人教版高中数学高考一轮复习训练--高考中的解析几何

规范答题增分专项五　高考中的解析几何

1.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOM·kON=,求证:点(m,k)在定圆上.

2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F为椭圆=1的一个焦点.

(1)求抛物线C的方程;

(2)设P,M,N为抛物线C上不同的三点,点P(1,2),且PM⊥PN.求证:直线MN过定点.

3.如图,已知圆G:(x-2)2+y2=为椭圆T:=1(0<b<4)的内接△ABC的内切圆,其中A为椭圆T的左顶点,且GA⊥BC.

(1)求椭圆T的标准方程;

(2)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆T于E,F两点,试判断直线EF与圆G的位置关系并说明理由.

4.已知椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,点P(,1)在椭圆C上,且|PF1|+|PF2|=4.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设点P关于x轴的对称点为Q,M为椭圆C上一点,直线MP和MQ与x轴分别相交于点E,F,O为原点.证明:|OE|·|OF|为定值.

5.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x交椭圆C于A,B两点,椭圆C的右顶点为P,且满足||=4.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与椭圆C交于不同两点M,N,且定点Q满足||=||,求实数m的取值范围.

6.已知点A(-2,0),B(2,0),直线PA的斜率为k1,直线PB的斜率为k2,且k1k2=-.

(1)求点P的轨迹C的方程;

(2)设点F1(-1,0),F2(1,0),连接PF1并延长,与轨迹C交于另一点Q,R为PF2的中点,O为坐标原点,记△QF1O与△PF1R的面积之和为S,求S的最大值.

7.已知动点P到定点F(1,0)和直线l:x=2的距离之比为,设动点P的轨迹为曲线E,过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A,B两点,直线l:y=mx+n与曲线E交于C,D两点,与线段AB相交于一点(与A,B不重合).

(1)求曲线E的方程.

(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形ACBD的面积是否有最大值?若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.

8.已知抛物线E:y2=2px(p>0)的顶点在坐标原点O,过抛物线E的焦点F的直线l与该抛物线交于M,N两点,△MON面积的最小值为2.

(1)求抛物线E的标准方程.

(2)试问是否存在定点D,过点D的直线n与抛物线E交于B,C两点,当A,B,C三点不共线时,使得以BC为直径的圆必过点A?若存在,求出所有符合条件的定点D;若不存在,请说明理由.

规范答题增分专项五　高考中的解析几何

1.(1)解 设焦距为2c,∵e=,2b=2,a2=b2+c2,

∴b=1,a=2,∴椭圆C的标准方程为+y2=1.

(2)证明 设点M(x1,y1),N(x2,y2),

由得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,

依题意,Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,化简得m2<4k2+1,①

x1+x2=-,x1x2=,

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.

若kOM·kON=,则,即4y1y2=5x1x2,

则4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=5x1x2,

所以(4k2-5)+4km+4m2=0,

即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,

化简得m2+k2=

由①②得0≤m2<<k2,

故点(m,k)在定圆x2+y2=上.

2.(1)解 依题意,椭圆=1的一个焦点为(1,0),

由抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F为椭圆=1的一个焦点,

可得=1,所以p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)证明 设点M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=my+n,由得y2-4my-4n=0,则Δ=16m2+16m>0,y1y2=-4n,y1+y2=4m.

所以x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2=n2,

x1+x2=m(y1+y2)+2n=4m2+2n.

由PM⊥PN,得=0,即(x1-1,y1-2)·(x2-1,y2-2)=0.

化简得n2-6n-4m2-8m+5=0,

解得n=2m+5或n=-2m+1(舍).

所以直线MN:x=my+2m+5过定点(5,-2).

3.解 (1)由题意可设点B,y0>0,如图,设AB与圆G相切于点D,BC交x轴于点H,连接DG,由,得,解得

又点B在椭圆T上,所以=1,

解得b2=1.

故椭圆T的标准方程为+y2=1.

(2)设过点M(0,1)与圆G:(x-2)2+y2=相切的直线方程为y-1=kx,

则,即32k2+36k+5=0.

设MF,ME的斜率分别为k1,k2,

则k1+k2=-,k1k2=

将y-1=kx代入+y2=1,

得(16k2+1)x2+32kx=0,解得x=-或x=0.

