2021学年9三角函数的简单应用与基本关系课文内容ppt课件

第一章　§9　

A级　基础巩固

一、选择题

1．如图所示是一个简谐运动的图像，则下列判断正确的是(　D　)

A．该质点的振动周期为0.7s

B．该质点的振幅为－5 cm

C．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大

D．该质点在0.3s和0.7s时的位移为零

2．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向旋转π弧长到达Q点，则Q点的坐标为(　A　)

A．　　 B．

C．　　 D．

[解析]　当逆时针旋转π后，Q点坐标为，即.

3．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是(　B　)

A．该质点的振动周期为0.7s

B．该质点的振幅为5 cm

C．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大

D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零

[解析]　由图像可知，＝0.7－0.3＝0.4，

∴T＝0.8(s)，故A错，显然振幅A＝5 cm，故B正确；

该质点在0.1s和0.5s时振动速度为0，故C错；

在0.3s和0.7s时，加速度改变方向，且不为0，故D错．

4．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos (t＋)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l等于(　D　)

A．　　　　　 B．　　

C．　　　　 D．

[解析]　因为周期T＝，所以＝＝2π.则l＝.

5．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为(　C　)

[解析]　P从P0出发，逆时针运动，t＝0时，d＝，t与d满足关系式d＝2sin (t－)(t≥0)．所以选择C．

6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　A　)

A．f(x)＝2sin (x－)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)

B．f(x)＝9sin (x－)(1≤x≤12，x∈N＋)

C．f(x)＝2sin x＋7(1≤x≤12，x∈N＋)

D．f(x)＝2sin (x＋)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)

[解析]　令x＝3可排除选项D；令x＝7可排除选项B；由A＝＝2可排除选项C；或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.

∴f(x)＝2sin (x＋φ)＋7.

∵当x＝3时，y＝9，

∴2sin (＋φ)＋7＝9，即sin (＋φ)＝1.

∵|φ|<，∴φ＝－.

∴f(x)＝2sin (x－)＋7(1≤x≤12，x∈N＋)．

二、填空题

7．设函数f(x)＝2sin (x＋)，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值是__2__.

[解析]　由题意知f(x1)只能恒等于－2，f(x2)只能恒等于2，最小正周期T＝4.∴|x1－x2|min＝＝2.

8．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的位移s(单位： cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝Asin (ωt＋φ)，0<φ<，函数图像如图所示，则函数的解析式为s＝__6sin (2πt＋)(t≥0)__℃.

[解析]　根据图像，知x轴上标有，的两点的距离刚好是个周期，

所以T＝－＝.

所以T＝1，ω＝＝2π.

因为当t＝时，函数取得最大值，

所以2π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝.

又当t＝0时，s＝3，所以3＝Asin ，A＝6.

所以函数解析式为s＝6sin (2πt＋)(t≥0)．

三、解答题

9．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t(s)的函数关系为s＝6sin (2πt＋)．

(1)作出它的图像．

(2)单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置多少厘米？

(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？

(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？

[解析]　(1)列表如下：

描点并用光滑的曲线连接这些点，再向左或向右平移k(k∈Z)个单位长度，得函数s＝6sin (2πt＋)的图像，如图所示．

(2)当t＝0时，s＝6sin ＝3，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.

(3)s＝6sin (2πt＋)的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm.

(4)s＝6sin (2πt＋)的周期T＝＝1，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1s.

10．如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°，求A，ω的值和M，P两点间的距离．

[解析]　依题意，有A＝2，＝3，

又T＝，∴ω＝.

∴y＝2sin x.

当x＝4时，y＝2sin ＝3，

∴M(4,3)．又P(8,0)，

∴MP＝＝5.

