高中数学湘教版（2019）必修 第一册第5章 三角函数5.3 三角函数的图象与性质习题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册第5章 三角函数5.3 三角函数的图象与性质习题，共18页。

基础过关练
题组一 正弦(型)函数、余弦(型)函数的图象
1.用“五点法”作函数y=2cs x-1在[0,2π]上的图象时,应取的五点为( )
A.(0,1),π2,0,(π,-1),3π2,0,(2π,1)
B.(0,1),π2,-1,(π,-3),3π2,-1,(2π,1)
C.(0,1),(π,-3),(2π,1),(3π,-3),(4π,1)
D.(0,1),π6,3-1,π3,0,π2,-1,2π3,-2
2.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是( )
A B CD
题组二 正弦曲线、余弦曲线的应用
3.使不等式2-2sin x≥0成立的x的取值集合是( )
A.x|2kπ+π4≤x≤2kπ+3π4,k∈Z
B.x|2kπ+π4≤x≤2kπ+7π4,k∈Z
C.x|2kπ-5π4≤x≤2kπ+π4,k∈Z
D.x|2kπ+5π4≤x≤2kπ+7π4,k∈Z
4.(2021黑龙江双鸭山一中高一上第二次月考)方程10sin x=x的根的个数是( )
A.5B.6C.7D.8
5.(多选)下列x的取值范围能使cs x>sin x成立的是( )
A.0,π4 B.π4,5π4
C.5π4,2πD.π4,π2∪π,5π4
6.已知f(x)=2csx-3,则f(x)的定义域为 .
7.已知定义在区间-π,3π2上的函数y=f(x)的图象关于直线x=π4对称,当x≥π4时, f(x)=-sin x.
(1)在下面的坐标系中作出函数y=f(x)的图象;
(2)求函数y=f(x)的解析式;
(3)若关于x的方程f(x)=-910有解,将方程所有解的和记作M,结合(1)中的图象,求M的值.
题组三 正、余弦(型)函数的性质
8.函数y=cs25x+π3的最小正周期是( )
A.π5 B.5π2 C.2πD.5π
9.设函数f(x)=sin2x-π2,x∈R,则f(x)是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为π2的奇函数
D.最小正周期为π2的偶函数
10.(多选)(2020辽宁沈阳东北育才学校高一下期中)函数f(x)=cs2x+π6的图象的一条对称轴方程为( )
A.x=π6 B.x=5π12
C.x=11π12D.x=-2π3
11.已知函数y=sin x和y=cs x在区间I上都是减函数,那么区间I可以是( )
A.0,π2B.π2,π
C.π,3π2D.3π2,2π
12.y=sin x-|sin x|的值域是( )
A.[-1,0]B.[0,1]
C.[-1,1]D.[-2,0]
13.函数y=2sinxsinx+2的最小值是( )
A.2B.-2C.1D.-1
14.已知函数f(x)=csx2+π3,则f(x)的最小正周期是 , f(x)图象的对称中心是 .
15.函数f(x)=2cs2x-π4的单调递减区间是 .
16.函数f(x)=13sinπ4-x,x∈[0,π]的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
17.(1)求函数y=3-2sin x取得最大值、最小值时自变量x的集合,并写出函数的最大值、最小值;
(2)求函数f(x)=2sin2x+2sin x-12,x∈π6,5π6的值域.
18.已知函数f(x)=a-bcs2x+π6(b>0)的最大值为32,最小值为-12.
(1)求a,b的值;
(2)求函数g(x)=-4asinbx-π3的最小值,并求出取最小值时x的集合.
题组四 利用正、余弦函数的单调性比较大小
19.下列关系式中正确的是( )
A.sin 11°B.sin 168°C.sin 11°D.sin 168°20.设a=csπ12,b=sin41π6,c=cs7π4,则( )
A.a>c>bB.c>b>a
C.c>a>bD.b>c>a
21.(多选)下列不等式中成立的是( )
A.sin-π8>sin-π10B.cs 400°>cs(-50°)
C.sin 3>sin 2 D.sin 8π7>cs 7π8
22.比较下列各组数的大小:
(1)sin 220°与sin 230°;
(2)cs 15π8与cs 14π9;
(3)sin-20π7与cs-10π3.
