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    湘教版高中数学必修第一册课时检测40同角三角函数的基本关系含解析
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    数学必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质当堂达标检测题

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    这是一份数学必修 第一册5.3 三角函数的图象与性质当堂达标检测题,共6页。

    1.如果α是第二象限的角,下列各式中成立的是( )
    A.tan α=-eq \f(sin α,cs α) B.cs α=-eq \r(1-sin2α)
    C.sin α=-eq \r(1-cs2α) D.tan α=eq \f(cs α,sin α)
    解析:选B 由商数关系可知A、D均不正确.当α为第二象限角时,cs α<0,sin α>0,故B正确.
    2.若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,6)))且sin 3α=eq \f(1,3),则cs 3α=( )
    A.-eq \f(2\r(2),3) B.eq \f(2\r(2),3)
    C.-eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
    解析:选B ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,6))),∴3α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),∴cs 3α>0,∴cs 3α=eq \r(1-sin23α)=eq \r(1-\f(1,9))=eq \f(2\r(2),3).
    3.已知sin α-cs α=-eq \f(\r(5),2),则tan α+eq \f(1,tan α)的值为( )
    A.-4 B.4
    C.-8 D.8
    解析:选C sin α-cs α=-eq \f(\r(5),2)⇒(sin α-cs α)2=eq \f(5,4)
    ⇒1-2sin αcs α=eq \f(5,4)⇒sin αcs α=-eq \f(1,8),
    ∴tan α+eq \f(1,tan α)=eq \f(sin α,cs α)+eq \f(cs α,sin α)=eq \f(1,sin αcs α)=-8.故选C.
    4.若β∈[0,2π),且 eq \r(1-cs2β)+eq \r(1-sin2β)=sin β-cs β,则β的取值范围是( )
    A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π))
    C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π,\f(3π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2),2π))
    解析:选B ∵eq \r(1-cs2β)+eq \r(1-sin2β)=|sin β|+|cs β|=sin β-cs β,∴sin β≥0且cs β≤0.又∵β∈[0,2π),∴β∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)).故选B.
    5.(多选)已知θ∈(0,π),sin θ+cs θ=eq \f(1,5),则下列结论正确的是( )
    A.θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),π)) B.cs θ=-eq \f(3,5)
    C.tan θ=-eq \f(3,4) D.sin θ-cs θ=eq \f(7,5)
    解析:选ABD 由题知sin θ+cs θ=eq \f(1,5),①
    ∴(sin θ+cs θ)2=1+2sin θcs θ=eq \f(1,25),
    ∴2sin θcs θ=-eq \f(24,25)<0.
    又∵θ∈(0,π),
    ∴eq \f(π,2)<θ<π,sin θ-cs θ>0.
    ∵(sin θ-cs θ)2=1-2sin θcs θ=1-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(24,25)))=eq \f(49,25),
    ∴sin θ-cs θ=eq \f(7,5).②
    联立①②,得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ=\f(4,5),,cs θ=-\f(3,5),))
    ∴tan θ=-eq \f(4,3).故选A、B、D .
    6.若sin θ=-eq \f(4,5),tan θ>0,则cs θ=________.
    解析:由已知条件可得角θ的终边在第三象限,
    ∴cs θ=-eq \r(1-sin2θ)=- eq \r(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(4,5)))\s\up12(2))=-eq \f(3,5).
    答案:-eq \f(3,5)
    7.已知eq \f(sin α-2cs α,3sin α+5cs α)=-5,那么tan α=________.
    解析:易知cs α≠0,由eq \f(sin α-2cs α,3sin α+5cs α)=-5,得eq \f(tan α-2,3tan α+5)=-5,解得tan α=-eq \f(23,16).
    答案:-eq \f(23,16)
    8.(2021·临沂外国语学校高一月考)若θ为第四象限角,则 eq \r(\f(1-cs θ,1+cs θ))-eq \r(\f(1+cs θ,1-cs θ))化简为________.
