人教版九年级数学下册微卷专训专训6　三角函数在学科内的综合应用教案

这是一份人教版九年级数学下册微卷专训专训6　三角函数在学科内的综合应用教案，共10页。
专训6　三角函数在学科内的综合应用名师点金：1..三角函数与其他函数的综合应用：此类问题常常利用函数图象与坐标轴的交点构造直角三角形，再结合锐角三角函数求线段的长，最后可转化为求函数图象上的点的坐标．2．三角函数与方程的综合应用：主要是与一元二次方程之间的联系，利用方程根的情况，最终转化为三角形三边之间的关系求解． 3．三角函数与圆的综合应用：主要利用圆中的垂径定理、直径所对的圆周角是直角等，将圆中的边角关系转化为同一直角三角形的边角关系求解．4．三角函数与相似三角形的综合应用：此类问题常常是由相似得成比例线段，再转化成所求锐角的三角函数..  三角函数与一次函数的综合应用1．如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于B，C两点，tan∠OCB＝..(1)求点B的坐标和k的值；(2)若点A(x，y)是直线y＝kx－1上的一个动点(且在第一象限内)，在点A的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式．(第1题)   [来源:学|科|网]       三角函数与二次函数的综合应用2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴直线x＝1交x轴于点B，连接EC，AC，点P，Q为动点，设运动时间为t秒．(1)求点A的坐标及抛物线对应的函数解析式；(第2题)            (2)如图，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？         三角函数与反比例函数的综合应用3．如图，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过线段OA的端点A，O为原点，作AB⊥x轴于点B，点B的坐标为(2，0)，tan ∠AOB＝..(1)求k的值；(2)将线段AB沿x轴正方向平移到线段DC的位置，反比例函数y＝(x＞0)的图象恰好经过DC的中点E，求直线AE对应的函数解析式；(3)若直线AE与x轴交于点M，与y轴交于点N，请你探索线段AN与线段ME的大小关系，写出你的结论，并说明理由．(第3题)            三角函数与方程的综合应用4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c..已知a，b是关于x的一元二次方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，且9c＝25asin A..(1)试判断△ABC的形状；(2)△ABC的三边长分别是多少？  [来源:Z§xx§k..Com]       5．已知关于x的方程5x2－10xcos α－7cos α＋6＝0有两个相等的实数根，求边长为10 cm且两边所夹的锐角为α的菱形的面积．             三角函数与圆的综合应用6．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心、CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EFFD＝43..(1)求证：点F是AD的中点；(2)求cos ∠AED的值；(3)如果BD＝10，求半径CD的长．(第6题)           7．【中考·遂宁】如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于点N..(1)求证：∠ADC＝∠ABD；(2)求证：AD2＝AM·AB；(3)若AM＝，sin∠ABD＝，求线段BN的长．(第7题)      [来源:学科网ZXXK]          三角函数与相似三角形的综合应用8．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连接FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF，BE，且BE⊥FG..(1)求证：BF＝BG；(2)若tan ∠BFG＝，S△CGE＝6，求AD的长．(第8题)            [来源:Z#xx#k..Com]            答案1．解：(1)把x＝0代入y＝kx－1，得y＝－1，∴点C的坐标是(0，－1)，∴OC＝1..在Rt△OBC中，∵tan ∠OCB＝＝，∴OB＝..∴点B的坐标是..把B的坐标代入y＝kx－1，得k－1＝0..解得k＝2..(2)由(1)知直线AB对应的函数关系式为y＝2x－1，所以△AOB的面积S与x的函数关系式是S＝OB·y＝×(2x－1)＝x－..2．解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)，点A在DE上，∴点A坐标为(1，4)，设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－1)2＋4，把C(3，0)的坐标代入抛物线对应的函数解析式，可得a(3－1)2＋4＝0，解得a＝－1..故抛物线对应的函数解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3..(2)依题意有OC＝3，OE＝4，∴CE＝＝＝5..