a＝0．解得：a＝2．

②A往右移4个单位：（a+4）+a＝0，解得：a＝﹣2．

答：a的值为2或﹣2．

23．定义一种新运算“*”满足下列条件：

①对于任意的实数a，b，a*b总有意义；

②对于任意的实数a，均有a*a＝0；

③对于任意的实数a，b，c，均有a*（b*c）＝a*b+c．

（1）填空：1*（1*1）＝　1　，2*（2*2）＝　2　，3*0＝　3　；

（2）猜想a*0＝　a　，并说明理由；

（3）a*b＝　a﹣b　（用含a、b的式子直接表示）．

【解答】解：（1）1*（1*1）＝1*1+1＝1，

2*（2*2）＝2*2+2＝2，

3*0＝3*（3*3）＝3*3+3＝3

故答案为：1，2，3；

（2）a*0＝a（a*a）＝a*a+a＝a，

故答案为a；

（3）a*（b*b）＝a*b+b，即a*0＝a*b+b，

而a*0＝a，

故a*b＝a﹣b．

24．给出定义如下：若一对实数（a，b）满足a﹣b＝ab+4，则称它们为一对“相关数”，如：，故是一对“相关数”．

（1）数对（1，1），（﹣2，﹣6），（0，﹣4）中是“相关数”的是　（0，﹣4）　；

（2）若数对（x，﹣3）是“相关数”，求x的值；

（3）是否存在有理数m，n，使数对（m，n）和（n，m）都是“相关数”，若存在，求出一对m，n的值，若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵1﹣1≠1×1+4，因此一对实数（1，1）不是“相关数”，

∵﹣2﹣（﹣6）≠（﹣2）×（﹣6）+4，因此一对实数（﹣2，﹣6）不是“相关数”，

∵0﹣（﹣4）＝0×（﹣4）+4，因此一对实数（0，﹣4）是“相关数”，

故答案为：（0，﹣4）；

（2）由“相关数”的意义得，x﹣（﹣3）＝﹣3x+4

解得，x

答：x；

（3）不存在．

若（m，n）是“相关数”，则，m﹣n＝mn+4，

若（n，m）是“相关数”，则，n﹣m＝nm+4，

若（m，n）和（n，m）都是“相关数”，则有m＝n，而m＝n时，m﹣n＝0≠mn+4，因此不存在．

25．阅读下面的文字，解答问题：

大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？

事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

又例如：

∵，即23，

∴的整数部分为2，小数部分为（2）．

请解答：（1）的整数部分是　4　，小数部分是　4　．

（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b的值；

（3）已知：10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．

【解答】解：（1）∵45，

∴的整数部分是4，小数部分是 ，

故答案为：4，4；

（2）∵23，

∴a2，

∵34，

∴b＝3，

∴a+b2+31；

（3）∵1＜3＜4，

∴12，

∴11＜1012，

∵10x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，

∴x＝11，y＝10111，

∴x﹣y＝11﹣（1）＝12，

∴x﹣y的相反数是﹣12

26．如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）填空：

①A、B两点间的距离AB＝　10　，线段AB的中点表示的数为　3　；

②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　﹣2+3t　；点Q表示的数为　8﹣2t　．

（2）求当t为何值时，PQAB；

（3）当点P运动到点B的右侧时，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，求PMBN的值．

【解答】解：（1）①8﹣（﹣2）＝10，﹣210＝3，

故答案为：10，3；

②由题可得，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t；

故答案为：﹣2+3t，8﹣2t；

（2）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，

∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，

又PQAB10＝5，

∴|5t﹣10|＝5，

解得：t＝1或3，

∴当t＝1或3时，PQAB；

（3）∵PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，

∴MPAP3tt，

BNBP（AP﹣AB）（3t﹣10）＝2t，

∴PMBNt（2t）＝5．