- 湘教版高中数学必修第一册第5章 5.3 5.3.1第2课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性课件+学案+练习含答案 课件 1 次下载
- 湘教版高中数学必修第一册第5章 5.3 5.3.1第3课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值课件+学案+练习含答案 课件 1 次下载
- 湘教版高中数学必修第一册第5章 5.4 第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换课件+学案+练习含答案 课件 1 次下载
- 湘教版高中数学必修第一册第5章 5.4 第2课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质的应用课件+学案+练习含答案 课件 1 次下载
- 湘教版高中数学必修第一册第5章 5.5三角函数模型的简单应用课件+学案+练习含答案 课件 0 次下载
数学必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质教课ppt课件
展开5.3.2 正切函数的图象与性质
学 习 任 务 | 核 心 素 养 |
1.能画出正切函数的图象.(重点) 2.掌握正切函数的性质.(重点、难点) 3.掌握正切函数的定义域.(易错点) | 1.借助正切函数的图象研究问题,培养直观想象素养. 2.通过正切函数的性质的应用,提升逻辑推理素养. |
学习了y=sin x,y=cos x的图象与性质后,明确了y=sin x,y=cos x的图象是“波浪”型,连续不断的,且都是周期函数,都有最大(小)值.
类比y=sin x,y=cos x的图象与性质.
(1)y=tan x是周期函数吗?有最大(小)值吗?
(2)正切函数的图象是连续的吗?
知识点 正切函数的图象与性质
解析式 | y=tan x |
图象 | |
定义域 |
|
值域 | R |
周期 | π |
奇偶性 | 奇函数 |
对称中心 | ,k∈Z |
单调性 | 在每一个区间,k∈Z上都单调递增 |
正切函数在整个定义域上都是单调递增的吗?
[提示] 不是.正切函数在每一个区间(k∈Z)上是单调递增的.但在整个定义域上不是单调递增的.
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R. ( )
(2)正切函数图象是中心对称图形,有无数个对称中心. ( )
(3)正切函数图象有无数条对称轴,其对称轴是x=kπ±,k∈Z. ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2.函数y=tan 2x的定义域为________,周期为________.
[由2x≠+kπ可知x≠+,k∈Z,T=.]
类型1 正切函数的奇偶性与周期性
【例1】 (1)函数f(x)=tan的最小正周期为( )
A. B.
C.π D.2π
(2)函数f(x)=sin x+tan x的奇偶性为( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
(1)A (2)A [(1)T==,故选A.
(2)由题意可知,自变量x的取值范围为.
又f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x),
∴f(x)为奇函数,故选A.]
1.函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法
(1)定义法.
(2)公式法:对于函数f(x)=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=.
(3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少,函数值重复出现.
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
1.(1)函数f(x)=( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
(2)若函数y=3tan的最小正周期是,则ω=________.
(1)A (2)±2 [(1)由题意可知,
∴x≠+kπ,且x≠π+2kπ,k∈Z.
又f(-x)===-f(x),
∴f(x)为奇函数,故选A.
(2)由=可知ω=±2.]
类型2 正切函数的单调性
【例2】 (1)tan 1,tan 2,tan 3,tan 4从小到大的排列顺序为________.
(2)求函数y=3tan的单调区间.
1当变量α,β不在同一单调区间时,如何比较tan α与tan β的大小关系?
2求y=Atanωx+φAω≠0的单调区间时应注意哪些问题?
(1)tan 2<tan 3<tan 4<tan 1 [y=tan x在区间上是单调增函数,且tan 1=tan(π+1),
又<2<3<4<π+1<,
所以tan 2<tan 3<tan 4<tan 1.]
(2)[解] y=3tan=-3tan,
由-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z得,
-+<x<+,k∈Z,
所以y=3tan的单调递减区间为,k∈Z.
1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,且A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都是单调递增的,故可用“整体代换”的思想,令kπ-<ωx+φ<kπ+,k∈Z,解得x的范围即可.
(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.
2.运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.
提醒:y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0)只有增区间;y=Atan(ωx+φ)(A<0,ω>0)只有减区间.
2.(1)求函数y=tan的单调递增区间.
(2)利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小.
①tan 220°与tan 200°;②tan π与tan.
