高中数学北师大版必修49三角函数的简单应用与基本关系教学设计

1.9三角函数的简单应用

（教学设计      北师大版必修四）

一、教材分析

本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力

二、教学目标

知识与技能：

掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式;  (2)根据解析式作出图象;  (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.

过程与方法：

选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。

情感态度与价值观：

培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。

三、教学重难点

教学重点：体会三角函数模型在解决一些具有周期变化规律的实际问题中的作用；体会数学建模的基本过程。

教学难点：用三角函数来描述周期现象的实际问题。

四、学法分析

本节课是在学习了三角函数的性质和图象的基础上来学习三角函数模型的简单应用，学生已经了解了数学建摸的基本思想和方法，应用三角函数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。

在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。

五、教法分析

数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是三角函数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。

六、教学程序

（一）创设情境、激活课堂

生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----1.9三角函数的简单应用。

（二）问题探究、层层深入

例题：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：

探究1：观察表格中的数据，每天水深的变化具有什么规律性？

呈周期性变化

探究2：设想水深y是时间x的函数，作出表中的数据对应的散点图，你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？

探究3: 用一条光滑曲线连结这些点，得到一个函数图象，该图象对应的函数解析式可以是哪种形式？

探究4：用函数来刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？

探究5：此港口的水深与时间的关系可用函数                    近似描述，你能根据这个函数模型，求出港口在0到11时整点时刻水深的近似值吗？（精确到0.001）

探究6：一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)

探究7：若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

设在时刻x货船的安全水深为y,那么

y=5.5-0.3(x-2)  (x≥2),在同一坐标系内作出这两个函数,可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点.

探究8：设点P(X0，Y0)，有人认为，由于P点是水深和安全水深两个函数图象的交点，说明在X0时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向较深水域就可以了，你认为可行吗？

通过计算可得，在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.4米，此时船舶的安全水深约为4.2米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域.

（三）学生练习、巩固提高

已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.

1、根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；

2、根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据问题1的结论，判断一天的上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？

[解析]　(1)由表中数据，知周期T＝12，

∴ω＝＝.由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.

又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅为.

∴y＝cost＋1.

(2)由题意知，当y>1时才对冲浪者开放，∴cost＋1>1，∴cost>0，

∴2kπ－<t<2kπ＋，即12k－3<t<12k＋3.

∵0≤t≤24，∴令k分别为0,1,2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，

∴在规定时间上午8时至晚上20时之间有6个小时可供冲浪者进行活动，即上午9时至下午15时.

（四）课时小结、布置作业

1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．

2．三角函数模型构建的步骤

(1)收集、观察数据，发现是否具有周期性的重复现象．

(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合．

(3)利用三角函数模型解决实际问题．

(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．

作 业：    教材59页，题1、2