当∠QPC＝90°时，∵cos ∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝；当∠PQC＝90°时，∵cos ∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝..∴当t＝或t＝时，△PCQ为直角三角形．3．解：(1)易知A点的坐标为(2，3)，∴k＝6..(2)易知点E纵坐标为，由点E在反比例函数y＝的图象上，求出点E的坐标为，结合A点坐标为(2，3)，求出直线AE对应的函数解析式为y＝－x＋..(3)结论：AN＝ME..理由：在解析式y＝－x＋中，令y＝0可得x＝6，令x＝0可得y＝..∴点M(6，0)，N..∴OM＝6，ON＝..(第3题)方法一：如图，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF＝2，OF＝3，∴NF＝ON－OF＝..根据勾股定理可得AN＝..∵CM＝6－4＝2，EC＝，∴根据勾股定理可得EM＝，∴AN＝ME..方法二：如图，连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF＝2，∵S△EOM＝OM·EC＝×6×＝，S△AON＝ON·AF＝××2＝，∴S△EOM＝S△AON..又∵△AON中AN边上的高和△EOM中ME边上的高相等，∴AN＝ME..4．解：(1)∵a，b是关于x的方程x2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，∴a＋b＝c＋4，ab＝4c＋8..∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(c＋4)2－2(4c＋8)＝c2..∴△ABC为直角三角形．(2)∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴sin A＝..将其代入9c＝25asin A，得9c＝25a·，9c2＝25a2，3c＝5a..∴c＝a..∴b＝＝＝a..将b＝a，c＝a代入a＋b＝c＋4，解得a＝6..∴b＝×6＝8，c＝×6＝10，即△ABC的三边长分别是6，8，10..5．解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴(－10cos α)2－20(－7cos α＋6)＝0，解得cos α＝－2(舍去)或cos α＝..设在一内角为α的直角三角形中，α的邻边长为3k(k＞0)，∴斜边长为5k，则α的对边长为＝4k，∴sin α＝，则菱形一边上的高为10sin α＝8 cm，∴S菱形＝10×8＝80(cm2)．6．(1)证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠DAC..∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，∠DAE＝∠CAD＋∠CAE，且∠B＝∠CAE，∴∠ADE＝∠DAE，∴ED＝EA..∵ED为⊙O的直径，∴∠DFE＝90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点．(2)解：如图，连接DM，则DM⊥AE..设EF＝4k，DF＝3k，则ED＝＝5k..∵AD·EF＝AE·DM，∴DM＝＝＝k，∴ME＝＝k，∴cos ∠AED＝＝..(3)解：∵∠CAE＝∠B，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AEBE＝CEAE，∴AE2＝CE·BE，∴(5k)2＝k·(10＋5k)．∵k＞0，∴k＝2，∴CD＝k＝5..[来源:学,科,网](第6题)　　　(第7题) 7．(1)证明：如图，连接OD，∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO＝90°..∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3..∵OB＝OD，∴∠3＝∠4..∴∠1＝∠4，即∠ADC＝∠ABD..(2)证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD＝90°＝∠ADB..∵∠1＝∠4，∴△ADM∽△ABD，∴＝，∴AD2＝AM·AB..(3)解：∵sin ∠ABD＝，∴sin ∠1＝..∵AM＝，∴AD＝6，∴AB＝10，∴BD＝＝8..∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°，∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°，∴∠DBN＝∠1，∴sin ∠NBD＝，∴DN＝，∴BN＝＝..8．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCG＝90°..∵点E是CD的中点，∴DE＝CE..∵∠DEF＝∠CEG，∴△EDF≌△ECG，∴EF＝EG..又∵BE⊥FG，∴BE是FG的中垂线，∴BF＝BG..(2)解：∵BF＝BG，∴∠BFG＝∠G，∴tan ∠BFG＝tan  G＝，设CG＝x，则CE＝x，∴S△CGE＝x2＝6，解得x＝2(负值舍去)，∴CG＝2，CE＝6，又易通过三角形相似得出EC2＝BC·CG，∴BC＝6，∴AD＝6..