人教版高中数学高考一轮复习训练--高考中的概率与统计

规范答题增分专项六　高考中的概率与统计

1.某班从6名班干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选.

(1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列及均值;

(2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.

2.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与均值;

②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.

3.某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x(单位:min)与乘客等候人数y之间的关系,经过调查得到如下数据:

调查小组先从这6组数据中选取4组数据求经验回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的经验回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求与实际等候人数y的差,若差值的绝对值都不超过1,则称所求方程为“恰当回归方程”.

(1)从这6组数据中随机选取4组数据后,求剩下的2组数据不相邻的概率;

(2)若选取的是后面4组数据,求y关于x的经验回归方程x+,并判断此方程是否为“恰当回归方程”;

(3)为使等候的乘客不超过35人,试用(2)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少分钟(精确到整数).

附:经验回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=.

4.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).

(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件数,求P(X≥1)及X的均值;

(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.

①试说明上述监控生产过程方法的合理性;

②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:

经计算得xi=9.97,s=≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.

用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除[-3+3]之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).

附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),

则P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3.

0.997 316≈0.957 7,≈0.09.

5.某客户准备在家中安装一套净水系统,该系统为二级过滤,使用寿命为十年.如图①所示,两个二级过滤器采用并联安装,再与一级过滤器串联安装.

图①

其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中,一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换,每个滤芯是否需要更换相互独立.若客户在安装净水系统的同时购买滤芯,则一级滤芯每个160元,二级滤芯每个80元.若客户在使用过程中单独购买滤芯,则一级滤芯每个400元,二级滤芯每个200元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量,为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表,其中根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表如表所示,根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图如图②所示.

一级滤芯更换频数分布表

二级滤芯更换频数条形图

图②

用频率代替概率.

(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率;

(2)记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总个数,求X的分布列及均值;

(3)记m,n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若m+n=19,且m∈{8,9},以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的均值为决策依据,试确定m,n的值.

6.某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验,为入驻商家设置了积分制度,每笔购物完成后,买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价,评价分为好评、中评和差评.平台规定商家有50天的试营业时间,期间只评价不积分,正式营业后,每个好评给商家计1分,中评计0分,差评计-1分.某商家在试营业期间随机抽取100单交易,调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况,分别制成了频率分布直方图和扇形统计图,如图①②所示.

图①

图②

(1)通常收件时间不超过4天认为是物流迅速,否则认为是物流迟缓.请根据题目所给信息完成下面2×2列联表,并依据小概率值α=0.005的独立性检验,分析获得好评与物流速度是否有关.

(2)从正式营业开始,记该商家在每笔交易中得到的评价得分为X.用频率代替概率,求X的分布列和均值.

(3)该商家将试营业50天期间的成交情况制成了如下的频数分布表.假设正式营业开始,每日成交单数的分布规律不变,用频率代替概率.

平台规定,当积分超过10 000分时,商家会获得“诚信商家”称号,请估计该商家从正式营业开始,1年内(365天)能否获得“诚信商家”称号.

附:χ2=

规范答题增分专项六　高考中的概率与统计

1.解 (1)X的所有可能取值为0,1,2.

依题意,得P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=

故X的分布列为

E(X)=0+1+2=1.

(2)设事件A=“男生甲被选中”,B=“女生乙被选中”,

则P(A)=,P(AB)=,故P(B|A)=

故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为

2.解 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人.

(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X=k)=(k=0,1,2,3).

所以,随机变量X的分布列为

E(X)=0+1+2+3

②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”,事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由①知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=

所以事件A发生的概率为

3.解 (1)从这6组数据中随机选取4组数据后,剩下的2组数据的情况有=15(种),其中相邻的情况有5种,故不相邻的概率为1-

(2)由题意可知=13.5,

=28.5,

xiyi=1 546,=734,

所以=1.4,

=28.5-1.4×13.5=9.6,

所以=1.4x+9.6.

当x=10时,=1.4×10+9.6=23.6,|23.6-23|=0.6<1,

当x=11时,=1.4×11+9.6=25,|25-25|=0<1,

所以求出的经验回归方程为“恰当回归方程”.

(3)由1.4x+9.6≤35,得x≤18,

故间隔时间最多可设置为18 min.

4.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之内的概率为0.997 3,从而零件的尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率为0.002 7,故X~B(16,0.002 7).

因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997 316≈0.042 3.

E(X)=16×0.002 7=0.043 2.

(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率只有0.002 7,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在[μ-3σ,μ+3σ]之外的零件的概率只有0.042 3,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.

②由=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在[-3+3]之外,因此需对当天的生产过程进行检查.

剔除[-3+3]之外的数据9.22,剩下数据的平均数为(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.

16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除[-3+3]之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为(1 591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,

因此σ的估计值为0.09.

5.解 (1)由题意知,使用期内一个一级过滤器需要更换8个滤芯的概率为=0.6,更换9个滤芯的概率为=0.4.

一个二级过滤器需要换4个滤芯的概率为=0.2,更换5个滤芯的概率为=0.4,更换6个滤芯的概率为=0.4.

若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数为16,则一级过滤器需要更换8个滤芯,两个二级过滤器都需要更换4个滤芯,故所求概率为0.6×0.2×0.2=0.024.

(2)由(1)可知,一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为4,5,6的概率分别为0.2,0.4,0.4,

X的可能取值为8,9,10,11,12,

从而P(X=8)=0.2×0.2=0.04,P(X=9)=2×0.2×0.4=0.16,P(X=10)=2×0.2×0.4+0.4×0.4=0.32,P(X=11)=2×0.4×0.4=0.32,P(X=12)=0.4×0.4=0.16.

故X的分布列为

E(X)=8×0.04+9×0.16+10×0.32+11×0.32+12×0.16=10.4.

(3)记Y1,Y2分别表示当m=8或m=9时,该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需费用.

因为m+n=19,且m∈{8,9},

所以当m=8时,n=11;当m=9时,n=10.

①当m=8,n=11时,

E(Y1)=160×8+400×0.4+80×11+200×0.16=2 352.

②当m=9,n=10时,

E(Y2)=160×9+80×10+200×0.32+400×0.16=2 368.

因为E(Y1)<E(Y2),所以m=8,n=11.

6.解 (1)由题意可得2×2列联表如下.

零假设为H0:获得好评与物流速度无关.

根据2×2列联表中的数据计算得χ2=9.091>7.879.

根据小概率值α=0.005的独立性检验,可以推断H0不成立,即认为获得好评与物流速度有关,此推断犯错误的概率不大于0.005.

(2)由题意可知X的可能取值为1,0,-1,

由(1)知每笔交易得到好评、中评、差评的概率分别为0.8,0.1,0.1,

即P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.1,P(X=-1)=0.1.

故X的分布列为

E(X)=1×0.8+0×0.1+(-1)×0.1=0.7.

(3)设正式营业开始,该商家每天的成交量为Y,则Y的可能取值为27,30,36,

由题意知P(Y=27)==0.4,

P(Y=30)==0.4,

P(Y=36)==0.2,

则E(Y)=27×0.4+30×0.4+36×0.2=30.

所以该商家每天能获得的平均积分为30×0.7=21,该商家1年能获得的积分为21×365=7 665<10 000.

所以估计该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号.