高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念精品课后作业题

7.1  复数的概念

一、复数的有关概念

1．定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.

2．表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．

3．数集

(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．

(2)表示：通常用大写字母C表示．

二、复数的分类

1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)

2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

反思感悟　复数分类问题的求解方法与步骤

(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．

(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则：

①z为实数⇔b＝0；

②z为虚数⇔b≠0；

③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.

三、复数相等的充要条件

复数相等问题的解题技巧

(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．

(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．

(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．

四、复数与复平面内点的关系

1．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

2．复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义．

反思感悟　利用复数与点的对应关系解题的步骤

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据．

(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．

五、复数与复平面内向量的关系

如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定．

六、复数的模

1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．

2．记法：复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|.

3．公式：|z|＝|a＋bi|＝.

七、共轭复数

1．定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．

2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi.

反思感悟　互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称．特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上．

考点一 实部虚部的辨析

【例1】(2020·上海静安区·高二期末)的平方根为______．

【练1】(2020·江西抚州市)若，其中，i为虚数单位，则复数的虚部为(    )

A．1 B．i C． D．

考点二 复数的分类

【例2】(2020·江苏宿迁市·高二期中)已知复数，其中为虚数单位.

(1)若复数是实数，求实数的值；

(2)若复数是纯虚数，求实数的值.

【练2】(2021·江西景德镇市)已知复数是纯虚数，则实数(    )

A．-2 B．-1 C．0 D．1

考点三 复数的几何意义--复平面

【例3】(2020·北京101中学高二期中)在复平面内，复数的共轭复数所对应的点位于(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【练3】(2019·重庆市江津第六中学校高二期中)在复平面内，复数所对应的点位于(    )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

考点四 复数的几何意义--模长

【例4】(2020·湖北随州市·高二月考)已知为虚数单位，实数，满足，则(    )

A．10 B． C．3 D．1

【练4】(2021·浙江高二期末)已知，若有(为虚数单位)，则(    )

A．1 B． C． D．

课后练习

1. （2021·烟台模拟）若复数 ，则 （    ）           

A.                                         B. 2                                        C.                                         D. 

2. （2021高二下·莆田期末）复数 在复平面内对应点位于（    ）           

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

3. （2021·三明模拟）已知 为虚数单位，若复数 满足 ，则 （   ）           

A.                                         B.                                         C. 5                                        D. 10

4. （2021·怀柔模拟）在复平面内，复数 对应的点的关于实轴对称，若 ，则 （    ）           

1.                                         
2.   5                                        
3.                                           
4. 3

5. （2021高一下·聊城期末）写出一个虚数 ，使 的实部为0，则        ．  

6. （2021·遂宁模拟）复数 其中 为虚数单位 ，则       .   

7. （2021·吉林模拟）已知 是虚数单位，复数 ，则 的虚部为       ．   

8. （2021高一下·浙江月考）复数 的虚部为       ．   

9. （2021·和平模拟）i是虚数单位，复数 ，则z的共轭复数       .   

10. （2021高一下·延庆期末）分别求实数x的值，使得复数    

（1）是实数；        

（2）是虚数；       

（3）是纯虚数.   

11. （2021高二下·双鸭山月考）已知复数 ，且 为纯虚数.   

（1）求复数；   

（2）若 ，求复数 以及模 .   

12. （2021高二下·顺德月考）已知复数 ， ( ， 为虚数单位).      

（1）若 是纯虚数，求实数 的值.   

（2）若复数 在复平面上对应的点在第二象限，且 ，求实数 的取值范围.   

13.（2021高一下·吉林月考）实数 分别取什么数值时，复数 满足下列条件：   

（1）纯虚数；   

（2）对应的点在第一象限内．   

精讲答案

【例1】

【答案】

【解析】，因此，的平方根为.故答案为.

【练1】

【答案】C

【解析】由于，则且，所以，所以复数的虚部为.

故选：C.

【例2】

【答案】(1)或；(2).

【解析】(1)若复数是实数，则所以或.

(2)若复数是纯虚数，则所以.

