人教版九年级数学下册微卷专训专训1　解直角三角形的几种常见类型教案

这是一份人教版九年级数学下册微卷专训专训1　解直角三角形的几种常见类型教案，共8页。教案主要包含了中考·北京等内容，欢迎下载使用。
解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．
已知两直角边解直角三角形
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2eq \r(3)，b＝6，解这个直角三角形．
(第1题)
已知一直角边和斜边解直角三角形
2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．
(第2题)
已知一直角边和一锐角解直角三角形
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3..
(1)求AC的长；
(2)求BC的长．
(第3题)
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC＝45°，求AD的长．
(第4题)
已知斜边和一锐角解直角三角形
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形．
(第5题)
6..如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝4eq \r(3)，求AD的长．
(第6题)
已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形
eq \a\vs4\al(题型1：) 化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)
7．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝eq \f(1,3)，求∠A的三角函数值．
(第7题)
eq \a\vs4\al(题型2：) 化解四边形问题为解直角三角形问题
8．【中考·北京】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝eq \r(2)，BE＝2eq \r(2)..求CD的长和四边形ABCD的面积．
(第8题)
eq \a\vs4\al(题型3：) 化解方程问题为解直角三角形问题
9．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b..
(1)判断△ABC的形状；
(2)求sin A＋sin B的值．
答案
1．解：∵a＝2eq \r(3)，b＝6，
∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(12＋36)＝eq \r(48)＝4eq \r(3)..
∵tan A＝eq \f(a,b)＝eq \f(2\r(3),6)＝eq \f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°..
2．解：∵AB＝13，AC＝12，∠ACB＝90°，
∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝eq \r(169－144)＝eq \r(25)＝5..
∴sin ∠BAC＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(5,13)..过点B作BD⊥MC于点D..
设点B到直线MC的距离为d，则BD＝d，
∵∠BCM＝∠BAC，∴sin ∠BCM＝sin ∠BAC..
∴sin ∠BCM＝eq \f(d,BC)＝eq \f(5,13)，
即eq \f(d,5)＝eq \f(5,13)，∴d＝eq \f(25,13)..
即点B到直线MC的距离为eq \f(25,13)..
3．解：(1)由题意知sin C＝eq \f(AB,AC)，即eq \f(1,2)＝eq \f(3,AC)，则AC＝6..
(2)由题意知tan C＝eq \f(AB,BC)，即eq \f(\r(3),3)＝eq \f(3,BC)，则BC＝3eq \r(3)..
4．解：∵∠C＝90°，∠BDC＝45°，BC＝3，∴CD＝3..
∵∠A＝30°，BC＝3，∴tan A＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,AC)＝eq \f(\r(3),3)，即AC＝3eq \r(3)..
∴AD＝AC－CD＝3eq \r(3)－3..
5．解：∵∠B＝45°，∠C＝90°，
∴∠A＝45°..∴a＝b..
∵sin A＝eq \f(a,c)，c＝10，∴a＝10·sin 45°＝5eq \r(2)..
∴b＝5eq \r(2)..
6．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4eq \r(3)，
∴∠CAB＝60°，AC＝AB·sin 30°＝4eq \r(3)×eq \f(1,2)＝2eq \r(3)..
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD＝30°..
∵cs ∠CAD＝eq \f(AC,AD)＝eq \f(2\r(3),AD)＝eq \f(\r(3),2)，∴AD＝4..
7．解：过点D作CD的垂线交BC于点E，如图．
在Rt△CDE中，
∵tan ∠BCD＝eq \f(1,3)＝eq \f(DE,CD)，∴可设DE＝x，则CD＝3x..
∵CD⊥AC，∴DE∥AC..
又∵点D为AB的中点，∴点E为BC的中点．
∴DE＝eq \f(1,2)AC..
∴AC＝2DE＝2x..
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，
∴AD＝eq \r(AC2＋CD2)＝eq \r(4x2＋9x2)＝eq \r(13)x..
∴sin A＝eq \f(CD,AD)＝eq \f(3x,\r(13)x)＝eq \f(3\r(13),13)，
cs A＝eq \f(AC,AD)＝eq \f(2x,\r(13)x)＝eq \f(2\r(13),13)，
tan A＝eq \f(CD,AC)＝eq \f(3x,2x)＝eq \f(3,2)..
方法技巧：本题中出现了tan ∠BCD＝eq \f(1,3)，由于∠BCD所在的三角形并非直角三角形，因此应用正切的定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解．
(第7题)
(第8题)
8．解：如图，过点D作DH⊥AC于点H..
∵∠CED＝45°，DH⊥EC，DE＝eq \r(2)，
∴EH＝DE·cs 45°＝eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝1，∴DH＝1..
又∵∠DCE＝30°，
∴HC＝eq \f(DH,tan 30°)＝eq \r(3)，CD＝eq \f(DH,sin 30°)＝2..
∵∠AEB＝45°，∠BAC＝90°，BE＝2eq \r(2)，
∴AB＝AE＝2，∴AC＝AE＋EH＋HC＝2＋1＋eq \r(3)＝3＋eq \r(3)，
∴S四边形ABCD＝eq \f(1,2)×2×(3＋eq \r(3))＋eq \f(1,2)×1×(3＋eq \r(3))＝eq \f(3\r(3)＋9,2)..
方法技巧：题目中所给的有直角和30°，45°角，因此我们可以通过构造直角三角形，然后运用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形ABCD的面积．
9．解：(1)将方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，则
Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2)．
∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即b2＋a2＝c2..
∴△ABC为直角三角形．
(2)由3c＝a＋3b，得a＝3c－3b..①
将①代入a2＋b2＝c2，得(3c－3b)2＋b2＝c2..
∴4c2－9bc＋5b2＝0，即(4c－5b)(c－b)＝0..
由①可知，b≠c，∴4c＝5b..∴b＝eq \f(4,5)c..②
将②代入①，得a＝eq \f(3,5)c..
∴在Rt△ABC中，
sin A＋sin B＝eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)＝eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)＝eq \f(7,5)..
点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于a，b，c的等式．从解题过程可以看出，求三角函数值时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值．