北师大版必修4第一章 三角函数9三角函数的简单应用与基本关系教案

三角函数的简单应用

一、教学目标：

知识与技能：

（1）    利用收集到的数据作出散点图，根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型；

（2）    会利用三角函数模型解决一些简单的实际问题。

过程与方法：

（1）    能正确分析收集到的数据，选择适当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律；

（2）    能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据；

（3）    体验将实际问题抽象为数学问题的过程。

情感态度价值观：

（1）    通过建立拟合三角函数模型解决实际问题，培养学生学习数学的能力；

（2）    体会数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。

二．重点难点 

重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。

难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题。

三、教材与学情分析

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用。

本节课是在第1课时的基础上的综合应用， 进一步突出数学来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期变化规律的实际问题的数学建模思想,引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力。由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等。

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学

五、教学过程

一、创设情境，提出问题,明确思维目标

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。欣赏海岛涨落潮的图片。现在假设你是一艘货船的船长，你会选择什么时候进入港口？选择什么时候离开港口？因此作为船长的你会关注该港口的什么信息？

【设计意图】创设情境,引入课题.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.

二、合作探究，层层推进，聚焦思维内容

1、     设置情景，呈现问题

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是港口在某季节每天的时间与水深的关系表：

2、探索实践，寻找模型

探究1观察表格中的数据，你能得到一些什么信息？

【设计意图】通过观察表格中的数据，先发现水深有变化，尽可能发现或猜想这种变化呈现一种周期性变化规律.

探究2 设水深是时间的函数，作出表中的数据对应的散点图，你认为哪个类型的函数来拟合这些数据？(学生活动，教师电脑呈现)

【设计意图】引导学生根据由散点图连成的曲线呈周期性的特点选择正弦型函数模型，培养学生的观察、分析、推理、判断、抽象概括等能力.

探究3 你能根据这些点求出这个函数关系式吗？（师生活动，提问学生回答）

[来源:学科网ZXXK]

【设计意图】根据图象确定函数解析式，把实际问题中的变量关系转变成纯数学间的变量关系。

三、师生互动，体验过程，提炼思维方法

探究4求这个函数解析式时,我们用了所有点吗?

【设计意图】 引导学生思考检验，检验点是不是在函数上面

探究5 如果所有点都在函数图像上或者近似在函数图像上,说明什么呢?

我们的模型是合理的.

探究6 我们回头看看我们都做了哪些事情?

【设计意图】规律、方法让学生自己总结，互相补充，教师做必要的总结：所有点都在这个函数图像上,这说明我们这个函数模型是符合实际要求的.同学们要注意,将来我们很多实际问题中呢,可能出现不是每个点都在这个函数图像上,但非常接近,这样的模型也是合理的.

四、应用模型，巩固提高，提高思维能力

探究7 我们构建函数模型,关键是要用它来干什么? 

解决实际问题 

探究8  你能求出1 点钟,7点钟,13点钟时的水深近似数值吗？（精确到0.001）

【设计意图】回归现实,解决问题

探究9 一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口?在港口能呆多久？

请同学们思考一下，相互之间可以讨论讨论。

【设计意图】通过静态图的分析，让学生直观感受“吃水深度”和“安全间隙”两个概念，正确理解题意所表达的意思，从图象上分析什么情况下船可以进港，什么情况下船可以出港。让学生感受到实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用计算机或是计算器。

探究10若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

问题1：卸货前需要的安全水深是多少？随着卸货船上的货物减少，需要的安全水深是增加还是减少？

问题2：随着船上的货物减少，如何计算在某个时刻x(x≥2)的吃水深度的减少值及所需的安全水深？

问题3：为确保轮船的安全，y与应满足什么条件？你能求出y=时对应的时间x的值吗？

【设计意图】引导学生用函数模型刻画货船安全水深与时间的关系，将实际问题转化为不等式问题. 让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.

思考：设，由于点是两个图像的交点，说明在时，货船的安全水深正好与港口水深相等，因此在这时停止卸货将船驶向深水域就可以了，你认为对吗？

【设计意图】实际问题转化成数学问题后，要注意考虑实际意义。

五、思悟小结，交流收获，理清思维脉络

请同学们回顾一下,这节课呢,我们做的这个活动,是一个什么样的流程,谁来总结一下?

【设计意图】通过例题的回顾，总结出解决实际问题的基本步骤

（1）              收集数据，画出散点图；

（2）              选择函数模型；

（3）              确定函数解析式；

（4）              检验模型,

（5）              用函数模型解决实际问题。

 根据实际情况提出问题,然后建立数学模型,导出数学结果,然后进行检验,合乎实际的话,我们就进行运用,不合乎实际的话,我们再进行修改,也就是说,修改再建立新的模型.             

在整个探究过程中，同学们能体会到我们用了哪些数学思想方法？

（1）              将实际问题转化为数学问题，体现了数学中的转化思想；

（2）              在用代数方法处理解决一些题目时，用到了函数与方程的思想和数形结合思想。

【设计意图】提炼教学中用到的数学思想方法。

六、体验探究

1、生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？

提示：搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型.

如人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；音叉发出的声音在示波器上显示的波形

2.试一试:你能运用数学模型创作音乐并演奏出来吗?

(播放由同学将小数点后数字用古筝弹奏出来的旋律)

七、教学反思

1、本节课就是一节建模课，最好带领学生深入实际，发现问题，提出问题，独立思考，分工合作，交流讨论，寻求帮助，探求合理的解决方案。在课堂上，我把舞台更彻底地让给学生，让他们成为课堂真正的主人，去思考，讨论、到讲台上做，讲，让他们进行智慧的传递，而我退到幕后，不时加以点评。力求做到能让学生动手的让学生动手，能让学生动脑的让学生动脑，能让学生观察的让学生观察，能让学生表述的让学生表述，能让学生总结的让学生总结。当上完这节课后，我发现这样上课，学生能更好的参与到课堂中来，学习能力得到了很有效的提高。我在想不是建模课，我又该怎样上呢？这节课让我对课堂教学模式有了新的思考。

2、如果有能提出多种模型的实例，让学生对各种模型进行比较，从中选择更理性的模型，我想对于建模课效果会更好一些。