高中数学北师大版必修49三角函数的简单应用与基本关系教学设计

学科

数学

备课人

年级

时间

课题

三角函数的简单应用

教学目标

1、知识与技能

对于简单的周期现象，能够选择适当的三角函数模型，刻画和解决实际问题，通过解决周期现象的数学应用过程，进一步掌握数学数学建模方法，提高数学建模能力

2、数学思考

思考怎么建立三角函数模型的问题

3、问题解决

通过两个活动的设计，让学生进入深度思考，从而获得解决问题的方法

4、情感态度与价值观

通过本章的学习，培养学生学会分析问题、解决问题的能力，提升学生的数学应用意识，增强学生的创新意识，以及教育学生对生活要充满热爱，

重难点

重点：体会三角函数模型在解决一些具有周期变化规律的实际问题中的作用，体会数学建模的基本过程。

难点：用三角函数来描述周期现象的实际问题。

教学内容及流程设计

师生活动设计

情景设置

引入美

聆听优美动听的《梁祝》，感受乐曲的主旋律是呈周期变化，可以用三角函数来表示，欣赏摩天大轮动感图片，以及潮汐现象，感受周期变化，而且可以用三角函数来刻画，今天我们一起进入生活问题利用三角函数建模的研究，引入课题。

学生聆听音乐

学生欣赏动感图片感受生活中的周期现象

合作探究

寻找美

设计问题串，由学生合作探究

1、在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心，以r为半径的圆，对于任意角α，使角α的顶点以坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边与此圆交与点P，则点P的坐标是

2、角速度ω：单位时间（单位：s）旋转的  （单位：rad）

3、在直角坐标系中，若角φ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与以坐标原点为圆心，以r为半径的圆相交于P0，若角从OP0，开始绕着点O逆时针旋转，经过时间t（单位：s），角速度ω，转到OP位置，则转过的角为,此时终边OP对应的角是 ，故P的坐标为

4、若有一条直线在坐标原点的下方， 坐标原点到它的距离是b，则这条直线的方程为，此时点p到这条直线的距离是h=

   显然，h=rsin(ωt+φ)+b,与我们前面所学的三角函数

y=Asin(ωx+φ)+b是一致的，故h是t的函数这就是我们所建立的三角函数模型。

利用导学案先合作，然后遇到问题师生共同探究，教师利用多媒体进行逐步引导，以此建立函数。

切磋交流

冶炼美

活动一： 如图，游乐场中的摩天轮逆时针匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：

(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；

(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？

解析：(1)先读题，将生活问题转化为数学问题，以o为坐标原点建立直角坐标系,最低处的位置记为A,经过t分钟到p点，则OA是-π/2的终边，OP是ωt-π/2的终边，在读题时可知周期T=12则ω=2π/T=π/6

根据前面的分析可

知y=40sin((π/6)t-π/2)+40.5

(2)要使你距离地面60.5米，只需y=60.5即可

解方程(π/6)t-π/2=π/6+2kπ或5π/6+2kπ，k∈z

则t=4+12k或t=8+12k，k∈z

故依次t=4、8、16、20

故第4次距离地面60.5米时，用了20分钟

分析完之后，总结解决建模问题的步骤：

1、  审：审清题意，化实际问题为数学问题

2、  建：建立三角函数模型

3、  解决：解决三角函数模型问题

4、写出：根据实际问题的问法写出解决实际问题的答案

学生读题，抓住关键词，建立数学模型，师生共析，教师板书，总结出建模的步骤，有问题及时评价，渗透转化的数学方法以及数形结合的数学思想

平等对话

享受美

活动二

如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.

(1)求h与θ间的函数关系式；

(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，

求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一

次到达最高点时用的最少时间是多少？

解析：（1）以o为坐标原点建立直角坐标系，则φ=-π/2

故h=4.8sin(θ-π/2)+5.6

(2)点A在圆上转动的角速度是，

故t秒转过的弧度数为t，

∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．

到达最高点时，h＝10.4 m.

由sin＝1，

得t－＝，∴t＝30，

∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒.

比较两次活动的共同点。

学生自主完成，并进行成果展示，设计意图是检测学生对建模步骤的理解

创造展示

提升美

一、建立三角函数模型的基本步骤

二、本节课渗透了哪些数学思想

函数思想 、转化的数学思想、数形结合的数学思想

让学生说说本节课的收获：明线就是三角函数模型的构建，暗线是数学思想的渗透。

作业布置

1、            必做：课本第60页A组2、3

2、            选做：专家伴读

3、            写一份本节课的学习反思

4、            阅读课本第61页数学与音乐

教学反思

从教育部的顶层设计来，数学学科以“立德树人”为目标，主要体现在数学学科素养上，本节课在教师的引导下，通过学生深度学习促进学生学科素养。本节课的重点是建立三角函数模型，利用三角函数模型解决问题，难点是建立三角函数模型，对于学生来说应用问题是最头疼的问题，也是很多学生排斥的问题，本节课在设计上为了增强学生的兴趣，结合本节课的特征，用优美动听的音乐，动感图片，让学生感受生活中的周期现象，为了突破重点，借助导学案和多媒体课件，尊重学生的认知规律，循序渐进，步步深入，得到了h与t的函数关系，就是三角函数模型，让学生感受函数的思想，建模的过程是通过一道摩天大轮的题目完成的，此过程是本节课的核心，采用了读题、逐条的将题目的条件翻译成数学语言，化实际问题为数学问题，渗透了转化的数学思想，建立起y与t的三角函数关系，让学生感受建模的数学方法，尤其是加深理解直角坐标系中角的表示，渗透数形结合的数学思想，对于分析的过程中及时关注学生的状况，对于学生出现的问题及时捕捉并耐心解决，促进了学生对知识的掌握，分析完成后注重反思，并总结出解决应用问题的四个步骤，从而突破难点，活动二是由学生自主探究来完成，并进行成果展示，评价学生是否掌握了这种建模方法，从课堂效果上看学生掌握较好，最后小结时注重解决问题的步骤总结和数学思想的总结，培养学生的归纳反思总结的能力。

      这节课的讲授对我来说很具有挑战性，我觉得还需要在语言的精炼上下功夫。