能力提升练
题组一 正、余弦(型)函数的图象与性质
1.(2020山西太原高一下期末,)已知函数f(x)=2sinx2+π4,则( )
A. f(x)的最大值为2
B. f(x)的最小正周期为π
C. fx-π4为奇函数
D. f(x)的图象关于直线x=5π2对称
2.(多选)(2020山东济南高一下检测,)关于函数f(x)=4sin2x+π3(x∈R),下列命题正确的是( )
A.y=f(x)的解析式可改写为y=4cs2x-π6
B.y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数
C.函数y=fx-π6是奇函数
D.y=fx+π12的图象关于y轴对称
3.(2020天津一中高一上期末,)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立,且fπ2>f(π),则f(x)的单调递增区间是( )
A.kπ-π3,kπ+π6(k∈Z)
B.kπ,kπ+π2(k∈Z)
C.kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z)
D.kπ-π2,kπ(k∈Z)
4.(多选)(2020山东潍坊诸城高一下期中,)若m=2sin2x+π4在x∈0,π2上有解,则m的取值可能为( )
A.1B.2+2
C.2D.2
题组二 正、余弦(型)函数性质的综合运用
5.(多选)(2020河北石家庄二中高一上期末,)已知定义在区间[-π,π]上的函数f(x)=cs x-x2,则下列条件中能使f(x1)A.-π≤x1C.|x1|>|x2| D.x12≤x22
6.(2020辽宁六校高一下期中联考,)函数f(x)=2sin2x-π6-m,若f(x)≤0在x∈0,π2上恒成立,则m的取值范围是 ;若f(x)=0在x∈0,π2上有两个不同的实数解,则m的取值范围是 .
7.(2020山东泰安高一上期末,)从①函数fx-π3为奇函数;②当x=π3时,f(x)=3;③2π3是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2, f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π, .
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间.
答案全解全析
基础过关练
1.B 由“五点法”作图可知B正确.
2.B 由题意得,当x=0时,y=1,故排除选项C、D,
当x=π2时,y=0,故排除选项A,
故选B.
3.C 原不等式可化为sin x≤22.在同一直角坐标系中作出正弦曲线及直线y=22,如图所示.
由图知,不等式的解集为x2kπ-5π4≤x≤2kπ+π4,k∈Z.
4.C 要求方程10sin x=x的根的个数,即求函数y=sin x与y=x10的图象的交点的个数.
在同一直角坐标系中作出函数y=sin x(x∈[0,4π])和y=x10的图象,如图所示:
由图象可知,y=sin x与y=x10的图象在[0,+∞)上有4个交点,
根据函数的对称性可知,y=sin x与y=x10的图象在(-∞,0)上有3个交点,
∴y=sin x与y=x10的图象在R上共有7个交点,即方程10sin x=x有7个根.
故选C.
5.AC 在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数在[0,2π]上的图象,如图,
在[0,2π]内,当cs x=sin x时,x=π4或x=5π4,结合图象可知满足
cs x>sin x的x的取值范围是0,π4∪5π4,2π,
故选AC.
6.答案 2kπ-π6,2kπ+π6(k∈Z)
解析 要使f(x)有意义,则2cs x-3≥0,即cs x≥32,
∴2kπ-π6≤x≤2kπ+π6,k∈Z,
∴f(x)的定义域为2kπ-π6,2kπ+π6(k∈Z).
7.解析 (1)y=f(x)的图象如图所示.
(2)当x∈-π,π4时,
π2-x∈π4,3π2,
因为函数y=f(x)的图象关于直线x=π4对称,
所以f(x)=fπ2-x,
又当x≥π4时, f(x)=-sin x,
所以f(x)=fπ2-x
=-sinπ2-x=-cs x.
所以f(x)=-csx,x∈-π,π4,-sinx,x∈π4,3π2.
(3)当x=π4时, fπ4=-22.因为-910∈-1,-22,所以结合(1)中图象可知, f(x)=-910有4个解,分别设为x1,x2,x3,x4,且x1所以M=x1+x2+x3+x4=π.
8.D 函数y=cs25x+π3的最小正周期是2π25=5π.故选D.
9.B f(x)的最小正周期为T=2π2=π,定义域为R.
∵sin2x-π2=-sinπ2-2x=-cs 2x,
∴f(x)=-cs 2x.
又f(-x)=-cs(-2x)=-cs 2x=f(x),
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
10.BC 令2x+π6=kπ,k∈Z,解得x=kπ2-π12,k∈Z.
对于A,令kπ2-π12=π6,解得k=12∉Z,故A错误;
对于B,令kπ2-π12=5π12,解得k=1∈Z,故B正确;
对于C,令kπ2-π12=11π12,解得k=2∈Z,故C正确;
对于D,令kπ2-π12=-2π3,解得k=-76∉Z,故D错误.
故选BC.