【练2】

【答案】D

【解析】，因为为纯虚数且为实数，故，故，

故选：D

【例3】

【答案】D

【解析】复数的共轭复数为，其对应的点位于第四象限.故选：D.

【练3】

【答案】B

【解析】由题,在复平面内对应的点为,在第二象限,故选:B

【例4】

【答案】B

【解析】由，得，，．则．

故选：．

【练4】

【答案】C

【解析】因为所以，即，解得，故选：C

练习答案

1. 【答案】 D  

【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模   

【解析】 ，

故答案为：D

【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求值．

2. 【答案】 A  

【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算   

【解析】由题意得 ，

所以复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第一象限。

故答案为：A．

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数z，再利用复数的几何意义求出复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限。

3. 【答案】 B  

【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模   

【解析】因为 ，所以 ， ，所以 ，

故答案为：B.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理再结合复数模的概念即可得出答案。

4. 【答案】 B  

【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算   

【解析】因为复数 对应的点的关于实轴对称，

所以 互为共轭复数，

所以 ，

故答案为：B

【分析】根据题意由复数的定义结合复数代数形式的运算性质计算出结果即可。

5. 【答案】 或 （答案不唯一，凡符合 或 （ 且 ）形式的均正确）  

【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算   

【解析】设复数 ，则 ，

因为 的实部为0，所以 ，即 ，

所以答案为 或 （答案不唯一，凡符合 或 （ 且 ）形式的均正确）.

故答案为： 或 （答案不唯一，凡符合 或 （ 且 ）形式的均正确）.
【分析】利用已知条件结合虚数的定义，从而设出复数z,再利用复数的乘法运算法则结合复数的实部的定义，再结合已知条件 的实部为0，从而求出满足要求的复数z。

6. 【答案】   

【考点】复数求模   

【解析】因为 ，所以 ，

所以 .

故答案为： .

【分析】 由复数代数形式的加法运算化简z+ 3i，再由复数模的计算公式求解.

7. 【答案】 -1  

【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数求模   

【解析】因为 ，所以 ，

故 的虚部为-1。

故答案为：-1。

【分析】利用复数的乘除法运算结合复数求模公式，进而求出复数z，再利用复数的虚部的定义，进而求出复数z的虚部。

8. 【答案】 1  

【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算   

【解析】因为 ，所以复数的虚部为1，

故答案为：1.

  【分析】首先由复数代数形式乘除运算法则整理化简再由复数的定义即可得出答案。

9. 【答案】   

【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算   

【解析】 ，因此， 。

故答案为： 。
【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数z，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z的共轭复数。

10. 【答案】 （1）当 时，即 或 时， 是实数；
    （2）当 时，即 且 时， 是虚数；
    （3）当 且 时，即 时， 是纯虚数.  

【考点】复数的基本概念   

【解析】(1) z是实数，则虚部等于0，求解即可得答案;
(2) z是虚数,则虚部不等于0，求解即可得答案;
(3) z是纯虚数，则实部等于0，虚部不等于0，求解即可得答案。

11. 【答案】 （1）解：将 代入 得 ，因为 为纯虚数,所以   解得 ，所以复数
    （2）解：由(1)知 ，所以 ，   

【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算，复数求模   

【解析】（1）利用已知条件结合复数乘法运算法则，再利用复数为纯虚数的定义，从而求出b的值，进而求出复数z。
（2）利用已知条件结合复数的乘除法运算法则，从而求出复数t，再利用复数求模公式，从而求出复数t的模。

12. 【答案】 （1）依据    

根据题意 是纯虚数，故 ， 且   ，

故 ；

（2）依 ， 

根据题意 在复平面上对应的点在第二象限，可得

综上，实数 的取值范围为

【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算   

【解析】（1）根据复数的运算，结合纯虚数的定义求解即可；

（2）根据复数的几何意义求解即可.

13. 【答案】 （1）解：   

（2）解：   

【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义   

【解析】【分析】（1）根据纯虚数的定义直接求解即可；

（2）根据复数的几何意义直接求解即可.