    解析:∵θ为第四象限角,∴sin θ<0,
    ∴ eq \r(\f(1-cs θ,1+cs θ))-eq \r(\f(1+cs θ,1-cs θ))=eq \f(\r(1-cs2θ),1+cs θ)-eq \f(\r(1-cs2θ),1-cs θ)
    =eq \f(-sin θ,1+cs θ)-eq \f(-sin θ,1-cs θ) =eq \f(sin θ,1-cs θ)-eq \f(sin θ,1+cs θ)
    =eq \f(sin θ(1+cs θ)-sin θ(1-cs θ),(1-cs θ)(1+cs θ))=eq \f(2sin θcs θ,1-cs2θ)
    =eq \f(2sin θcs θ,sin2θ)=eq \f(2cs θ,sin θ)=eq \f(2,tan θ).
    答案:eq \f(2,tan θ)
    9.求证:eq \f(2sin xcs x-1,cs2x-sin2x)=eq \f(tan x-1,tan x+1).
    证明:法一:∵左边=eq \f(2sin xcs x-(sin2x+cs2x),cs2x-sin2x)
    =eq \f(-(sin2x-2sin xcs x+cs2x),cs2x-sin2x)
    =eq \f((sin x-cs x)2,sin2x-cs2x)
    =eq \f((sin x-cs x)2,(sin x-cs x)(sin x+cs x))
    =eq \f(sin x-cs x,sin x+cs x)
    =eq \f(tan x-1,tan x+1)=右边,
    ∴原等式成立.
    法二:∵右边=eq \f(\f(sin x,cs x)-1,\f(sin x,cs x)+1)=eq \f(sin x-cs x,sin x+cs x),
    左边=eq \f(1-2sin xcs x,sin2x-cs2x)=eq \f((sin x-cs x)2,sin2x-cs2x)
    =eq \f((sin x-cs x)2,(sin x-cs x)·(sin x+cs x))
    =eq \f(sin x-cs x,sin x+cs x),
    ∴左边=右边,原等式成立.
    10.(2021·衡阳一中高一月考)已知关于x的方程2x2-(eq \r(3)+1)x+m=0的两根为sin θ和cs θ,θ∈(0,π).求:
    (1)m的值;
    (2)eq \f(tan θsin θ,tan θ-1)+eq \f(cs θ,1-tan θ)的值.
    解:(1)由根与系数的关系可得sin θ+cs θ=eq \f(\r(3)+1,2),
    ∴1+2sin θcs θ=eq \f(2\r(3)+4,4),
    ∴2sin θcs θ=eq \f(\r(3),2).
    由根与系数的关系可得sin θcs θ=eq \f(m,2)=eq \f(\r(3),4),∴m=eq \f(\r(3),2).
    (2)∵eq \f(tan θsin θ,tan θ-1)+eq \f(cs θ,1-tan θ)=eq \f(sin2θ,sin θ-cs θ)+eq \f(cs2θ,cs θ-sin θ)=eq \f(sin2θ-cs2θ,sin θ-cs θ)=sin θ+cs θ,
    ∴原式=sin θ+cs θ=eq \f(\r(3)+1,2).
    [B级 综合运用]
    11.(多选)下列计算或化简结果正确的是( )
    A.eq \f(2tan αcs α,sin α)=2
    B.若sin θ·cs θ=eq \f(1,2),则tan θ+eq \f(cs θ,sin θ)=2
    C.若tan x=eq \f(1,2),则eq \f(2sin x,cs x-sin x)=1
    D.若α为第一象限角,则eq \f(cs α,\r(1-sin2α))+eq \f(sin α,\r(1-cs2α))=2
    解析:选ABD A正确,eq \f(2tan αcs α,sin α)=eq \f(2sin α,cs α)·eq \f(cs α,sin α)=2;B正确,tan θ+eq \f(cs θ,sin θ)=eq \f(sin θ,cs θ)+eq \f(cs θ,sin θ)=eq \f(1,sin θcs θ)=2;C不正确,eq \f(2sin x,cs x-sin x)=eq \f(2tan x,1-tan x)=eq \f(2×\f(1,2),1-\f(1,2))=2;D正确,∵α为第一象限角,∴原式=eq \f(cs α,cs α)+eq \f(sin α,sin α)=2.故选A、B、D.