11.B 逐一验证所给的区间:A.0,π2,函数y=sin x在该区间上单调递增,函数y=cs x在该区间上单调递减,不合题意;B.π2,π,函数y=sin x在该区间上单调递减,函数y=cs x在该区间上单调递减,符合题意;C.π,3π2,函数y=sin x在该区间上单调递减,函数y=cs x在该区间上单调递增,不合题意;D.3π2,2π,函数y=sin x在该区间上单调递增,函数y=cs x在该区间上单调递增,不合题意.故选B.
12.D y=sin x-|sin x|
=0,0≤sinx≤1,2sinx,-1≤sinx<0,
当-1≤sin x<0时,-2≤2sin x<0,
因此函数的值域为[-2,0].
13.B 因为y=2sinxsinx+2=2-4sinx+2,所以当sin x=-1时,y=2sinxsinx+2取得最小值-2.
14.答案 4π;2kπ+π3,0(k∈Z)
解析 由f(x)=csx2+π3,得T=2π12=4π;令x2+π3=kπ+π2,k∈Z,求得x=2kπ+π3,k∈Z,可得f(x)图象的对称中心是2kπ+π3,0,k∈Z.
15.答案 π8+kπ,5π8+kπ(k∈Z)
解析 令2kπ≤2x-π4≤π+2kπ,k∈Z,
得π8+kπ≤x≤5π8+kπ,k∈Z,
即f(x)的单调递减区间是π8+kπ,5π8+kπ(k∈Z).
16.答案 3π4,π;0,3π4
解析 f(x)=-13sinx-π4,x∈[0,π],
令-π2+2kπ≤x-π4≤π2+2kπ,k∈Z,
得-π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ,k∈Z.
又0≤x≤π,
所以0≤x≤3π4,
所以f(x)的单调递减区间为0,3π4.
同理, f(x)的单调递增区间为3π4,π.
所以f(x)的单调递减区间为0,3π4,单调递增区间为3π4,π.
17.解析 (1)∵-1≤sin x≤1,
∴当sin x=-1,
即x=2kπ+3π2,k∈Z时,y取得最大值5,
相应的自变量x的集合为xx=2kπ+3π2,k∈Z;
当sin x=1,即x=2kπ+π2,k∈Z时,y取得最小值1,
相应的自变量x的集合为xx=2kπ+π2,k∈Z.
(2)令t=sin x,g(t)=2t2+2t-12.
∵x∈π6,5π6,
∴12≤sin x≤1,
即12≤t≤1,
∴g(t)=2t2+2t-12=2t+122-1,t∈12,1,
∴1≤g(t)≤72,
∴函数f(x)的值域为1,72.
18.解析 (1)由题意知cs2x+π6∈[-1,1],∵b>0,
∴f(x)max=b+a=32,f(x)min=-b+a=-12,
∴a=12,b=1.
(2)由(1)知a=12,b=1,
∴g(x)=-2sinx-π3,
∵sinx-π3∈[-1,1],
∴g(x)∈[-2,2].
∴g(x)的最小值为-2,此时sinx-π3=1,则x-π3=2kπ+π2,k∈Z,∴x=2kπ+5π6,k∈Z,故取最小值时x的集合为xx=2kπ+5π6,k∈Z.
19.C 由诱导公式,得cs 10°=sin 80°,sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,因为当0°≤x≤90°时,正弦函数y=sin x是单调递增的,所以sin 11°即sin 11°20.A 由已知得b=sin41π6=sin6π+5π6=sin5π6=sinπ6=csπ3,c=cs7π4=csπ4,
因为π2>π3>π4>π12>0,且y=cs x在0,π2上是减函数,
所以cs π12>cs π4>cs π3,即a>c>b,
故选A.
21.BD y=sin x在-π2,0上单调递增,且-π8<-π10,
∴sin-π8cs 400°=cs 40°>cs 50°=cs(-50°),故B成立.
y=sin x在π2,π上单调递减,又π2<2<3<π,
∴sin 2>sin 3,故C不成立.
sin 8π7=-sin π7,cs 7π8=-cs π8=-sinπ2-π8=-sin 3π8.
∵0<π7<3π8<π2,且y=sin x在0,π2上单调递增,
∴sin π7∴sin 8π7>cs 7π8,故D成立.
故选BD.
22.解析 (1)因为函数y=sin x在π2,3π2上单调递减,且90°<220°<230°<270°,所以sin 220°>sin 230°.
(2)cs 15π8=cs2π-π8=cs π8,
cs 14π9=cs2π-4π9=cs 4π9.
因为函数y=cs x在[0,π]上单调递减,且0<π8<4π9<π,
所以cs π8>cs 4π9,
即cs 15π8>cs 14π9.
(3)sin-20π7=sin 8π7=-sin π7,
cs-10π3=cs 2π3=-cs π3=-sin π6.