设点F(x1,k1x1+1),E(x2,k2x2+1),

则x1=-,x2=-,

所以直线EF的斜率为kEF=,所以直线EF的斜率为y+-1=x+.

将=-k1-代入上式化简,得y=x-,

则圆心(2,0)到直线EF的距离为d=,

故直线EF与圆G相切.

4.(1)解 由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4,即a=2.

将点P(,1)的坐标代入=1,得=1,解得b=

故椭圆C的方程为=1.

(2)证明 由题意可知点Q(,-1).

设点M(x0,y0),则有+2=4,x0,y0≠±1.

直线MP的方程为y-1=(x-),

令y=0,得x=,所以|OE|=

直线MQ的方程为y+1=(x-),

令y=0,得x=,所以|OF|=

所以|OE|·|OF|==4.

故|OE|·|OF|为定值4.

5.解 (1)由题意易知=2,则||=2||=4,即a=2.

由e=,得c=,所以b=1.

故椭圆C的方程为+y2=1.

(2)设点M(x1,y1),N(x2,y2),由

得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,

则Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,

即4k2>m2-1,x1+x2=-

设MN中点D的坐标为(xD,yD),

因为||=||,所以DQ⊥MN,即=-

又xD==-,yD=kxD+m=,

所以6m-1=4k2,所以6m-1>0,且6m-1>m2-1,解得<m<6.

所以实数m的取值范围为

6.解 (1)设点P(x,y),

因为点A(-2,0),B(2,0),所以k1=,k2=

又k1k2=-,所以=-,所以=1(x≠±2).

故轨迹C的方程为=1(x≠±2).

(2)因为O,R分别为F1F2,PF2的中点,所以OR∥PF1,

所以△PF1R与△PF1O同底等高,所以,

所以S==S△PQO.

当直线PQ的斜率不存在时,其方程为x=-1,此时S△PQO=1

当直线PQ的斜率存在时,设其方程为y=k(x+1),设P(x1,y1),Q(x2,y2),

显然直线PQ不与x轴重合,即k≠0.

由得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,

又Δ=144(k2+1)>0,得x1+x2=-,x1x2=,

故|PQ|=|x1-x2|=

点O到直线PQ的距离d=,则S=|PQ|d=6令u=3+4k2∈(3,+∞),

则S=6故S的最大值为

7.解 (1)设点P(x,y),由题意可得,

整理可得+y2=1.

所以曲线E的方程为+y2=1.

(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由已知可得|AB|=

当m=0时,不符合题意.

当m≠0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,

可得=1,即m2+1=n2,

由消去y,得x2+2mnx+n2-1=0.

则Δ=4m2n2-4(n2-1)=2m2>0,x1+x2=,x1x2=,

所以S四边形ACBD=|AB||x2-x1|=

当且仅当2|m|=,即m=±时,等号成立,此时n=±

经检验可知,直线y=x-和直线y=-x+符合题意.

故四边形ACBD的面积有最大值,最大值为,此时直线l的方程为y=x-或y=-x+

8.解 (1)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=,

代入抛物线E的方程,得y=±p,所以|MN|=2p,

所以S△MON=2p=

若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=kx-(k≠0),

由得k2x2-(pk2+2p)x+=0,

则|MN|=+p=2p+

又点O到直线MN的距离d=,

所以S△MON=

所以△MON面积的最小值为=2,又p>0,故p=2.

故抛物线E的标准方程为y2=4x.

(2)假设符合题意的定点D存在.

因为直线n与抛物线E交于B,C两点,所以设直线n的方程为x=ay+b,点B(x1,y1),C(x2,y2).

由得y2-4ay-4b=0.

又Δ=16a2+16b>0,所以y1+y2=4a,y1y2=-4b,

所以x1+x2=a(y1+y2)+2b=4a2+2b,x1x2=a2y1y2+ab(y1+y2)+b2=b2.

因为以BC为直径的圆过点A(1,-2),

所以=0,即(x1-1)(x2-1)+(y1+2)(y2+2)=b2-6b-4a2-8a+5=0,

所以b=2a+1或b=-2a+5.

当b=2a+1时,x=ay+2a+1=a(y+2)+1,此时直线n过定点A,不符合题意,舍去.

当b=-2a+5时,x=ay-2a+5=a(y-2)+5,此时直线n过定点(5,2),符合题意.

故存在唯一的定点D(5,2)符合题意.