    12.设tan 160°=k,则sin 160°=( )
    A.eq \f(-1,\r(1+k2)) B.eq \f(-k,\r(1+k2))
    C.eq \f(k,\r(1+k2)) D.eq \f(1,\r(1+k2))
    解析:选B ∵tan 160°=eq \f(sin 160°,cs 160°)=k,
    ∴sin 160°=kcs 160°.
    又∵sin2160°+cs2160°=1,
    ∴(kcs 160°)2+cs2160°=1,
    ∴cs2160°=eq \f(1,k2+1).
    又160°是第二象限角,
    ∴cs 160°<0,
    ∴cs 160°=-eq \f(1,\r(1+k2)),
    ∴sin 160°=kcs 160°=-eq \f(k,\r(1+k2)).故选B.
    13.若tan α+eq \f(1,tan α)=3,则sin αcs α=________,tan2α+eq \f(1,tan2α)=________.
    解析:∵tan α+eq \f(1,tan α)=3,∴eq \f(sin α,cs α)+eq \f(cs α,sin α)=3,即eq \f(sin2α+cs2α,sin αcs α)=3,∴sin αcs α=eq \f(1,3),tan2α+eq \f(1,tan2α)=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan α+\f(1,tan α)))eq \s\up12(2)-2tan α·eq \f(1,tan α)=9-2=7.
    答案:eq \f(1,3) 7
    14.已知在△ABC中,sin A+cs A=eq \f(1,5).
    (1)求sin Acs A的值;
    (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形;
    (3)求tan A的值.
    解:(1)∵sin A+cs A=eq \f(1,5),①
    两边平方,得1+2sin Acs A=eq \f(1,25),
    ∴sin Acs A=-eq \f(12,25).
    (2)由sin Acs A=-eq \f(12,25)<0,且0可知cs A<0,∴A为钝角,
    ∴△ABC是钝角三角形.
    (3)∵(sin A-cs A)2=1-2sin Acs A=1+eq \f(24,25)=eq \f(49,25),
    又∵sin A>0,cs A<0,
    ∴sin A-cs A>0,
    ∴sin A-cs A=eq \f(7,5).②
    由①②可得sin A=eq \f(4,5),cs A=-eq \f(3,5),
    ∴tan A=eq \f(sin A,cs A)=eq \f(\f(4,5),-\f(3,5))=-eq \f(4,3).
    [C级 拓展探究]
    15.(1)分别计算cs4eq \f(π,6)-sin4eq \f(π,6)和cs2eq \f(π,6)-sin2eq \f(π,6),cseq \f(π,3)的值,你有什么发现?
    (2)计算cs4eq \f(π,4)-sin4eq \f(π,4),cs2eq \f(π,4)-sin2eq \f(π,4),cseq \f(π,2)的值,你有什么发现?
    (3)证明:x∈R,cs2x-sin2x=cs4x-sin4x.
    (4)推测:x∈R,cs2x-sin2x与cs 2x的关系,不需证明.
    解:(1)cs4eq \f(π,6)-sin4eq \f(π,6)
    =eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,6)+sin2\f(π,6)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,6)-sin2\f(π,6)))=cs2eq \f(π,6)-sin2eq \f(π,6)
    =eq \f(3,4)-eq \f(1,4)=eq \f(1,2)=cseq \f(π,3).
    (2)cs4eq \f(π,4)-sin4eq \f(π,4)
    =eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,4)+sin2\f(π,4)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,4)-sin2\f(π,4)))
    =cs2eq \f(π,4)-sin2eq \f(π,4)=eq \f(1,2)-eq \f(1,2)=0=cseq \f(π,2).
    (3)证明:cs4x-sin4x
    =(cs2x+sin2x)(cs2x-sin2x)
    =cs2x-sin2x.
    (4)推测cs2x-sin2x=cs 2x.
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