[解] (1)由kπ-<x-<kπ+,k∈Z得
kπ-<x<kπ+,k∈Z,
所以函数y=tan的单调递增区间是,k∈Z.
(2)①tan 220°=tan 40°,tan 200°=tan 20°,
因为y=tan x在上单调递增,
所以tan 220°>tan 200°.
②tan π=tan(π+)=tan ,
tan=tan=tan ,
因为-<<<,
y=tan x在上单调递增,
所以tan <tan ,
即tan π>tan.
类型3 正切函数图象与性质的综合应用
【例3】 设函数f(x)=tan.
(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
[解] (1)由-≠+kπ(k∈Z),得x≠+2kπ(k∈Z),
所以f(x)的定义域是.
因为ω=,
所以最小正周期T===2π.
由-+kπ<-<+kπ(k∈Z),
得-+2kπ<x<+2kπ(k∈Z).
所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z),无单调递减区间.
由-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),
故函数f(x)的对称中心是(k∈Z).
(2)由-1≤tan≤,
得-+kπ≤-≤+kπ(k∈Z),
解得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z).
所以不等式-1≤f(x)≤的解集是.
解形如tan x>a的不等式的步骤
3.画出函数y=|tan x|的图象,并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性.
[解] 由y=|tan x|得
y=
其图象如图:
由图象可知,函数y=|tan x|的定义域为,值域为[0,+∞),是偶函数.
函数y=|tan x|的周期T=π,
函数y=|tan x|的单调递增区间为,k∈Z,单调递减区间为,k∈Z.
1.函数f(x)=|tan 2x|是( )
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为的奇函数
D.周期为的偶函数
D [f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x)为偶函数,T=.]
2.若tan x≥1,则( )
A.2kπ-<x<2kπ(k∈Z)
B.x≤(2k+1)π(k∈Z)
C.kπ-<x≤kπ(k∈Z)
D.kπ+≤x<kπ+(k∈Z)
D [因为tan x≥1=tan.
所以+kπ≤x<+kπ,k∈Z.]
3.比较大小:tan ________tan .
< [因为tan =tan ,tan =tan ,又0<<<,y=tan x在内单调递增,
所以tan <tan ,即tan <tan .]
4.函数y=tan(π-x),x∈的值域为________.
(-,1) [y=tan(π-x)=-tan x,
在上为减函数,
所以值域为(-,1).]
5.已知函数y=tan,则该函数图象的对称中心坐标为________.
,k∈Z [由x-=(k∈Z)得x=+(k∈Z),所以图象的对称中心坐标为,k∈Z.]
回顾本节知识,自我完成以下问题:
你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗?
[提示]
性质 | 正切函数 | 正弦函数、余弦函数 |
定义域 | R | |
值域 | R | [-1,1] |
最值 | 无 | 最大值为1 |
最小值为-1 | ||
单调性 | 仅有单调递增区间,不存在单调递减区间 | 单调递增区间、单调递减区间均存在 |
奇偶性 | 奇函数 | 正弦函数是奇函数 |
余弦函数是偶函数 | ||
周期性 | T=π | T=2π |
对称性 | 有无数个对称中心,不存在对称轴 | 对称中心和对称轴均有无数个 |
高中3.1 函数精品ppt课件: 这是一份高中3.1 函数精品ppt课件,文件包含532正切函数的图象与性质doc、532正切函数的图象与性质pptx等2份课件配套教学资源,其中PPT共0页, 欢迎下载使用。
数学必修 第一册第5章 三角函数5.3 三角函数的图象与性质完整版课件ppt: 这是一份数学必修 第一册第5章 三角函数5.3 三角函数的图象与性质完整版课件ppt,共16页。PPT课件主要包含了学习目标,新知学习,随堂小测,课堂小结等内容,欢迎下载使用。
高中数学湘教版(2019)必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质图片ppt课件: 这是一份高中数学湘教版(2019)必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质图片ppt课件,文件包含湘教版高中数学必修第一册第5章53531第1课时正弦函数余弦函数的图象课件ppt、湘教版高中数学必修第一册第5章53531第1课时正弦函数余弦函数的图象学案doc、湘教版高中数学必修第一册课后素养落实44正弦函数余弦函数的图象含答案doc等3份课件配套教学资源,其中PPT共47页, 欢迎下载使用。