因为函数y=sin x在-π2,π2上单调递增,且-π2<π7<π6<π2,
所以sin π7所以-sin π7>-sin π6.
即sin-20π7>cs-10π3.
能力提升练
1.D 易知f(x)的最大值为2,因此A错误; f(x)的最小正周期T=2π12=4π,因此B错误; fx-π4=2sin12x-π4+π4=2sinx2+π8,
fπ4-x=2sin12π4-x+π4
=2sin-x2+3π8=-2sinx2-3π8,
则fx-π4≠-fπ4-x,即fx-π4不是奇函数,因此C错误;
令x2+π4=π2+kπ,k∈Z,得f(x)=2sinx2+π4的图象的对称轴方程为x=2kπ+π2,k∈Z,当k=1时,x=5π2,因此D正确.故选D.
2.ACD A正确, f(x)=4sin2x+π3=4csπ2-2x+π3=4cs2x-π6;B错误,由题意知T=2π2=π;C正确, fx-π6=4sin2x-π6+π3=4sin 2x,是奇函数;D正确, fx+π12=4sin2x+π12+π3=4cs 2x,是偶函数,其图象关于y轴对称.
故选ACD.
3.C 因为对任意x∈R,f(x)≤fπ6恒成立,所以fπ6=sinπ3+φ=±1,则可取φ=π6或φ=7π6.当φ=π6时,f(x)=sin2x+π6,则fπ2=-12f(π)=-12,符合题意.故f(x)=sin2x+7π6.令2kπ+3π2≤2x+7π6≤2kπ+5π2,k∈Z,解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z,即f(x)的单调递增区间是kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z).故选C.
4.AC ∵x∈0,π2,
∴2x+π4∈π4,5π4,
∴2sin2x+π4∈[-1,2],
又m=2sin2x+π4在x∈0,π2上有解,
∴m∈[-1,2],
结合选项可知A、C符合要求.
故选AC.
5.AC ∵f(x)=cs x-x2,x∈[-π,π],
f(-x)=cs(-x)-(-x)2=cs x-x2=f(x),
∴f(x)是偶函数.易知f(x)在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,
因此当-π≤x1∴A正确,B错误.
由f(x)是偶函数, f(x1)得|x1|>|x2|,
∴x12>x22,
从而C正确,D错误.
故选AC.
6.答案 m≥2;1≤m<2
解析 f(x)≤0可化为m≥2sin2x-π6,
当x∈0,π2时,2x-π6∈-π6,5π6,
所以2sin2x-π6∈[-1,2],
所以2sin2x-π6的最大值为2,
所以m≥2.
f(x)=0在x∈0,π2上有两个不同的实数解等价于函数y=2sin2x-π6,x∈0,π2与y=m的图象有两个交点,函数y=f(x),x∈0,π2的图象如图所示:
由图可知,1≤m<2.
故答案为m≥2;1≤m<2.
7.解析 ∵函数f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为π,
∴T=2πω=2π,
∴ω=1,
∴f(x)=2sin(x+φ).
方案一:选条件①.
(1)∵fx-π3=2sinx+φ-π3为奇函数,
∴φ-π3=kπ,k∈Z,
∴φ=π3+kπ,k∈Z.
∵0<φ<π2,
∴φ=π3,
∴f(x)=2sinx+π3.
(2)令-π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,
得-5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ,k∈Z,
∴令k=0,得-5π6≤x≤π6,
令k=1,得7π6≤x≤13π6.
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为0,π6,7π6,2π.
方案二:选条件②.
(1)∵fπ3=2sinπ3+φ=3,
∴sinπ3+φ=32,
∴π3+φ=π3+2kπ或π3+φ=2π3+2kπ,k∈Z,
∴φ=2kπ或φ=π3+2kπ,k∈Z.
∵0<φ<π2,∴φ=π3,
∴f(x)=2sinx+π3.
(2)令-π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,
得-5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ,k∈Z,
∴令k=0,得-5π6≤x≤π6,
令k=1,得7π6≤x≤13π6.
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为0,π6,7π6,2π.
方案三:选条件③.
(1)∵2π3是函数f(x)的一个零点,
∴f2π3=2sin2π3+φ=0,
∴2π3+φ=kπ,k∈Z,
∴φ=kπ-2π3,k∈Z.
∵0<φ<π2,∴φ=π3,
∴f(x)=2sinx+π3.
(2)令-π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,
得-5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ,k∈Z,
∴令k=0,得-5π6≤x≤π6,
令k=1,得7π6≤x≤13π6.
∴函数f(x)在[0,2π]上的单调递增区间为0,π6,7π6,2π.