高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习31《椭圆的定义、标准方程及性质》 (教师版)

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刷题增分练 31　椭圆的定义、标准方程及性质 刷题增分练        小题基础练提分快一、选择题1．椭圆＋y2＝1的离心率为(　　)A.       B.        C.      D．2答案：B解析：由题意得a＝2，b＝1，则c＝，所以椭圆的离心率e＝＝，故选B.2．若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为，则＝(　　)A.         B.       C.或  D.或答案：D解析：若焦点在x轴上，则方程化为＋＝1，依题意得＝，所以＝；若焦点在y轴上，则方程化为＋＝1，同理可得＝.所以所求值为或.3．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为(　　)A．2  B．4C．8  D．2答案：B解析：因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.4．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)A．1－  B．2－     C.    D.－1答案：D解析：在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝，由椭圆的定义可知，方程＋＝1中，2a＝1＋，2c＝2，得a＝，c＝1，所以离心率e＝＝＝－1.故选D.5．已知点P是椭圆＋y2＝1(a>1)上的点，A，B是椭圆的左、右顶点，则△PAB的面积为(　　)A．2       B.      C.        D．1答案：D解析：由题可得＋＝1，∴a2＝2，解得a＝(负值舍去)，则S△PAB＝×2a×＝1，故选D.6．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，且·(＋)＝0(O为坐标原点)．若||＝||，则椭圆的离心率为(　　)A.－  B.     C.－  D.答案：A解析：以OF1，OP为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由·(＋)＝0知此平行四边形的对角线互相垂直，则此平行四边形为菱形，∴|OP|＝|OF1|，∴△F1PF2是直角三角形，即PF1⊥PF2.设|PF2|＝x，则∴∴e＝＝＝－，故选A. 7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)A．2      B．3C．6      D．8答案：C解析：由椭圆＋＝1可得F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.8．已知直线l：y＝kx与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)A.  B.   C.  D.答案：C解析：由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c，由|OA|>b，即c>b，可得c2>b2＝a2－c2，即c2>a2，可得<e<1.故选C.二、非选择题9．如图，已知圆E：(x＋)2＋y2＝16，点F(，0)，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.则动点Q的轨迹Γ的方程为________．答案：＋y2＝1解析：连接QF，因为Q在线段PF的垂直平分线上，所以|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4.又|EF|＝2<4，得Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆即＋y2＝1.10．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上，且焦距为的椭圆，则椭圆的短轴长为________．答案：解析：方程x2＋ky2＝2可化为＋＝1，则2＋＝2⇒＝，∴短轴长为2×＝.11．已知P为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时cos∠F1PF2＝，则椭圆的离心率为________．答案：解析：易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆＋＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2－＝4c2，即a＝c，所以椭圆的离心率e＝＝.12．已知椭圆C：＋＝1与圆M：x2＋y2＋2x＋2－r2＝0(0<r<)，过椭圆C的上顶点P作圆M的两条切线分别与椭圆C相交于A，B两点(不同于P点)，则直线PA与直线PB的斜率之积等于________．答案：1解析：由题可得，圆心为M(－，0)，P(0，)．设切线方程为y＝kx＋.由点到直线的距离公式得，d＝＝r，化简得(2－r2)k2－4k＋(2－r2)＝0，则k1k2＝1.     刷题课时增分练        综合提能力　课时练　赢高分一、选择题1．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)A．1　   B.        C．2     D．2答案：D解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，×2cb＝1⇒bc＝1,2a＝2≥2＝2，当且仅当b＝c＝1时，等号成立．故选D.2．过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为(　　)A.＋＝1  B.＋＝1    C.＋＝1  D.＋＝1答案：C解析：椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为(±，0)，可得c＝，设所求椭圆的方程为＋＝1，可得＋＝1，又a2－b2＝5，得b2＝10，a2＝15，所以所求的椭圆方程为＋＝1.故选C.3．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为(　　)A.＋＝1  B.＋＝1       C.＋＝1  D.＋＝1答案：A解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝， 又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为＋＝1.4．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)A.  B.          C.  D.答案：D
解析：如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝.故选D.5．[2019·广西桂林柳州联考]已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上一点．若PF1⊥PF2，tan∠PF2F1＝2，则椭圆的离心率e为(　　)A.       B.C.        D.答案：A解析：∵点P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF2F1＝2，∴＝2.设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由椭圆定义知x＋2x＝2a，∴x＝，∴|PF2|＝，则|PF1|＝.由勾股定理知|PF2|2＋|PF1|2＝|F1F2|2，解得c＝a，∴e＝＝.故选A.6．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为　(　　)A．6  B．5C．4  D．3答案：A解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.7．[2019·贵州遵义联考]已知m是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的离心率为(　　)A.或    B.或C.        D.答案：B解析：由题意得m2＝16，解得m＝4或m＝－4.当m＝4时，曲线方程为x2＋＝1，故其离心率e1＝＝ ＝ ＝；当m＝－4时，曲线方程为x2－＝1，故其离心率e2＝＝ ＝ ＝ .所以曲线的离心率为或.故选B.8．若椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　)A.       B.C.     D.答案：A解析：由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则整理得解得<e<.二、非选择题9．[2019·铜川模拟]已知椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．答案：3解析：如图，设椭圆的右焦点为E，连接AE、BE.由椭圆的定义得，△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|.∵|AE|＋|BE|≥|AB|，∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a.当直线AB过点E时取等号，此时直线x＝m＝c＝1，把x＝1代入椭圆＋＝1得y＝±，∴|AB|＝3.∴当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是×3×|EF|＝×3×2＝3.10．[2019·辽宁沈阳东北育才学校月考]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，A，B是C的长轴的两个端点，点M是C上的一点，满足∠MAB＝30°，∠MBA＝45°.设椭圆C的离心率为e，则e2＝________.答案：1－解析：由椭圆的对称性，设M(x0，y0)，y0>0，A(－a,0)，B(a,0)．因为∠MAB＝30°，∠MBA＝45°，所以kBM＝＝－1，kAM＝＝.又因为＋＝1，三等式联立消去x0，y0可得＝＝1－e2，所以e2＝1－.11．[2019·云南昆明月考]已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点C(0,1)，离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为，求直线l的方程．解析：(1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)由已知，直线l过左焦点F (－1,0)．当直线l与x轴垂直时，A，B，此时|AB|＝，则S△OAB＝××1＝，不满足条件．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y2)，B(x2，y2)．由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.因为S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|，由已知S△OAB＝得|y1－y2|＝.因为y1＋y2＝k(x1＋1)＋k(x2＋1)＝k(x1＋x2)＋2k＝k·＋2k＝，y1y2＝k(x1＋1)·k(x2＋1)＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝，所以|y1－y2|＝＝＝，所以k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.