B级　素养提升

一、选择题

1．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(米)可看作是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图像，下表是某日各时的浪高数据：

则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是(　B　)

A．y＝cos t＋1　　 B．y＝cos t＋

C．y＝2cos t＋　　 D．y＝cos 6πt＋

[解析]　∵T＝12－0＝12∴ω＝＝＝.又最大值为2，最小值为1，则解得A＝，b＝，∴y＝cos t＋.故选B．

2．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　D　)

A．[0,1]　　 B．[1,7]

C．[7,12]　　 D．[0,1]和[7,12]

[解析]　由已知可得该函数的周期为T＝12，

ω＝＝，

又当t＝0时，A(，)，

∴y＝sin (t＋)，t∈[0,12]，

可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．

3．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)，若初始位置为P0(，)，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　C　)

A．y＝sin (t＋)

B．y＝sin (－t－)

C．y＝sin (－t＋)

D．y＝sin (－t－)

4．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin (其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　C　)

A．[0,5]　　 B．[5,10]　

C．[10,15]　　 D．[15,20]

[解析]　对每个选项进行验证．

当t∈[0,5]时，∈[0,2.5]，

∵2.5>，∴函数F(t)先增后减，不符合题意．

当t∈[5,10]时，∈[2.5,7.5]，

函数F(t)在[2.5，]上递减，在[，7.5]上递增，不符合题意．

当t∈[10,15]时，∈[5,7.5]，F(t)在该区间上是递增的．

当t∈[15,20]时，∈[7.5,10]，F(x)在该区间上先增后减．

二、填空题

5．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin (ωt＋φ)的图像如图所示，则当t＝(秒)时电流强度为__0__.

[解析]　由题图知，＝－＝，

∴T＝，即ω＝100π，A＝10.

又t＝时，I取最大值，

则有10＝10sin (×100π＋φ)，

解得φ＝，

即I＝10sin (100πt＋)．

令t＝，则I＝10sin (100π×＋)＝10sin 6π＝0.

6．已知某游乐园内摩天轮的中心点O距离地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A起，经过tmin后，点P的高度h＝40sin ＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70m以上的时间将持续__4__分钟．

[解析]　依题，即40sin ＋50≥70，

即cos t≤－，从而在一个周期内持续的时间为≤t≤，4≤t≤8，即持续时间为4分钟．

三、解答题

7．如图所示，某地一天从0～10时的温度变化曲线近似地满足函数y＝Asin (ωx＋φ)＋b，其中A>0，ω>0，－π<φ<0.

(1)求这一天0～10时的最大温差；

(2)写出这段曲线的函数解析式．

[解析]　(1)由图可知，这一天0～10时的最高温度是20℃，最低温度是0℃，则最大温差是20℃－0℃＝20℃.

(2)由图可以看出，从1～9时是半个周期，

则周期T＝2(9－1)＝16，∴＝16，解得ω＝.

解方程组得A＝10，b＝10，

则有y＝10sin (x＋φ)＋10，∴sin (＋φ)＝－1.

又－π<φ<0，则φ＝－，

综上，所求解析式为y＝10sin (x－)＋10，x∈[0,10]．

8．通常情况下，同一地区同一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin (ωx＋φ)＋b的图像．某年1月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃.

(1)求出荆门地区该时段的温度函数y＝Asin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24])的表达式；

(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？

[解析]　(1)由题意知解得易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，易知8sin (×2＋φ)＋6＝－2，即sin (×2＋φ)＝－1，故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z.

又|φ|<π，得φ＝－，所以y＝8sin (x－)＋6(x∈[0,24])．

(2)当x＝9时，y＝8sin (×9－)＋6＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调．

C级　能力拔高

已知电流I与时间t的关系式为I＝Asin (ωt＋φ)．

(1)如图是I＝Asin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图像，根据图中数据求I＝Asin (ωt＋φ)的解析式；

(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin (ωt＋φ)都能取得最大值，那么ω的最小正整数值是多少？

[解析]　(1)因为周期T＝2[－(－)]＝，

ω＝＝150π，

又A＝300，所以I＝300sin (150πt＋φ)．

将点(－，0)的坐标代入上式，得sin (φ－)＝0，

由于|φ|<，所以φ－＝0，φ＝，

即所求的解析式为I＝300sin (150πt＋)．

(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin (ωt＋φ)都能取得最大值，必满足区间长度至少包含一个周期，即≥，ω≥300π≈942.3，所以ω的最小正整数值是943.