人教版九年级数学下册微卷专训专训3　构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型教案

这是一份人教版九年级数学下册微卷专训专训3　构造三角函数基本图形解实际问题的几种数学模型教案，共9页。教案主要包含了2017·台州，2017·鄂州，2016·资阳，2016·黔东南州，中考·安徽，2016·深圳，2017·绍兴，2017·潍坊等内容，欢迎下载使用。
解直角三角形及其应用是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，还有要求同学们根据题中给出的信息构建三角函数的基本图形，建立数学模型，将某些简单的实际问题转化为数学问题，把数学问题转化为锐角三角函数问题来求解．运用锐角三角函数知识解决与实际生活、生产相关的应用题是近年来中考的热点题型．
构造一个直角三角形解实际问题
1．【2017·台州】如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0..8米，已知小汽车车门宽AO为1..2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin 40°≈，cs 40°≈，tan 40°≈)
(第1题)
2．【2017·鄂州】如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°..已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．
(1)求树DE的高度；
(2)求食堂MN的高度．
(第2题)
构造形如“”的两个直角三角形解实际问题
3．【2016·资阳】如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C在点B的北偏西60°方向上，且B，C两地相距120海里．
(1)求出此时点A到岛礁C的距离；
(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)
(第3题)
4．【2016·黔东南州】黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．如图，已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4 m，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1 m，参考数据：eq \r(2)≈1..4，eq \r(3)≈1..7)
(第4题)
5．【中考·安徽】如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°..汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°..若原坡长AB＝20 m，求改造后的坡长AE(结果保留根号)．
(第5题)
构造形如“”的两个直角三角形解实际问题
6．【2016·深圳】某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8 s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°..已知无人飞机的飞行速度为4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)．
(第6题)
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
7．【2017·绍兴】如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30 m..
(1)求∠BCD的度数．
(2)求教学楼的高BD..(结果精确到0..1 m，参考数据：tan 20°≈，tan 18°≈)
(第7题)
构造形如“”的两个直角三角形解实际问题
8．【2017·潍坊】如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高2..5 m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1..5 m，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14 m．求居民楼的高度．(精确到0..1 m，参考数据：eq \r(3)≈)
(第8题)
答案
1．解：如图，过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
(第1题)
在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1..2米，
∴AC＝AO·sin ∠AOC≈×1..2＝(米)．
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0..8米，
∴车门不会碰到墙．
2．解：(1)设DE＝x..∵AB＝DF＝2，
∴EF＝DE－DF＝x－2..
∵∠EAF＝30°，
∴AF＝eq \f(EF,tan ∠EAF)＝eq \f(x－2,\f(\r(3),3))＝eq \r(3)(x－2)．
又∵CD＝eq \f(DE,tan ∠DCE)＝eq \f(x,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)x，BC＝eq \f(AB,tan ∠ACB)＝eq \f(2,\f(\r(3),3))＝2eq \r(3)，
∴BD＝BC＋CD＝2eq \r(3)＋eq \f(\r(3),3)x..
由AF＝BD可得eq \r(3)(x－2)＝2eq \r(3)＋eq \f(\r(3),3)x，
解得x＝6..
∴树DE的高度为6米；
(第2题)
(2)如图，延长NM交DB的延长线于点P，则AM＝BP＝3..
由(1)知CD＝eq \f(\r(3),3)x＝eq \f(\r(3),3)×6＝2eq \r(3)，BC＝2eq \r(3)，
∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋2eq \r(3)＋2eq \r(3)＝3＋4eq \r(3)..
∵∠NDP＝45°，
∴NP＝PD＝3＋4eq \r(3)..
∵MP＝AB＝2，
∴NM＝NP－MP＝3＋4eq \r(3)－2＝1＋4eq \r(3)，
∴食堂MN的高度为(1＋4eq \r(3))米．
3．解：(1)如图所示，过点C作CD⊥BA交BA延长线于点D，
(第3题)
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则DC＝60海里，
故cs 30°＝eq \f(DC,AC)＝eq \f(60,AC)＝eq \f(\r(3),2)，
则AC＝40eq \r(3)海里．
答：点A到岛礁C的距离为40eq \r(3)海里．
(2)如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，A′E⊥AD于点E，
可得∠A′BE＝90°－75°＝15°，则∠A′BC＝30°－∠A′BE＝15°..
∴∠A′BE＝∠A′BC，即BA′平分∠CBA..
∴A′N＝A′E，又易得∠AA′E＝30°，∠A′CN＝30°，
设AA′＝x，则A′E＝eq \f(\r(3),2)x，
故CA′＝2A′N＝2A′E＝2×eq \f(\r(3),2)x＝eq \r(3)x，
∵eq \r(3)x＋x＝40eq \r(3)，∴x＝20(3－eq \r(3))海里．
答：此时“中国海监50”的航行距离为20(3－eq \r(3))海里．
4．解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示．则∠G＝30°..
(第4题)
在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，
则CH＝CD·cs∠DCH＝4×cs 60°＝2，
DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin 60°＝2eq \r(3)，
∵DH⊥BG，∠G＝30°，
∴HG＝eq \f(DH,tan G)＝eq \f(2\r(3),tan 30°)＝6，
∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8，
设AB＝x m，
∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，
∴BC＝x，BG＝eq \f(AB,tan G)＝eq \f(x,tan 30°)＝eq \r(3)x，
∵BG－BC＝CG，
∴eq \r(3)x－x＝8，
解得：x≈11..
答：电线杆的高约为11 m..
5．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F..
在Rt△ABF中，∠ABF＝α＝60°，
∴AF＝AB·sin 60°＝20×eq \f(\r(3),2)＝10eq \r(3)(m)．
在Rt△AEF中，β＝45°，∴AF＝EF，
∴AE＝eq \r(AF2＋EF2)＝eq \r(（10\r(3)）2＋（10\r(3)）2)＝10eq \r(6)(m)．
答：改造后的坡长AE为10eq \r(6) m..
(第5题)
(第6题)
6．解：如图，作AD⊥BC于D，BH⊥水平线于H，
由题意得：∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，
∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，
∵AB＝4×8＝32(m)，
∴CD＝AD＝AB·sin 30°＝16 m，BD＝AB·cs30°＝16eq \r(3) m，
∴BC＝CD＋BD＝(16＋16eq \r(3))m，
则BH＝BC·sin 30°＝(8＋8eq \r(3))m..
答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋8eq \r(3)) m..
7．解：(1)如图所示，过点C作CE⊥BD于点E，则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，
(第7题)
∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°..
(2)由题意得，CE＝AB＝30 m，
在Rt△CBE中，BE＝CE·tan 20°，
在Rt△CDE中，DE＝CE·tan 18°，
∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝CE·tan 20°＋CE·tan 18°≈20..4(m)．
答：教学楼的高约为20..4 m..
8．解：设每层楼高为x m，
由题意得MC′＝MC－CC′＝2..5－1..5＝1(m)，
则DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m..
在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，
∴C′A′＝eq \f(DC′,tan 60°)＝eq \f(\r(3),3)(5x＋1)m..
在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，
∴C′B′＝eq \f(EC′,tan 30°)＝eq \r(3)(4x＋1)m..
∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，
∴eq \r(3)(4x＋1)－eq \f(\r(3),3)(5x＋1)＝14..
解得x≈
∴DC＝DC′＋CC′＝5x＋1＋1..5≈18..4(m)．
答：居民楼的高度约为18..4 m..