人教版九年级数学下册微卷专训专训2　同角或互余两角的三角函数关系的应用教案

专训2　同角或互余两角的三角函数关系的应用

名师点金：

1．同角三角函数关系：sin2 α＋cos2α＝1，tan α＝..

2．互余两角的三角函数关系：sin α＝cos(90°－α)，cos α＝sin(90°－α)，tan α·tan(90°－α)＝1..

同角间的三角函数的应用

1．已知tan A＝4，求的值．

2．若α为锐角，sin α－cos α＝，求sin α＋cos α的值．

余角间的三角函数的应用

3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是(　　)

A．sin(45°－α)＝sin(45°＋α)

B．sin2(45°－α)＋cos2(45°＋α)＝1

C．sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1

D．cos2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1

4．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．

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同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用

5．已知sin α·cos α＝(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin α和cos α..

6．已知α为锐角且sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，求的值．

答案

1．解：(方法1)原式＝＝＝..

∵tan A＝4，∴原式＝＝..

(方法2)∵tan A＝4，∴＝4，∴sin A＝4cos A..

∴原式＝＝＝..

2．分析：要求sin α＋cos α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．

解：∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝，

即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝..

∴1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝..

∴(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋＝..

又∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0..

∴sin α＋cos α＝..

3．C　点拨：∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)，sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝cos2(45°＋α)＋sin2(45°＋α)＝1..

4．解：tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝(tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 88°)·…·(tan 44°·tan 46°)·tan 45°＝1..

点拨：互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tan α·tan β＝1..

5．解：∵sin2α＋cos2α＝1，sin α·cos α＝，

∴(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2×＝..[来源:Z..xx..k..Com]

∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0..∴sin α＋cos α＝..

又∵sin α·cos α＝，

∴以sin α，cos α为根的一元二次方程为x2－x＋＝0..

点拨：此题用到两方面的知识：(1)公式sin2α＋cos2α＝1与完全平方公式的综合运用；(2)若x1＋x2＝p，x1x2＝q，则以x1，x2为两根的一元二次方程为x2－px＋q＝0..

6．解：∵sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一个根，

∴由求根公式，得

sin α＝＝..

∴sin α＝或sin α＝3(不符合题意，舍去)．

∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－＝..[来源:学#科#网Z#X#X#K]

又∵cos α＞0，∴cos α＝..[来源:学|科|网Z|X|X|K]

∴＝＝

＝|sin α－cos α|＝＝..